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苏科版八年级数学下册举一反三系列专题6.2实数与估算【十大题型】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册举一反三系列专题6.2实数与估算【十大题型】(原卷版+解析)，共32页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8075" 【题型1 实数的分类】 PAGEREF _Tc8075 \h 1
\l "_Tc19918" 【题型2 实数的性质】 PAGEREF _Tc19918 \h 2
\l "_Tc29296" 【题型3 实数与数轴的关系】 PAGEREF _Tc29296 \h 3
\l "_Tc22517" 【题型4 利用数轴化简】 PAGEREF _Tc22517 \h 4
\l "_Tc18455" 【题型5 实数的运算】 PAGEREF _Tc18455 \h 5
\l "_Tc1229" 【题型6 实数的应用】 PAGEREF _Tc1229 \h 6
\l "_Tc6606" 【题型7 估算无理数的范围】 PAGEREF _Tc6606 \h 8
\l "_Tc25107" 【题型8 已知无理数的范围求值】 PAGEREF _Tc25107 \h 8
\l "_Tc31067" 【题型9 估算无理数最接近的值】 PAGEREF _Tc31067 \h 9
\l "_Tc4465" 【题型10 无理数整数、小数部分问题】 PAGEREF _Tc4465 \h 9
【知识点1 实数的分类】
【知识点2 无理数的概念】
无限不循环小数叫做无理数.
常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．②含有π的绝大部分数，如2π．
【题型1 实数的分类】
【例1】（2022秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里．
100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37，−π4，2.010010001…．
正分数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
非正整数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
【变式1-1】（2022春•长葛市期中）下列各数：①3.141、②0.33333…、③5−7、④π、⑤±2.25、⑥−23、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加1），其中是无理数的有 ．（填序号）
【变式1-2】（2022春•古丈县期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；
⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；
⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．
其中说法错误的有 （注：填写出所有错误说法的编号）
【变式1-3】（2022春•赣州期末）把下列各数填在表示它所在的数集的圈内：
3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，25，8.7，2002，−13，0，﹣4.2，3.1415，﹣1000，1.21121112…
【题型2 实数的性质】
【例2】（2022秋•洛宁县期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，求cdm2+（a+b）m﹣m的立方根．
【变式2-1】（2022秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为49，
求代数式（a+b+cd）x+a+b−3cd的值．
【变式2-2】（2022春•洛阳期中）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值．
【变式2-3】（2022秋•西湖区校级期中）已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=−1；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是 ．
【题型3 实数与数轴的关系】
【例3】（2022秋•松滋市期末）如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ）
A．﹣2（m+2）B．m−22C．m+22D．2−m2
【变式3-1】（2022春•右玉县期末）如图，数轴上表示1，3的对应点分别为A，B，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为 ．
【变式3-2】（2022•锡山区期中）如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和5，则点C对应的实数是（ ）
A．1−5B．5−2C．−5D．2−5
【变式3-3】（2022秋•宣化区期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与d2−16互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
【题型4 利用数轴化简】
【例4】（2022春•荔湾区校级期中）如图，化简a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|．
【变式4-1】（2022秋•镇江期末）如图，a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数，试化简：b2−|a﹣c|+3(a+b)3．
【变式4-2】（2022春•芜湖期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简a2−b2−(a−b)2的结果是（ ）
A．0B．﹣2aC．2（b﹣a）D．﹣2b
【变式4-3】（2022秋•攀枝花校级期中）已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示，化简：(x−y)2−（|y−z|）2+3(x−z)3的值．
【题型5 实数的运算】
【例5】（2022春•呼和浩特期中）计算
（1）(−5)2−|3(−3)3+2|+（−0.64）×400
（2）327−|2−3|+（﹣1）2016．
【变式5-1】（2022春•环江县期末）计算：2−9+|3−2|−38．
【变式5-2】（2022秋•盘龙区校级期中）−100+16−4+49−169+81+（﹣6）−327．
【变式5-3】（2022•太平区期末）下计算下列各题：
（1）16+3−27−14+30.125+1−6364．
（2）|7−2|−|2−π|−(−7)2．
（3）(−6)2+|1−2|−38+(−5)2．
【题型6 实数的应用】
【例6】（2022春•南汇区期中）如图，矩形内小正方形的一条边在大正方形的一条边上，两个正方形的面积分别为3和5，那么阴影部分的面积是多少？
【变式6-1】（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
【变式6-2】（2022秋•高港区期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
【变式6-3】（2022春•海淀区校级期中）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=a时，数轴上点B'表示的数是 （用含a的代数式表示）．
【知识点3 估算法】
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
【题型7 估算无理数的范围】
【例7】（2022春•朝阳区校级月考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数，且n＜2048＜n+1，则n的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
【变式7-1】（2022春•滨海新区期末）估计23大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【变式7-2】（2022春•巩义市期末）估计15−1的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【变式7-3】（2022•东莞市一模）已知a=13+1介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5
【题型8 已知无理数的范围求值】
【例8】（2022秋•乳山市校级月考）满足−5＜x＜14的整数x有 个．
【变式8-1】（2022秋•永春县期末）如果整数a满足7＜a＜11，则a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式8-2】（2022春•自贡期末）若a、b为正整数．且a＞10，b＜6，则a+b的最小值为 ．
【变式8-3】（2022春•昆明期中）若a＜40＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为 ．
【题型9 估算无理数最接近的值】
【例9】（2022•玄武区二模）下列整数中，与10−30最接近的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-1】（2022春•凤凰县期末）与50的算术平方根最接近的整数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式9-2】（2022春•思明区校级期中）若m＝4n（m、n是正整数），且8＜m＜9，则与实数n的最大值最接近的数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-3】（2022春•潮安区期末）若m＝5n（m、n是正整数），且10＜m＜12，则与实数n的最大值最接近的数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【题型10 无理数整数、小数部分问题】
【例10】（2022秋•章丘市校级期末）设x是35的整数部分，y是35的小数部分，化简|x﹣y﹣3|．
【变式10-1】（2022•饶平县校级模拟）若13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b−13的值．
【变式10-2】（2022春•孟村县期末）已知5+7的小数部分为a，5−7的小数部分为b，求a+b．
【变式10-3】（2022春•西城区校级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[3]＝1，现对72进行如下操作：
72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次[2]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为 3 ，对200进行3次操作后变为 ；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是 ．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
专题6.2 实数与估算【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8075" 【题型1 实数的分类】 PAGEREF _Tc8075 \h 1
\l "_Tc19918" 【题型2 实数的性质】 PAGEREF _Tc19918 \h 3
\l "_Tc29296" 【题型3 实数与数轴的关系】 PAGEREF _Tc29296 \h 6
\l "_Tc22517" 【题型4 利用数轴化简】 PAGEREF _Tc22517 \h 8
\l "_Tc18455" 【题型5 实数的运算】 PAGEREF _Tc18455 \h 10
\l "_Tc1229" 【题型6 实数的应用】 PAGEREF _Tc1229 \h 11
\l "_Tc6606" 【题型7 估算无理数的范围】 PAGEREF _Tc6606 \h 17
\l "_Tc25107" 【题型8 已知无理数的范围求值】 PAGEREF _Tc25107 \h 18
\l "_Tc31067" 【题型9 估算无理数最接近的值】 PAGEREF _Tc31067 \h 19
\l "_Tc4465" 【题型10 无理数整数、小数部分问题】 PAGEREF _Tc4465 \h 20
【知识点1 实数的分类】
【知识点2 无理数的概念】
无限不循环小数叫做无理数.
