专题6.2 平行线分线段成比例【十大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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\l "_Tc32093" 【题型1 由平行线分线段成比例判断比例式正误】 PAGEREF _Tc32093 \h 1
\l "_Tc15854" 【题型2 平行线分线段成比例之“A”字型求值】 PAGEREF _Tc15854 \h 2
\l "_Tc4481" 【题型3 平行线分线段成比例之“X”字型求值】 PAGEREF _Tc4481 \h 3
\l "_Tc18401" 【题型4 平行线分线段成比例之“8”字型求值】 PAGEREF _Tc18401 \h 5
\l "_Tc32423" 【题型5 平行线分线段成比例之“#”字型求值】 PAGEREF _Tc32423 \h 6
\l "_Tc17690" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 PAGEREF _Tc17690 \h 7
\l "_Tc2079" 【题型7 多次利用平行线分线段成比例求值】 PAGEREF _Tc2079 \h 9
\l "_Tc14310" 【题型8 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 PAGEREF _Tc14310 \h 10
\l "_Tc19009" 【题型9 平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线】 PAGEREF _Tc19009 \h 11
\l "_Tc18832" 【题型10 平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线】 PAGEREF _Tc18832 \h 12
【知识点 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【题型1 由平行线分线段成比例判断比例式正误】
【例1】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ）
A．ADDB=AEACB．ADDB=BFFCC．ADDB=FCBFD．ADDB=FCBC
【变式1-1】（2023春·湖南娄底·九年级统考期中）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）．
A．ABEF = ADDFB．DFAD = BCCEC．ADAF = BEBCD．ADDF = BCCE
【变式1-2】（2023春·湖南娄底·九年级校联考期末）如图，已知AB ∥ CD ∥ EF，AC:AE=3:5，那么下列结论正确的是（ ）
A．BD:DF=2:3B．AB:CD=2:3
C．CD:EF=3:5D．DF:BF=2:5
【变式1-3】（2023春·山西晋城·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DG//BC，交AC于点G，过点E作EH//AB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A．ADDB=DGBCB．GFEC=HCGHC．FHAD=GHAGD．HEAB=ECBE
【题型2 平行线分线段成比例之“A”字型求值】
【例2】（2023春·河北保定·九年级统考期末）如图，点A，B在格点上，若BC=23，则AC的长为（ ）
A．1B．43C．2D．3
【变式2-1】（2023春·广西百色·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则AEAC的值为（ ）
A．23B．32C．34D．2
【变式2-2】（2023春·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考期中）已知线段a、b、c，若求作线段x，使a∶b＝c∶x，则以下作图正确的是（ ）
A． B．C．D．
【变式2-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．
【题型3 平行线分线段成比例之“X”字型求值】
【例3】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）如图 ，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝4，GD＝2，DF＝8，那么BCCE的值等于 ．
【变式3-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图：AB∥CD∥EF，AD:DF=3:1，BE=16，那么CE的长为（ ）

A．4B．12C．163D．6
【变式3-2】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若ABBC=43，则DEDF的值为（ ）

A．47B．37C．74D．43
【变式3-3】（2023春·贵州铜仁·九年级统考期中）已知三条互相平行的直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，直线l4与l5相交于点O，且AB=32，BC=50，EF=8，EO=2．
(1)求DE的长；
(2)求OB的长．
【题型4 平行线分线段成比例之“8”字型求值】
【例4】（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，AB=3，FD=2，则EFFB的值为（ ）
A．25B．38C．37D．35
【变式4-1】（2023春·上海静安·九年级校考期中）已知ax=bc，求作x，那么下列作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【变式4-3】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（ ）
A．1r+1q=1pB．1p+1q=2rC．1p+1q=1rD．1q+1r=2p
【题型5 平行线分线段成比例之“#”字型求值】
【例5】（2023春·全国·九年级期末）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与AEAC一定相等的是（ ）
A．CEACB．BFBDC．BFFDD．ABCD
【变式5-1】（2023春·河北保定·九年级校考期末）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝6，BF＝152，则BD的值是 ．
【变式5-2】（2023春·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，AB:EB=3:1，DF=8，则FC= ．

