专题08 三角形综合篇-备考2024年中考数学考点总结+题型专训（全国通用）

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角平分线的性质：
①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
角平分线的判定：
角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
角平分线的尺规作图：
具体步骤：
①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
垂直平分线的性质：
①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
垂直平分线的判定：
到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
垂直平分线的吃规作图：
具体步骤：
①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①
②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②
中位线的性质：
三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）
③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。（简称底边上三线合一）
等腰三角形的判定：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
等边三角形的性质：
①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。
②等边三角形三条边都存在“三线合一”
③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。
④等腰三角形的面积等于（为等腰三角形的边长）。
等腰三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。
③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形的性质：
①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
勾股定理的内容：
在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边是，斜边是，则。
勾股定理的逆定理：
若三角形的三条边分别是，且满足，则三角形是直角三角形，且∠C是直角。
特殊三角形三边的比：
①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：。
两点间的距离公式：
若点与点，则线段AB的长度为：。
专题练习
1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求证：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求线段FC的长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC＝MA＝MB，根据外角的性质可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE＝CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB，
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，
∵∠A＝50°，
∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC，
∴CE＝CM；
（2）解：∵AB＝4，
∴CE＝CM＝AB＝2，
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE•cs30°＝．
2．如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．
【解答】解：（1）∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a，
较长的直角边＝2a+3，
∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；
（2）小正方形的面积＝（a+3）2，
当a＝3时，面积＝（3+3）2＝36．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．
（1）求AC的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据勾股定理可求出BD，根据AD＝BD进而求出AC，
（2）分两种情况进行解答，即点P在点D的左侧或右侧，分别画出相应的图形，根据相似三角形的判定和性质分别用含有x的代数式表示PD、PE、PQ，由三角形面积之间的关系可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，
∴BD＝＝5，
又∵AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝5+3＝8；
（2）当点P在点D的左侧时，即0＜x＜5，如图1，此时重叠部分的面积就是△PQD的面积，
∵PQ⊥AC，BC⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△ABC∽△AQP，
∴＝＝＝2，
设AP＝x，则PQ＝x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x，
∴S重叠部分＝S△PQD＝（5﹣x）×x
＝﹣x2+x；
当点P在点D的右侧时，即5＜x＜8，如图2，
由（1）得，AP＝x，PQ＝x，则PD＝x﹣5，
∵PQ∥BC，
∴△DPE∽△DCB，
∴＝＝，
∴PE＝（x﹣5），
∴QE＝PQ﹣PE＝x﹣（x﹣5）＝﹣x+，
∴S重叠部分＝S△DEQ
＝（x﹣5）×（﹣x+）
＝﹣x2+x﹣；
答：S关于x的函数解析式为：当0＜x＜5时，S＝﹣x2+x；当5＜x＜8时，S＝﹣x2+x﹣．
4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．
【分析】（1）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性质证出∠EMC＝90°，则可得出结论；
（2）①同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠E＝∠F，则可得出结论；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性质得出DG＝DH，由角平分线的性质可得出答案；
③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DCF+∠DEA＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF．
故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；
（2）①（1）中的结论还成立，
理由：同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠E＝∠F，
∵∠F+∠ECF＝90°，
∴∠E+∠ECF＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，
∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，
∴△DEG≌△DFH（AAS），
∴DG＝DH，
又∵DG⊥AE，DH⊥CF，
∴DM平分∠EMC，
又∵∠EMC＝90°，
∴∠EMD＝∠EMC＝45°；
③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，
∴∠DMG＝∠GDM，
∴DG＝GM，
又∵DM＝6，
∴DG＝GM＝6，
∵DE＝12，
∴EG＝＝＝6，
∴EM＝GM+EG＝6+6．
5．【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．
【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；
（2）同（1）的方法即可求出答案；
（3）同（1）的方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；