常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．②含有π的绝大部分数，如2π．
【题型1 实数的分类】
【例1】（2022秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里．
100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37，−π4，2.010010001…．
正分数集合：{ 3.14，37 …}；
整数集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011 …}；
负有理数集合：{ ﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅ …}；
非正整数集合：{ ﹣2，0，﹣2011 …}；
无理数集合：{ −π4，2.010010001 ……}．
【分析】根据分数，有理数，整数以及无理数的概念进行判断即可．
【解答】解：正分数集合：{3.14，37，…}
整数集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011，…}
负有理数集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅，…}
非正整数集合；{﹣2，0，﹣2011，…}
无理数集合：{−π4，2.010010001…，…}．
故答案为：3.14，37；100，﹣2，0，﹣2011；﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅；﹣2，0，﹣2011；−π4，2.010010001…．
【变式1-1】（2022春•长葛市期中）下列各数：①3.141、②0.33333…、③5−7、④π、⑤±2.25、⑥−23、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加1），其中是无理数的有 ③④⑦ ．（填序号）
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：③5−7、④π、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加1）是无理数，
故答案为：③④⑦．
【变式1-2】（2022春•古丈县期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；
⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；
⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．
其中说法错误的有 ⑤ （注：填写出所有错误说法的编号）
【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案．
【解答】解：①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
②带根号的数不一定是无理数是正确的，如4=2；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的；
⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误；
⑥没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确．
故答案为：⑤．
【变式1-3】（2022春•赣州期末）把下列各数填在表示它所在的数集的圈内：
3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，25，8.7，2002，−13，0，﹣4.2，3.1415，﹣1000，1.21121112…
【分析】根据有理数、无理数、非正数、非负整数的意义选出即可．
【解答】解：
．
【题型2 实数的性质】
【例2】（2022秋•洛宁县期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，求cdm2+（a+b）m﹣m的立方根．
【分析】根据题意得a+b＝0，cd＝1，m＝±1，以整体的形式代入所求的代数式即可．
【解答】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵m的倒数等于它本身，
∴m＝±1，
①当a+b＝0；cd＝1；m＝1时，
cdm2+（a+b）m﹣m＝1+0﹣1＝0，
∴cdm2+（a+b）m﹣m的立方根为30=0；
②当a+b＝0；cd＝1；m＝﹣1时，
cdm2+（a+b）m﹣m＝1+0+1＝2，
∴cdm2+（a+b）m﹣m的立方根为32．
综上所述，cdm2+（a+b）m﹣m的立方根是0或32．
【变式2-1】（2022秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为49，
求代数式（a+b+cd）x+a+b−3cd的值．
【分析】根据题意可得a+b＝0，cd＝1，x＝±7，然后代入代数式求值即可．
【解答】解：49=7，
∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵x的绝对值为49．
∴x＝±7，
当x＝7时，
原式＝（0+1）×7+0−31
＝7﹣1
＝6，
当x＝﹣7时，
原式＝（0+1）×（﹣7）+0−31
＝﹣7﹣1
＝﹣8，
∴所求代数式的值为6或﹣8．
【变式2-2】（2022春•洛阳期中）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值．
【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d，ab及e的值，代入计算即可．
【解答】解：由题意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝±2，f＝64，
∴e2＝（±2）2＝2，3f=364=4，
∴12ab+c+d5+e2+3f=12+0+2+4＝612．
【变式2-3】（2022秋•西湖区校级期中）已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=−1；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是 ①②④⑤ ．
【分析】①除0外，互为相反数的商为﹣1，可作判断；
②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a与b都为负数，即2a+3b小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；
③由a﹣b的绝对值等于它的相反数，得到a﹣b为非正数，得到a与b的大小，即可作出判断；
④由a绝对值大于b绝对值，分情况讨论，即可作出判断；
⑤先根据a＜b，得a﹣3＜b﹣3，由ab＜0和有理数乘法法则可得a＜0，b＞0，分情况可作判断．
【解答】解：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=−1，本选项正确；
②若ab＞0，则a与b同号，由a+b＜0，则a＜0，b＜0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，本选项正确；
③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b），
∴a﹣b≤0，即a≤b，本选项错误；
④若|a|＞|b|，
当a＞0，b＞0时，可得a＞b，即a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；
当a＞0，b＜0时，a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；
当a＜0，b＞0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；
当a＜0，b＜0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数，
本选项正确；
⑤∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，
∵ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
当0＜b＜3时，|a﹣3|＜|b﹣3|，
∴3﹣a＜3﹣b，不符合题意；
所以b≥3，|a﹣3|＜|b﹣3|，
∴3﹣a＜b﹣3，
则a+b＞6，
本选项正确；
则其中正确的有4个．
故答案为：①②④⑤．
【题型3 实数与数轴的关系】
【例3】（2022秋•松滋市期末）如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ）
A．﹣2（m+2）B．m−22C．m+22D．2−m2
【分析】表示出点A所表示的数，进而求出OA，再求出OB，进而确定点B表示的数．
【解答】解：由点A、B、C在数轴上的位置，AC＝2，若C点所表示的数为m，
∴点A表示的数为m﹣2，
∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m
∵OA＝2OB，
∴OB=12OA=2−m2，
故选：D．
【变式3-1】（2022春•右玉县期末）如图，数轴上表示1，3的对应点分别为A，B，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为 2−3 ．
【分析】计算出AB的长度，进而求出AC的长，再根据点A所表示的数为1，点C在点A的左侧，即可求出点C所表示的数．
【解答】解：∵A，B在数轴上表示的数为1和3，
∴AB=3−1，
又∵AC＝AB，
∴点C所表示的数为：1﹣（3−1）＝2−3，
故答案为：2−3．
【变式3-2】（2022•锡山区期中）如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和5，则点C对应的实数是（ ）
A．1−5B．5−2C．−5D．2−5
【分析】根据数轴上两点之间距离的计算方法，以及中心对称的意义，列方程求解即可．
【解答】解：∵A、B两点对应的实数分别是1和5，
∴AB=5−1，
又∵点C与点B关于点A对称，
∴AC＝AB，
设点C所表示的数为c，则AC＝1﹣c，
∴1﹣c=5−1，
∴c＝2−5，
故选：D．
