专题6.1 比例线段【九大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

这是一份专题6.1 比例线段【九大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版），文件包含专题61比例线段九大题型举一反三苏科版原卷版docx、专题61比例线段九大题型举一反三苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26181" 【题型1 成比例线段的概念辨析】 PAGEREF _Tc26181 \h 1
\l "_Tc3264" 【题型2 成比例线段与比例尺的结合】 PAGEREF _Tc3264 \h 2
\l "_Tc10410" 【题型3 成比例线段的实际应用】 PAGEREF _Tc10410 \h 2
\l "_Tc5836" 【题型4 利用比例的性质求字母的值】 PAGEREF _Tc5836 \h 4
\l "_Tc30459" 【题型5 利用比例的性质求代数式的值】 PAGEREF _Tc30459 \h 4
\l "_Tc17950" 【题型6 利用比例的性质进行证明】 PAGEREF _Tc17950 \h 4
\l "_Tc31569" 【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】 PAGEREF _Tc31569 \h 5
\l "_Tc24271" 【题型8 黄金分割的概念辨析】 PAGEREF _Tc24271 \h 7
\l "_Tc10820" 【题型9 黄金分割的实际应用】 PAGEREF _Tc10820 \h 7
【知识点1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 成比例线段的概念辨析】
【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab=2，且a+2b=28．
(1)求a、b的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为 .
【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．
【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
【题型2 成比例线段与比例尺的结合】
【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千米．
【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是1：1000000，那么这两地间的实际距离是（ ）
A．1350千米B．135千米C．13.5千米D．1.35千米
【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是 厘米．
【题型3 成比例线段的实际应用】
【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（ ）
A．文学社增加，篮球社不变 B．文学社不变，篮球社不变
C．文学社增加，篮球社减少 D．文学社不变，篮球社减少
【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？
【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ）m
A．−1−5B．−1±5C．5+1D．5−1
【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB−CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长.
【知识点2 比例的性质】
【题型4 利用比例的性质求字母的值】
【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，则k的值为 ．
【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知x3=y5=z6，且3y=2z+6，求x，y的值．
【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．
【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知y+zx=x+zy=x+yz=k，则k2= ．
【题型5 利用比例的性质求代数式的值】
【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若a+bc=b+ca=c+ab，则(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为 ．
【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若ab=cd=ef=13，则3a−2c+e3b−2d+f的值为（ ）
A．13B．1C．1.5D．3
【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式A=ab+c，B=ba+c，C=ca+b，下列结论：
①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B=23；
②若A=B=C，则A+B+C=32；
③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则1A+1B+1C=−2019；
④若aA．1B．2C．3D．4
【变式5-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若x3=y5=z7，求x−y+zx+y−z的值；
（2）若a+23=b4=c+56，且2a−b+3c=21，求a:b:c．
【题型6 利用比例的性质进行证明】
【例6】（2023春·九年级单元测试）已知a:b=c:d，且b≠nd，求证：ab=a−ncb−nd．
【变式6-1】（2023春·浙江湖州·九年级统考阶段练习）已知ab=23
(1)求：aa+2b
(2)求证：aa+2b=b3a+2b
【变式6-2】（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.
【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）已知ax=by=cz，且1x+1y+1z=1.求证：a3x2+b3y2+c3z2=a+b+c3.
【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】
【例7】（2023春·重庆大渡口·九年级统考期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x，y，z满足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x−y−z的值”时，采用了引入参数法k，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x，y，z之间的关系，从而解决问题.过程如下：
解；设y+zx=z+xy=x+yz=k，则有：
y+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，
将以上三个等式相加，得2x+k+z=kx+y+z.
∵ x，y，z都为正数，
∴ k=2，即y+zx=2，.
∴ 2x−y−z=0.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数x，y，z满足x2y+z=y2z+x=z2x+y=k，求k的值；
（2）已知a+ba−b=b+c2b−c=c+a3c−a，a，b，c互不相等，求证：8a+9b+5c=0.
【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，
则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）
于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，
依照上述方法解答下列问题：
已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．
【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd．
证明：∵ab=cd，
∴ab+1=cd+1．
∴a+bb=c+dd．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若ab=35，求a+bb的值；
（2）若ab=cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．
【变式7-3】（2023春·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）△ABC与△ABD是以AB为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边△ABC与△ABD，连结第三个顶点DC并延长交AB于E，则S△ABCS△ABD=CEDE．
【问题解决】
如图（2），已知在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F．
（1）找出以BF为公共边的所有“共边三角形”，若△ABC的面积为45cm2？，分别求出这些“共边三角形”的面积；
（2）求证：AF=13AC；
（3）若将“D为BC的中点”条件，改为“BD:DC=2:3”，则AF:CF=______．
【知识点3 黄金分割】
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型8 黄金分割的概念辨析】
【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）我们把宽与长的比等于5−12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（ABA．22B．5−12C．3−52D．5+12
【变式8-1】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点C是线段AB的黄金分割点，且ACA．BCAB≈0.618B．BC=3−52AC
C．BC2=AB⋅ACD．ACBC=5−12
【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知线段AB=2，若C，D是AB的两个黄金分割点，则CD长为 ．
【变式8-3】（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，线段AB=1，点C是线段AB的黄金分割点AC>BC，C1是线段AC的黄金分割点C1AC1>C1C，C2是线段AC1的黄金分割点，以此类推，则ACm= ．
【题型9 黄金分割的实际应用】
【例9】（2023春·全国·九年级统考期中）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿 （精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美．
【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．（结果保留根号）
【变式9-2】（2023春·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为 （精确到0.1）

【变式9-3】（2023春·甘肃白银·九年级校考期末）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，则主持人站在离A点 处最自然得体．（结果精确到0.1m）文学社
篮球社
动漫社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.