（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案为：，；
（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，
故答案为：．
6．在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；
（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；
（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．
【分析】（1）根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD，则∠OAB＝∠C＝90°，而O是边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”；
（2）作AH⊥BO于H，由△OAB≌△OCD，得AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，设OH＝x，则BH＝7﹣x，由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC的长即可；
（3）根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH，则∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，再由平行线性质得OE＝OH，从而推出OE＝OH＝OG，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠OAB＝∠C＝90°，
∵O是边BC上的一点．
∴正方形不存在“等形点”，
故答案为：不存在；
（2）作AH⊥BO于H，
∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝5，
∵BC＝12，
∴BO＝7，
设OH＝x，则BH＝7﹣x，
由勾股定理得，（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2，
解得，x＝3，
∴OH＝3，
∴AH＝4，
∴CH＝8，
在Rt△CHA中，AC＝＝＝4；
（3）如图，∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴∠EOF＝∠HOG，OE＝OG，∠OGH＝∠OEF，
∵EH∥FG，
∴∠HEO＝∠EOF，∠EHO＝∠HOG，
∴∠HEO＝∠EHO，
∴OE＝OH，
∴OH＝OG，
∴OE＝OF，
∴＝1．
7．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．
【分析】（1）根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得BD＝CE；
（2）根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE（SAS），即有AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，从而可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即知∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，由CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，可得DM＝ME＝CM，故AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：
如图：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
8．在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到EF＝CG，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明△ACH是等腰直角三角形，即可得到结论；
②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到△ACG是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB于G，如图1，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠CGD＝90°，
∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF＝CG；
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，如图2，
与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴DF＝DH，
∴AD+DF＝AD+DH＝AH，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图3，过点C作CG⊥AB于G，
与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴DF＝DG＝1，
∵AD＝3，
当点F在点A、D之间时，有
∴AG＝1+3＝4，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图4：
∴AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
综合上述，线段AC的长为或．
9．已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．
（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AC＝DC，根据角平分线的定义得到∠DCB＝∠ACB，证明四边形ABCD为平行四边形，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DEC，根据三角形内角和定理证明即可；
（3）在AD上取点M，使AM＝BC，连接BM，证明△AMB≌△CBD，得到BM＝BD，∠ABM＝∠CDB，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴∠DCB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∵AB＝AC，
∴平行四边形ABDC为菱形；
（2）解：∠ACE+∠EFC＝180°，
理由如下：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ABC＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵∠ACB+∠ACF＝∠DEC+∠CEF＝180°，
∴∠CEF＝∠ACF，
∵∠CEF+∠ECF+∠EFC＝180°，
∴∠ACF+∠ECF+∠EFC＝180°，
∴∠ACE+∠EFC＝180°；
（3）解：如图3，在AD上取点M，使AM＝BC，连接BM，
在△AMB和△CBD中，
，
∴△AMB≌△CBD（SAS），
∴BM＝BD，∠ABM＝∠CDB，
∴∠BMD＝∠BDM，
∵∠BMD＝∠BAD+∠MBA，
∴∠ADB＝∠BCD+∠BDC，
设∠BCD＝∠BAD＝α，∠BDC＝β，则∠ADB＝α+β，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝α+2β，
∴∠BAC＝∠CAD﹣∠BAD＝2β，
∴∠ACB＝×（180°﹣2β）＝90°﹣β，
∴∠ACD＝90°﹣β+α，
∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，
∴90°﹣β+α+α+2β+α+2β＝180°，
∴α+β＝30°，即∠ADB＝30°．
10．问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 ．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BAC＝60°，根据等腰三角形的三线合一得到∠PAC＝30°，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案；