【变式3-3】（2022秋•宣化区期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 2−2 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与d2−16互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
【分析】（1）点A表示−2，沿着x轴向右移动2个单位到达点B，B所表示的数为，−2+2，即：2−2，
故答案为：2−2．
（2）m＝2−2，则m+1＞0，m﹣1＜0，进而化简|m+1|+|m﹣1|，并求出代数式的值；
（3）根据非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根．
【解答】解：（1）m=−2+2＝2−2；
（2）∵m＝2−2，则m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．
（3）∵|2c+d|与d2−16互为相反数，
∴|2c+d|+d2−16=0，
∴|2c+d|＝0，且d2−16=0，
解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，
①当c＝﹣2，d＝4时，
所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．
②当c＝2，d＝﹣4时，
∴2c﹣3d＝16，
∴2c﹣3d的平方根为±4，
答：2c﹣3d的平方根为±4．
【题型4 利用数轴化简】
【例4】（2022春•荔湾区校级期中）如图，化简a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|．
【分析】先根据数轴上点的位置确定出a、b、c的符号，再利用绝对值性质和二次根式的性质a2=|a|求解可得；
【解答】解：（1）由数轴得：b＜a＜0＜c，|c|＞|b|＞|a|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0．
∴原式＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝﹣a+2b+2c．
【变式4-1】（2022秋•镇江期末）如图，a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数，试化简：b2−|a﹣c|+3(a+b)3．
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及大小，再根据算术平方根、立方根的定义，绝对值的性质进行化简，然后进行整式的加减计算即可得解．
【解答】解：∵a＜0，b＜0，c＞0，
∴a＜c
∴原式＝|b|﹣|a﹣c|+（a+b）
＝﹣b+（a﹣c）+（a+b）
＝﹣b+a﹣c+a+b
＝2a﹣c．
【变式4-2】（2022春•芜湖期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简a2−b2−(a−b)2的结果是（ ）
A．0B．﹣2aC．2（b﹣a）D．﹣2b
【分析】先根据数轴确定a，b的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答．
【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，a﹣b＜0，
∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+a﹣b
＝﹣2b．
故选：D．
【变式4-3】（2022秋•攀枝花校级期中）已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示，化简：(x−y)2−（|y−z|）2+3(x−z)3的值．
【分析】先根据数轴判断x，y，z的正负，进而判断x﹣y，y﹣z，x﹣z的正负，再根据二次根式的性质，进行化简，即可解答．
【解答】解：∵由数轴可得：x＜y＜0＜z，
∴x﹣y＜0，y﹣z＜0，x﹣z＜0，
原式＝|x﹣y|﹣|y﹣z|+x﹣z
＝y﹣x﹣z+y+x﹣z
＝2y﹣2z．
【题型5 实数的运算】
【例5】（2022春•呼和浩特期中）计算
（1）(−5)2−|3(−3)3+2|+（−0.64）×400
（2）327−|2−3|+（﹣1）2016．
【分析】（1）先根据平方根、立方根性质化简根式，再去绝对值符号和计算乘法、最后计算加减即可；
（2）先计算立方根、去绝对值符号、乘方，再去括号，最后计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝5﹣|﹣3+2|+（﹣0.8）×20
＝5﹣1﹣16
＝﹣12；
（2）原式＝3﹣（3−2）+1
＝3﹣3+2+1
＝1+2．
【变式5-1】（2022春•环江县期末）计算：2−9+|3−2|−38．
【分析】根据二次根式的性质及立方根的概念先化简，再合并同类二次根式即可得到答案．
【解答】解：原式=2−3+3−2−2
＝﹣2．
【变式5-2】（2022秋•盘龙区校级期中）−100+16−4+49−169+81+（﹣6）−327．
【分析】分别根据立方根、算术平方根的计算法则分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．
【解答】解：原式＝﹣10+4﹣2+23−43+9﹣6﹣3
＝﹣6﹣2−23
＝﹣823．
【变式5-3】（2022•太平区期末）下计算下列各题：
（1）16+3−27−14+30.125+1−6364．
（2）|7−2|−|2−π|−(−7)2．
（3）(−6)2+|1−2|−38+(−5)2．
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可；
（2）先化简绝对值、计算平方根，再计算实数的加减即可；
（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可．
【解答】解：（1）16+3−27−14+30.125+1−6364
＝4+（﹣3）−12+0.5+18
＝118；
（2）|7−2|−|2−π|−(−7)2
＝（7−2）﹣（π−2）﹣7
＝7−2−π+2−7
＝﹣π；
（3）(−6)2+|1−2|−38+(−5)2
＝6+（2−1）﹣2+5
＝8+2；
【题型6 实数的应用】
【例6】（2022春•南汇区期中）如图，矩形内小正方形的一条边在大正方形的一条边上，两个正方形的面积分别为3和5，那么阴影部分的面积是多少？
【分析】先根据所给正方形的面积，可分别求出正方形的边长BE、HM，而S阴影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN，易求阴影的面积．
【解答】解：如图，设大正方形为BCDE，矩形为ABEF，小正方形为GHMN，
∵S正方形BCDE＝5，
∴BE=5，
∵S正方形GHMN＝3，
∴HM＝AB=3，
S阴影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN=3×5−3=15−3．
答：阴影部分的面积为15−3．
【变式6-1】（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
【分析】（1）直接利用已知假设出长方体的水池长、宽、高，进而利用长方体体积求出即可；
（2）利用球的体积公式，进而开立方求出即可．
【解答】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3，
∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，
∴2x•2x•4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
（2）设该小球的半径为rcm，则：
43πr3=160×16 000，
∴r3=160×16 000×14，
∴r≈4.05，
答：该小球的半径为4.05cm．
【变式6-2】（2022秋•高港区期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与数 ﹣2−3 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ﹣5和3 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 198或72或378 ．
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB＝8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a=94，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【解答】解：操作一，
（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，
则折痕表示的点为﹣1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，
则3−（﹣1）＝﹣1﹣a，
a＝﹣2−3；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；
故答案为：①﹣2−3，②﹣5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=94，BC=94，CD=92，
x＝﹣1+94+98=198，
如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=94，BC=92，CD=94，
x＝﹣1+94+94=72，
如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，
设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=92，BC＝CD=94，
x＝﹣1+92+98=378，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是198或72或378．
故答案为：198或72或378．
【变式6-3】（2022春•海淀区校级期中）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=a时，数轴上点B'表示的数是 a或2−a （用含a的代数式表示）．
【分析】平移可分两种情况，左平移，右平移．根据面积求得边长，继而求得平移距离．
【解答】解：因为正方形面积为a，
所以边长AB=a，
当向右平移时，如图1，
因为重叠部分的面积为S＝AB'•AD=a，
AB'×a=a，
所以AB'＝1，
所以平移距离BB'＝AB﹣AB'=a−1，