【变式5-3】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，D，B，E，C，F．已知直线a∥b∥c，AB=2，BC=3，则DEDF的值为（ ）

A．23B．32C．25D．35
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
【例6】（2023·四川南充·校联考三模）如图， DE是△ABC的中位线， F是CE的中点，射线DF与BE交于点O，与BC的延长线交于点G．下列结论：①OB=2OE；②OD=OF； ③DEBG=CFAF；④S△ADE=12S四边形OBCF，正确的有 ．(填序号．)
【变式6-1】（2023春·河北石家庄·九年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【变式6-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期中）如图，DE、NM分别是△ABC、△ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则S△DMN：S四边形MFCE等于（ ）
A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7
【变式6-3】（2023·山西运城·统考二模）请阅读下列材料，非完成相应的任务．
任务：
(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．
(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）
A．方程思想 B．转化思想 C．分类思想 D．整体思想
(3)请你换一种思路求AFCF的值，直接写出辅助线的作法即可．
【题型7 多次利用平行线分线段成比例求值】
【例7】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP．若AB=6cm，求PN的长．

【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，在△ABC和△ACG中，D、E、F分别在线段AB、AC、AG上，连接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，ADAB=13,AF=3，求AG的长．

【变式7-2】（2023春·陕西商洛·九年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF=2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，若BE=4则EG的值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式7-3】（2023春·安徽滁州·九年级校考期中）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知AEED=32，BG=4．
(1)求CG的长；
(2)若CD=2，在上述条件和结论下，求EF的长．
【题型8 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】
【例8】（2023春·浙江宁波·九年级统考期中）已知点G是△ABC的重心，连结BG，过点G作GD∥AB交BC于点D，若△BDG的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．8C．9D．12
【变式8-1】（2023·上海浦东新·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF//BC，分别交AB、AC于点E、F，若AC=18，则AF= ．
【变式8-2】（2023春·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么GFBC的值是 ．
【变式8-3】（2023春·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为12，则PQ的长为（ ）
A．2B．2．5C．3D．4
【题型9 平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线】
【例9】（2023春·河南郑州·九年级统考期中）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是 ．
【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB//CD，AD,BC交于点O，则AODO=BOCO．
请利用该结论解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2,BD=2DC，求AC的长．
【变式9-2】（2023春·陕西西安·九年级校考期末）如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ．
【变式9-3】（2023春·广东深圳·九年级深圳市南山外国语学校校联考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=14AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是 ．
【题型10 平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线】
【例10】（2023春·四川达州·九年级校考期末）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则BFEF的值是（ ）
A．2−1B．2+2C．2+1D．2
【变式10-1】（2023春·广西钦州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．
(1)比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；
(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．
【变式10-2】（2023春·山西太原·九年级统考期中）已知△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，交CD于点F．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．如图1，若AC=BC=1，则CF的长为 ．
B．如图2，若AC=4,BC=3，则DF的长为 ．
【变式10-3】（2023春·上海·九年级校考期中）如图，梯形ABCD中，AD//BC,∠B=90∘,tanC=43,AB=BC，点E在边CD上，把△BCE绕点B逆时针旋转90°，点E的对应点是点F，点C的对应点是点M，如果EF//BC，那么DE:CE的值是 ．
利用辅助平行线求线段的比
三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．
举例：如图1，AD是△ABC的中线，AE:AD=1:5，BE的延长线交AC于点F．
求AFCF的值．
下面是该题的部分解题过程：
解：如图2，过点D作DH∥BF交AC于点H．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC．
∵DH∥BF，
∴FHCH=BDCD，
∴CH=FH．
∵EF∥DH，
…