所以OB'＝OB+BB'=1+a−1=a，
则B'表示的数是a；
当向左平移时，如图2，
因为重叠部分的面积为S＝A'B•A'D'=a，
A'B×a=a，
所以A'B＝1，
所以平移距离BB'＝A'B'﹣A'B=a−1，
所以OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（a−1）＝2−a，
则B'表示的数是2−a．
【知识点3 估算法】
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
【题型7 估算无理数的范围】
【例7】（2022春•朝阳区校级月考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数，且n＜2048＜n+1，则n的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵2025＜2048＜2116，
∴45＜2048＜46，
∴n＝45．
故选：C．
【变式7-1】（2022春•滨海新区期末）估计23大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【分析】直接利用16＜23＜25，进而得出答案．
【解答】解：∵16＜23＜25，
∴4＜23＜5，
∴23在4～5之间．
故选：C．
【变式7-2】（2022春•巩义市期末）估计15−1的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】根据平方运算，先估算出15的值，即可解答．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜15＜4，
∴2＜15−1＜3，
∴估计15−1的值在2和3之间，
故选：B．
【变式7-3】（2022•东莞市一模）已知a=13+1介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5
【分析】估算确定出13的大小范围，进而确定出所求即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，即4＜13+1＜5，
则4＜a＜5．
故选：D．
【题型8 已知无理数的范围求值】
【例8】（2022秋•乳山市校级月考）满足−5＜x＜14的整数x有 6 个．
【分析】先估算出5和14的大小，然后再确定x的值即可．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜5＜3，
∴﹣3＜−5＜−2．
∵9＜14＜16，
∴3＜14＜4，
∴整数x的值为﹣2，﹣1，0，1，2，3．
故答案为：6．
【变式8-1】（2022秋•永春县期末）如果整数a满足7＜a＜11，则a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先计算（7）2＝7，（11）2＝11，然后看哪个平方数在7和11之间即可．
【解答】解：∵7＜9＜11，
∴7＜3＜11，
∴如果整数a满足7＜a＜11，则a的值是：3，
故选：C．
【变式8-2】（2022春•自贡期末）若a、b为正整数．且a＞10，b＜6，则a+b的最小值为 5 ．
【分析】先估算出a、b的取值范围，然后再求得a+b的最大值即可．
【解答】解：∵9＜10＜16，4＜6＜9，
∴3＜10＜4，2＜6＜3．
又∵a、b为正整数，
∴当a＝4，b＝1时，a+b有最小值，
∴a+b的最小值为5．
故答案为：5．
【变式8-3】（2022春•昆明期中）若a＜40＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为 13 ．
【分析】先估算出40的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵6＜40＜7，
∴a＝6，b＝7，
∴a+b＝13，
故答案为：13．
【题型9 估算无理数最接近的值】
【例9】（2022•玄武区二模）下列整数中，与10−30最接近的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先估算出30的范围，再估算10−30的范围即可．
【解答】解：∵25＜30＜36，30离25更近，
∴5＜30＜6，且更接近5，
∴﹣6＜−30＜−5，且更接近﹣5，
∴4＜10−30＜5，且更接近5．
故选：C．
【变式9-1】（2022春•凤凰县期末）与50的算术平方根最接近的整数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】先计算50位于哪两个相邻的整数之间，再确定50距离哪个整数的平方接近即可确定答案．
【解答】解：∵49＜50＜64，
∴49＜50＜64，
即7＜50＜8，
∵7.52＝56.25，50＜56.25，
∴与50最接近的整数是7．
故选：B．
【变式9-2】（2022春•思明区校级期中）若m＝4n（m、n是正整数），且8＜m＜9，则与实数n的最大值最接近的数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据题中条件求出m的范围，进而得到n的取值范围，得到n的最大值，估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵8＜m＜9，
∴64＜m＜81，
∵m＝4n（m、n是正整数），
∴16＜n＜20.25，
∴n的最大值为20，
∴n的最大值为20，
∵16＜20＜20.25，
∴4＜20＜4.5，
∴与实数n的最大值最接近的数是4．
故选：B．
【变式9-3】（2022春•潮安区期末）若m＝5n（m、n是正整数），且10＜m＜12，则与实数n的最大值最接近的数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据m的取值范围确定n的取值，再根据m、n为整数，确定n的最大值，再估算即可．
【解答】解：∵10＜m＜12，
∴100＜m＜144，
∴20＜m5＜28.8，
即20＜n＜28.8，
又∵m、n是正整数，
∴n的最大值为28，
∵25比36更接近28，
∴n的值比较接近25，即比较接近5，
故选：B．
【题型10 无理数整数、小数部分问题】
【例10】（2022秋•章丘市校级期末）设x是35的整数部分，y是35的小数部分，化简|x﹣y﹣3|．
【分析】求出35的范围，得出x＝5，y=35−5，代入求出即可．
【解答】解：∵25＜35＜36，
∴5＜35＜6，
∴x＝5，y=35−5，
∴|x﹣y﹣3|＝|5﹣（35−5）﹣3|
＝|7−35|
＝7−35．
【变式10-1】（2022•饶平县校级模拟）若13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b−13的值．
【分析】先求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴a＝3，b=13−3，
∴a2+b−13=9+13−3−13=6．
故答案为6．
【变式10-2】（2022春•孟村县期末）已知5+7的小数部分为a，5−7的小数部分为b，求a+b．
【分析】先求出7的范围，推出7＜5+7＜8和2＜5−7＜3，求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵2＜7＜3，
∴7＜5+7＜8，
∴a＝5+7−7=7−2，
∵2＜7＜3
∴﹣3＜−7＜−2，
∴2＜5−7＜3，
∴b＝5−7−2＝3−7，
∴a+b=7−2+3−7=1．
【变式10-3】（2022春•西城区校级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[3]＝1，现对72进行如下操作：
72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次[2]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为 3 ，对200进行3次操作后变为 1 ；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是 4≤m＜16 ．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 255 ．
【分析】（1）根据[a]的含义和无理数的估计可求．
（2）根据[a]的含义倒推m的范围．
（3）根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【解答】解：（1）[10]＝3．
200进行第一次操作：[200]＝14，
第二次操作后：[14]＝3．
第三次操作后：[3]＝1．
故答案为：3，1．
（2）∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤m＜16．
∵操作两次．
∴m≥2．
∴m≥4．
∴4≤m＜16．
故答案为：4≤m＜16．
（3）设这个数是p，
∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴1≤m＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤p＜16．
∴1≤p＜256．
∵3次操作，故p≥16．
∴16≤p＜256．
∵p是整数．
∴p的最大值为255．
故答案为：255．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8075" 【题型1 实数的分类】 PAGEREF _Tc8075 \h 1
\l "_Tc19918" 【题型2 实数的性质】 PAGEREF _Tc19918 \h 2
\l "_Tc29296" 【题型3 实数与数轴的关系】 PAGEREF _Tc29296 \h 3
\l "_Tc22517" 【题型4 利用数轴化简】 PAGEREF _Tc22517 \h 4
\l "_Tc18455" 【题型5 实数的运算】 PAGEREF _Tc18455 \h 5
\l "_Tc1229" 【题型6 实数的应用】 PAGEREF _Tc1229 \h 6
\l "_Tc6606" 【题型7 估算无理数的范围】 PAGEREF _Tc6606 \h 8
\l "_Tc25107" 【题型8 已知无理数的范围求值】 PAGEREF _Tc25107 \h 8
\l "_Tc31067" 【题型9 估算无理数最接近的值】 PAGEREF _Tc31067 \h 9
\l "_Tc4465" 【题型10 无理数整数、小数部分问题】 PAGEREF _Tc4465 \h 9
【知识点1 实数的分类】
【知识点2 无理数的概念】
无限不循环小数叫做无理数.
常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．②含有π的绝大部分数，如2π．
【题型1 实数的分类】
【例1】（2022秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里．
100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37，−π4，2.010010001…．
正分数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
非正整数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
【变式1-1】（2022春•长葛市期中）下列各数：①3.141、②0.33333…、③5−7、④π、⑤±2.25、⑥−23、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加1），其中是无理数的有 ．（填序号）
【变式1-2】（2022春•古丈县期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；
⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；
⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．
其中说法错误的有 （注：填写出所有错误说法的编号）
【变式1-3】（2022春•赣州期末）把下列各数填在表示它所在的数集的圈内：
3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，25，8.7，2002，−13，0，﹣4.2，3.1415，﹣1000，1.21121112…
【题型2 实数的性质】
【例2】（2022秋•洛宁县期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，求cdm2+（a+b）m﹣m的立方根．
【变式2-1】（2022秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为49，
求代数式（a+b+cd）x+a+b−3cd的值．
【变式2-2】（2022春•洛阳期中）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值．
【变式2-3】（2022秋•西湖区校级期中）已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=−1；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是 ．
【题型3 实数与数轴的关系】
【例3】（2022秋•松滋市期末）如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ）
A．﹣2（m+2）B．m−22C．m+22D．2−m2
【变式3-1】（2022春•右玉县期末）如图，数轴上表示1，3的对应点分别为A，B，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为 ．
【变式3-2】（2022•锡山区期中）如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和5，则点C对应的实数是（ ）
A．1−5B．5−2C．−5D．2−5
【变式3-3】（2022秋•宣化区期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与d2−16互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
【题型4 利用数轴化简】
【例4】（2022春•荔湾区校级期中）如图，化简a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|．
【变式4-1】（2022秋•镇江期末）如图，a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数，试化简：b2−|a﹣c|+3(a+b)3．
【变式4-2】（2022春•芜湖期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简a2−b2−(a−b)2的结果是（ ）
A．0B．﹣2aC．2（b﹣a）D．﹣2b
【变式4-3】（2022秋•攀枝花校级期中）已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示，化简：(x−y)2−（|y−z|）2+3(x−z)3的值．
【题型5 实数的运算】
【例5】（2022春•呼和浩特期中）计算
（1）(−5)2−|3(−3)3+2|+（−0.64）×400
（2）327−|2−3|+（﹣1）2016．
【变式5-1】（2022春•环江县期末）计算：2−9+|3−2|−38．
【变式5-2】（2022秋•盘龙区校级期中）−100+16−4+49−169+81+（﹣6）−327．
【变式5-3】（2022•太平区期末）下计算下列各题：
（1）16+3−27−14+30.125+1−6364．
（2）|7−2|−|2−π|−(−7)2．
（3）(−6)2+|1−2|−38+(−5)2．
【题型6 实数的应用】
【例6】（2022春•南汇区期中）如图，矩形内小正方形的一条边在大正方形的一条边上，两个正方形的面积分别为3和5，那么阴影部分的面积是多少？
【变式6-1】（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
【变式6-2】（2022秋•高港区期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
【变式6-3】（2022春•海淀区校级期中）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=a时，数轴上点B'表示的数是 （用含a的代数式表示）．
【知识点3 估算法】
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
【题型7 估算无理数的范围】
【例7】（2022春•朝阳区校级月考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数，且n＜2048＜n+1，则n的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
【变式7-1】（2022春•滨海新区期末）估计23大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【变式7-2】（2022春•巩义市期末）估计15−1的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【变式7-3】（2022•东莞市一模）已知a=13+1介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5
【题型8 已知无理数的范围求值】
【例8】（2022秋•乳山市校级月考）满足−5＜x＜14的整数x有 个．
【变式8-1】（2022秋•永春县期末）如果整数a满足7＜a＜11，则a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式8-2】（2022春•自贡期末）若a、b为正整数．且a＞10，b＜6，则a+b的最小值为 ．
【变式8-3】（2022春•昆明期中）若a＜40＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为 ．
【题型9 估算无理数最接近的值】
【例9】（2022•玄武区二模）下列整数中，与10−30最接近的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-1】（2022春•凤凰县期末）与50的算术平方根最接近的整数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式9-2】（2022春•思明区校级期中）若m＝4n（m、n是正整数），且8＜m＜9，则与实数n的最大值最接近的数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式9-3】（2022春•潮安区期末）若m＝5n（m、n是正整数），且10＜m＜12，则与实数n的最大值最接近的数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【题型10 无理数整数、小数部分问题】
【例10】（2022秋•章丘市校级期末）设x是35的整数部分，y是35的小数部分，化简|x﹣y﹣3|．
【变式10-1】（2022•饶平县校级模拟）若13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b−13的值．
【变式10-2】（2022春•孟村县期末）已知5+7的小数部分为a，5−7的小数部分为b，求a+b．
【变式10-3】（2022春•西城区校级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[3]＝1，现对72进行如下操作：
72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次[2]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为 3 ，对200进行3次操作后变为 ；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是 ．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
专题6.2 实数与估算【十大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8075" 【题型1 实数的分类】 PAGEREF _Tc8075 \h 1
\l "_Tc19918" 【题型2 实数的性质】 PAGEREF _Tc19918 \h 3
\l "_Tc29296" 【题型3 实数与数轴的关系】 PAGEREF _Tc29296 \h 6
\l "_Tc22517" 【题型4 利用数轴化简】 PAGEREF _Tc22517 \h 8
\l "_Tc18455" 【题型5 实数的运算】 PAGEREF _Tc18455 \h 10
\l "_Tc1229" 【题型6 实数的应用】 PAGEREF _Tc1229 \h 11
\l "_Tc6606" 【题型7 估算无理数的范围】 PAGEREF _Tc6606 \h 17
\l "_Tc25107" 【题型8 已知无理数的范围求值】 PAGEREF _Tc25107 \h 18
\l "_Tc31067" 【题型9 估算无理数最接近的值】 PAGEREF _Tc31067 \h 19
\l "_Tc4465" 【题型10 无理数整数、小数部分问题】 PAGEREF _Tc4465 \h 20
【知识点1 实数的分类】
【知识点2 无理数的概念】
无限不循环小数叫做无理数.
常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．②含有π的绝大部分数，如2π．
【题型1 实数的分类】
【例1】（2022秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里．
100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37，−π4，2.010010001…．
正分数集合：{ 3.14，37 …}；
整数集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011 …}；
负有理数集合：{ ﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅ …}；
非正整数集合：{ ﹣2，0，﹣2011 …}；
无理数集合：{ −π4，2.010010001 ……}．
【分析】根据分数，有理数，整数以及无理数的概念进行判断即可．
【解答】解：正分数集合：{3.14，37，…}
整数集合：{ 100，﹣2，0，﹣2011，…}
负有理数集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅，…}
非正整数集合；{﹣2，0，﹣2011，…}
无理数集合：{−π4，2.010010001…，…}．
故答案为：3.14，37；100，﹣2，0，﹣2011；﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅；﹣2，0，﹣2011；−π4，2.010010001…．
【变式1-1】（2022春•长葛市期中）下列各数：①3.141、②0.33333…、③5−7、④π、⑤±2.25、⑥−23、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加1），其中是无理数的有 ③④⑦ ．（填序号）
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：③5−7、④π、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加1）是无理数，
故答案为：③④⑦．
【变式1-2】（2022春•古丈县期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；
⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；
⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．
其中说法错误的有 ⑤ （注：填写出所有错误说法的编号）
【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案．
【解答】解：①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
②带根号的数不一定是无理数是正确的，如4=2；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的；
⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误；
⑥没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确．
故答案为：⑤．
【变式1-3】（2022春•赣州期末）把下列各数填在表示它所在的数集的圈内：
3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，25，8.7，2002，−13，0，﹣4.2，3.1415，﹣1000，1.21121112…
【分析】根据有理数、无理数、非正数、非负整数的意义选出即可．
【解答】解：
．
【题型2 实数的性质】
【例2】（2022秋•洛宁县期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，求cdm2+（a+b）m﹣m的立方根．
【分析】根据题意得a+b＝0，cd＝1，m＝±1，以整体的形式代入所求的代数式即可．
【解答】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵m的倒数等于它本身，
∴m＝±1，
①当a+b＝0；cd＝1；m＝1时，
cdm2+（a+b）m﹣m＝1+0﹣1＝0，
∴cdm2+（a+b）m﹣m的立方根为30=0；
②当a+b＝0；cd＝1；m＝﹣1时，
cdm2+（a+b）m﹣m＝1+0+1＝2，
∴cdm2+（a+b）m﹣m的立方根为32．
综上所述，cdm2+（a+b）m﹣m的立方根是0或32．
【变式2-1】（2022秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为49，
求代数式（a+b+cd）x+a+b−3cd的值．
【分析】根据题意可得a+b＝0，cd＝1，x＝±7，然后代入代数式求值即可．
【解答】解：49=7，
∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵x的绝对值为49．
∴x＝±7，
当x＝7时，
原式＝（0+1）×7+0−31
＝7﹣1
＝6，
当x＝﹣7时，
原式＝（0+1）×（﹣7）+0−31
＝﹣7﹣1
＝﹣8，
∴所求代数式的值为6或﹣8．
【变式2-2】（2022春•洛阳期中）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值．
【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d，ab及e的值，代入计算即可．
【解答】解：由题意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝±2，f＝64，
∴e2＝（±2）2＝2，3f=364=4，
∴12ab+c+d5+e2+3f=12+0+2+4＝612．
【变式2-3】（2022秋•西湖区校级期中）已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=−1；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是 ①②④⑤ ．
【分析】①除0外，互为相反数的商为﹣1，可作判断；
②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a与b都为负数，即2a+3b小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；
③由a﹣b的绝对值等于它的相反数，得到a﹣b为非正数，得到a与b的大小，即可作出判断；
④由a绝对值大于b绝对值，分情况讨论，即可作出判断；
⑤先根据a＜b，得a﹣3＜b﹣3，由ab＜0和有理数乘法法则可得a＜0，b＞0，分情况可作判断．
【解答】解：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=−1，本选项正确；
②若ab＞0，则a与b同号，由a+b＜0，则a＜0，b＜0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，本选项正确；
③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b），
∴a﹣b≤0，即a≤b，本选项错误；
④若|a|＞|b|，
当a＞0，b＞0时，可得a＞b，即a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；
当a＞0，b＜0时，a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；
当a＜0，b＞0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；
当a＜0，b＜0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数，
本选项正确；
⑤∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，
∵ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
当0＜b＜3时，|a﹣3|＜|b﹣3|，
∴3﹣a＜3﹣b，不符合题意；
所以b≥3，|a﹣3|＜|b﹣3|，
∴3﹣a＜b﹣3，
则a+b＞6，
本选项正确；
则其中正确的有4个．
故答案为：①②④⑤．
【题型3 实数与数轴的关系】
【例3】（2022秋•松滋市期末）如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ）
A．﹣2（m+2）B．m−22C．m+22D．2−m2
【分析】表示出点A所表示的数，进而求出OA，再求出OB，进而确定点B表示的数．
【解答】解：由点A、B、C在数轴上的位置，AC＝2，若C点所表示的数为m，
∴点A表示的数为m﹣2，
∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m
∵OA＝2OB，
∴OB=12OA=2−m2，
故选：D．
【变式3-1】（2022春•右玉县期末）如图，数轴上表示1，3的对应点分别为A，B，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为 2−3 ．
【分析】计算出AB的长度，进而求出AC的长，再根据点A所表示的数为1，点C在点A的左侧，即可求出点C所表示的数．
【解答】解：∵A，B在数轴上表示的数为1和3，
∴AB=3−1，
又∵AC＝AB，
∴点C所表示的数为：1﹣（3−1）＝2−3，
故答案为：2−3．
【变式3-2】（2022•锡山区期中）如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和5，则点C对应的实数是（ ）
A．1−5B．5−2C．−5D．2−5
【分析】根据数轴上两点之间距离的计算方法，以及中心对称的意义，列方程求解即可．
【解答】解：∵A、B两点对应的实数分别是1和5，
∴AB=5−1，
又∵点C与点B关于点A对称，
∴AC＝AB，
设点C所表示的数为c，则AC＝1﹣c，
∴1﹣c=5−1，
∴c＝2−5，
故选：D．
【变式3-3】（2022秋•宣化区期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 2−2 ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与d2−16互为相反数，求2c﹣3d的平方根．
【分析】（1）点A表示−2，沿着x轴向右移动2个单位到达点B，B所表示的数为，−2+2，即：2−2，
故答案为：2−2．
（2）m＝2−2，则m+1＞0，m﹣1＜0，进而化简|m+1|+|m﹣1|，并求出代数式的值；
（3）根据非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根．
【解答】解：（1）m=−2+2＝2−2；
（2）∵m＝2−2，则m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．
（3）∵|2c+d|与d2−16互为相反数，
∴|2c+d|+d2−16=0，
∴|2c+d|＝0，且d2−16=0，
解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，
①当c＝﹣2，d＝4时，
所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．
②当c＝2，d＝﹣4时，
∴2c﹣3d＝16，
∴2c﹣3d的平方根为±4，
答：2c﹣3d的平方根为±4．
【题型4 利用数轴化简】
【例4】（2022春•荔湾区校级期中）如图，化简a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|．
【分析】先根据数轴上点的位置确定出a、b、c的符号，再利用绝对值性质和二次根式的性质a2=|a|求解可得；
【解答】解：（1）由数轴得：b＜a＜0＜c，|c|＞|b|＞|a|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0．
∴原式＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝﹣a+2b+2c．
【变式4-1】（2022秋•镇江期末）如图，a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数，试化简：b2−|a﹣c|+3(a+b)3．
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及大小，再根据算术平方根、立方根的定义，绝对值的性质进行化简，然后进行整式的加减计算即可得解．
【解答】解：∵a＜0，b＜0，c＞0，
∴a＜c
∴原式＝|b|﹣|a﹣c|+（a+b）
＝﹣b+（a﹣c）+（a+b）
＝﹣b+a﹣c+a+b
＝2a﹣c．
【变式4-2】（2022春•芜湖期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简a2−b2−(a−b)2的结果是（ ）
A．0B．﹣2aC．2（b﹣a）D．﹣2b
【分析】先根据数轴确定a，b的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答．
【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，a﹣b＜0，
∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+a﹣b
＝﹣2b．
故选：D．
【变式4-3】（2022秋•攀枝花校级期中）已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示，化简：(x−y)2−（|y−z|）2+3(x−z)3的值．
【分析】先根据数轴判断x，y，z的正负，进而判断x﹣y，y﹣z，x﹣z的正负，再根据二次根式的性质，进行化简，即可解答．
【解答】解：∵由数轴可得：x＜y＜0＜z，
∴x﹣y＜0，y﹣z＜0，x﹣z＜0，
原式＝|x﹣y|﹣|y﹣z|+x﹣z
＝y﹣x﹣z+y+x﹣z
＝2y﹣2z．
【题型5 实数的运算】
【例5】（2022春•呼和浩特期中）计算
（1）(−5)2−|3(−3)3+2|+（−0.64）×400
（2）327−|2−3|+（﹣1）2016．
【分析】（1）先根据平方根、立方根性质化简根式，再去绝对值符号和计算乘法、最后计算加减即可；
（2）先计算立方根、去绝对值符号、乘方，再去括号，最后计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝5﹣|﹣3+2|+（﹣0.8）×20
＝5﹣1﹣16
＝﹣12；
（2）原式＝3﹣（3−2）+1
＝3﹣3+2+1
＝1+2．
【变式5-1】（2022春•环江县期末）计算：2−9+|3−2|−38．
【分析】根据二次根式的性质及立方根的概念先化简，再合并同类二次根式即可得到答案．
【解答】解：原式=2−3+3−2−2
＝﹣2．
【变式5-2】（2022秋•盘龙区校级期中）−100+16−4+49−169+81+（﹣6）−327．
【分析】分别根据立方根、算术平方根的计算法则分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．
【解答】解：原式＝﹣10+4﹣2+23−43+9﹣6﹣3
＝﹣6﹣2−23
＝﹣823．
【变式5-3】（2022•太平区期末）下计算下列各题：
（1）16+3−27−14+30.125+1−6364．
（2）|7−2|−|2−π|−(−7)2．
（3）(−6)2+|1−2|−38+(−5)2．
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可；
（2）先化简绝对值、计算平方根，再计算实数的加减即可；
（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可．
【解答】解：（1）16+3−27−14+30.125+1−6364
＝4+（﹣3）−12+0.5+18
＝118；
（2）|7−2|−|2−π|−(−7)2
＝（7−2）﹣（π−2）﹣7
＝7−2−π+2−7
＝﹣π；
（3）(−6)2+|1−2|−38+(−5)2
＝6+（2−1）﹣2+5
＝8+2；
【题型6 实数的应用】
【例6】（2022春•南汇区期中）如图，矩形内小正方形的一条边在大正方形的一条边上，两个正方形的面积分别为3和5，那么阴影部分的面积是多少？
【分析】先根据所给正方形的面积，可分别求出正方形的边长BE、HM，而S阴影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN，易求阴影的面积．
【解答】解：如图，设大正方形为BCDE，矩形为ABEF，小正方形为GHMN，
∵S正方形BCDE＝5，
∴BE=5，
∵S正方形GHMN＝3，
∴HM＝AB=3，
S阴影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN=3×5−3=15−3．
答：阴影部分的面积为15−3．
【变式6-1】（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
【分析】（1）直接利用已知假设出长方体的水池长、宽、高，进而利用长方体体积求出即可；
（2）利用球的体积公式，进而开立方求出即可．
【解答】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3，
∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，
∴2x•2x•4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
（2）设该小球的半径为rcm，则：
43πr3=160×16 000，
∴r3=160×16 000×14，
∴r≈4.05，
答：该小球的半径为4.05cm．
【变式6-2】（2022秋•高港区期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与数 ﹣2−3 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ﹣5和3 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 198或72或378 ．
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB＝8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a=94，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【解答】解：操作一，
（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，
则折痕表示的点为﹣1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，
则3−（﹣1）＝﹣1﹣a，
a＝﹣2−3；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；
故答案为：①﹣2−3，②﹣5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=94，BC=94，CD=92，
x＝﹣1+94+98=198，
如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=94，BC=92，CD=94，
x＝﹣1+94+94=72，
如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，
设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=92，BC＝CD=94，
x＝﹣1+92+98=378，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是198或72或378．
故答案为：198或72或378．
【变式6-3】（2022春•海淀区校级期中）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=a时，数轴上点B'表示的数是 a或2−a （用含a的代数式表示）．
【分析】平移可分两种情况，左平移，右平移．根据面积求得边长，继而求得平移距离．
【解答】解：因为正方形面积为a，
所以边长AB=a，
当向右平移时，如图1，
因为重叠部分的面积为S＝AB'•AD=a，
AB'×a=a，
所以AB'＝1，
所以平移距离BB'＝AB﹣AB'=a−1，
所以OB'＝OB+BB'=1+a−1=a，
则B'表示的数是a；
当向左平移时，如图2，
因为重叠部分的面积为S＝A'B•A'D'=a，
A'B×a=a，
所以A'B＝1，
所以平移距离BB'＝A'B'﹣A'B=a−1，
所以OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（a−1）＝2−a，
则B'表示的数是2−a．
【知识点3 估算法】
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
【题型7 估算无理数的范围】
【例7】（2022春•朝阳区校级月考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数，且n＜2048＜n+1，则n的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵2025＜2048＜2116，
∴45＜2048＜46，
∴n＝45．
故选：C．
【变式7-1】（2022春•滨海新区期末）估计23大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【分析】直接利用16＜23＜25，进而得出答案．
【解答】解：∵16＜23＜25，
∴4＜23＜5，
∴23在4～5之间．
故选：C．
【变式7-2】（2022春•巩义市期末）估计15−1的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】根据平方运算，先估算出15的值，即可解答．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜15＜4，
∴2＜15−1＜3，
∴估计15−1的值在2和3之间，
故选：B．
【变式7-3】（2022•东莞市一模）已知a=13+1介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜5
【分析】估算确定出13的大小范围，进而确定出所求即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，即4＜13+1＜5，
则4＜a＜5．
故选：D．
【题型8 已知无理数的范围求值】
【例8】（2022秋•乳山市校级月考）满足−5＜x＜14的整数x有 6 个．
【分析】先估算出5和14的大小，然后再确定x的值即可．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜5＜3，
∴﹣3＜−5＜−2．
∵9＜14＜16，
∴3＜14＜4，
∴整数x的值为﹣2，﹣1，0，1，2，3．
故答案为：6．
【变式8-1】（2022秋•永春县期末）如果整数a满足7＜a＜11，则a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先计算（7）2＝7，（11）2＝11，然后看哪个平方数在7和11之间即可．
【解答】解：∵7＜9＜11，
∴7＜3＜11，
∴如果整数a满足7＜a＜11，则a的值是：3，
故选：C．
【变式8-2】（2022春•自贡期末）若a、b为正整数．且a＞10，b＜6，则a+b的最小值为 5 ．
【分析】先估算出a、b的取值范围，然后再求得a+b的最大值即可．
【解答】解：∵9＜10＜16，4＜6＜9，
∴3＜10＜4，2＜6＜3．
又∵a、b为正整数，
∴当a＝4，b＝1时，a+b有最小值，
∴a+b的最小值为5．
故答案为：5．
【变式8-3】（2022春•昆明期中）若a＜40＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为 13 ．
【分析】先估算出40的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵6＜40＜7，
∴a＝6，b＝7，
∴a+b＝13，
故答案为：13．
【题型9 估算无理数最接近的值】
【例9】（2022•玄武区二模）下列整数中，与10−30最接近的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先估算出30的范围，再估算10−30的范围即可．
【解答】解：∵25＜30＜36，30离25更近，
∴5＜30＜6，且更接近5，
∴﹣6＜−30＜−5，且更接近﹣5，
∴4＜10−30＜5，且更接近5．
故选：C．
【变式9-1】（2022春•凤凰县期末）与50的算术平方根最接近的整数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】先计算50位于哪两个相邻的整数之间，再确定50距离哪个整数的平方接近即可确定答案．
【解答】解：∵49＜50＜64，
∴49＜50＜64，
即7＜50＜8，
∵7.52＝56.25，50＜56.25，
∴与50最接近的整数是7．
故选：B．
【变式9-2】（2022春•思明区校级期中）若m＝4n（m、n是正整数），且8＜m＜9，则与实数n的最大值最接近的数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据题中条件求出m的范围，进而得到n的取值范围，得到n的最大值，估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵8＜m＜9，
∴64＜m＜81，
∵m＝4n（m、n是正整数），
∴16＜n＜20.25，
∴n的最大值为20，
∴n的最大值为20，
∵16＜20＜20.25，
∴4＜20＜4.5，
∴与实数n的最大值最接近的数是4．
故选：B．
【变式9-3】（2022春•潮安区期末）若m＝5n（m、n是正整数），且10＜m＜12，则与实数n的最大值最接近的数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据m的取值范围确定n的取值，再根据m、n为整数，确定n的最大值，再估算即可．
【解答】解：∵10＜m＜12，
∴100＜m＜144，
∴20＜m5＜28.8，
即20＜n＜28.8，
又∵m、n是正整数，
∴n的最大值为28，
∵25比36更接近28，
∴n的值比较接近25，即比较接近5，
故选：B．
【题型10 无理数整数、小数部分问题】
【例10】（2022秋•章丘市校级期末）设x是35的整数部分，y是35的小数部分，化简|x﹣y﹣3|．
【分析】求出35的范围，得出x＝5，y=35−5，代入求出即可．
【解答】解：∵25＜35＜36，
∴5＜35＜6，
∴x＝5，y=35−5，
∴|x﹣y﹣3|＝|5﹣（35−5）﹣3|
＝|7−35|
＝7−35．
【变式10-1】（2022•饶平县校级模拟）若13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b−13的值．
【分析】先求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴a＝3，b=13−3，
∴a2+b−13=9+13−3−13=6．
故答案为6．
【变式10-2】（2022春•孟村县期末）已知5+7的小数部分为a，5−7的小数部分为b，求a+b．
【分析】先求出7的范围，推出7＜5+7＜8和2＜5−7＜3，求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵2＜7＜3，
∴7＜5+7＜8，
∴a＝5+7−7=7−2，
∵2＜7＜3
∴﹣3＜−7＜−2，
∴2＜5−7＜3，
∴b＝5−7−2＝3−7，
∴a+b=7−2+3−7=1．
【变式10-3】（2022春•西城区校级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[3]＝1，现对72进行如下操作：
72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次[2]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．
（1）对10进行1次操作后变为 3 ，对200进行3次操作后变为 1 ；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m的取值范围是 4≤m＜16 ．
（3）恰需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 255 ．
【分析】（1）根据[a]的含义和无理数的估计可求．
（2）根据[a]的含义倒推m的范围．
（3）根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【解答】解：（1）[10]＝3．
200进行第一次操作：[200]＝14，
第二次操作后：[14]＝3．
第三次操作后：[3]＝1．
故答案为：3，1．
（2）∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤m＜16．
∵操作两次．
∴m≥2．
∴m≥4．
∴4≤m＜16．
故答案为：4≤m＜16．
（3）设这个数是p，
∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴1≤m＜2．
∴1≤m＜4．
∴1≤p＜16．
∴1≤p＜256．
∵3次操作，故p≥16．
∴16≤p＜256．
∵p是整数．
∴p的最大值为255．
故答案为：255．
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