（2）连接PB，证明四边形PBCA为菱形，求出PB，解直角三角形求出BE、PE、OE，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PF，根据等边三角形的性质得到∠PAF＝60°，进而求出∠BAP＝15°，根据要求判断即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的中线，
∴∠PAC＝∠BAC＝30°，
∵AP＝AC，
∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，
故答案为：75°；
（2）如图2，连接PB，
∵AP∥BC，AP＝BC，
∴四边形PBCA为平行四边形，
∵CA＝CB，
∴平行四边形PBCA为菱形，
∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，
∴BE＝PB•cs∠PBC＝3，PE＝PB•sin∠PBC＝3，
∵CA＝CB，∠C＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴OE＝BE•tan∠ABC＝，
∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE
＝×6×3﹣×3×
＝；
（3）符合要求，
理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，
∵CA＝CD，∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形FDCA为正方形，
∵PE是CD的垂直平分线，
∴PE是AF的垂直平分线，
∴PF＝PA，
∵AP＝AC，
∴PF＝PA＝AF，
∴△PAF为等边三角形，
∴∠PAF＝60°，
∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，
∴裁得的△ABP型部件符合要求．
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．
（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．
（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．
【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，即得∠ACD＝∠ADC＝65°，从而α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；
（2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，根据∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，即可得2α﹣β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD可得90°﹣α＝40°+α+β，2α+β＝50°．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE平分∠BAC，P与E重合，
∴D在AB边上，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，
∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；
答：α的度数为25°；
（2）①当点P在线段BE上时，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC＝AD，
∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，
∴（90°﹣α）+β＝40°+α，
∴2α﹣β＝50°，
②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC＝AD，
∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，
∴90°﹣α＝40°+α+β，
∴2α+β＝50°；
综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°．
12．综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC＝∠ACB．求证∠ACD＝∠ABC．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图2，延长CA至点E，使CE＝BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC＝90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的长．”
【分析】（1）利用三角形的外角的性质证明即可；
（2）结论：BH＝EF．如图2中，在CB上取一点T，使得GH＝CT．证明△BGH≌△DCT（SAS），推出BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，再证明△CEF≌△BDT（AAS），推出EF＝DT，可得结论；
（3）如图3，过点E作EM∥AD交CE的延长线于点M．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠ADC＝∠ACB，
∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，
∴∠ACD＝∠B；
（2）解：结论：BH＝EF．
理由：如图2中，在CB上取一点T，使得GH＝CT．
在△BGH和△DCT中，
，
∴△BGH≌△DCT（SAS），
∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，
∵∠CDT+∠FDT＝180°，
∴∠GBH+∠FDT＝180°，
∴∠BFD+∠BTD＝180°，
∵∠CFE+∠BFD＝180°，
∴∠CFE＝∠BTD，
在△CEF和△BDT中，
，
∴△CEF≌△BDT（AAS），
∴EF＝DT，
∴EF＝BH；
（3）解：如图3，过点E作EM∥AD交CE的延长线于点M．
∵AD∥EM，
∴＝，
∴＝．
∴EM＝，
∵＝＝，
∵tan∠ACD＝tan∠ABC＝，
∴＝，
∵AC＝2，AB＝4，
∴AD＝1，BD＝CE＝3，
∴AE＝1，
∴BE＝＝＝＝，
∴EF＝BE＝．
13．如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2﹣1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2﹣2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝ ；当h＝1时，a＝ ．
②将图2﹣1，图2﹣2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是 ．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
（2）如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s．
①分别求出当0≤a≤2和2＜a≤4时，s关于a的函数表达式；
②当s＝时，求a的值．
【分析】（1①）当0≤a≤2时，DE＝AD，即：h＝a；当h＝1时，在0≤a≤2和2＜a≤4各有一个自变量a与之对应；
②连线分别是两条线段；
③根据函数的定义判断；
（2）①阴影部分面积分别是等腰直角三角形，边长分别是a和4﹣a，进而求得结果；
②分别代入①中的两个函数关系式，求得结果．
【解答】解：（1）①从图1中，当a＜2时，△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝1.5，
从图2，当h＝1时，横坐标a对应1或3，
故答案为：1.5；1或3；
②如图，
③当自变量a变化时，h随之变化，当a确定时，h有唯一一个值与之对应，所以h是a的函数；
当自变量h确定时，a有两个值与之对应，所以a不是h的函数，
故答案为A；
（2）①当0≤a≤2时，DE＝AD＝a，
S△ADE＝AD•DE＝；
当2＜a≤4时，DE＝AB﹣AD＝4﹣a，
∴S＝＝，
∴S＝；
②当S＝时，当0≤a≤2时，
＝，
∴a1＝1，a2＝﹣1（舍去），
当2＜≤4时，
＝，
∴a3＝3，a4＝5（舍去），
综上所述：当S＝时，a＝1或3．
14．已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
（1）填空：当∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B＝45°，m＝5，则n＝ ，S＝ ；
②如图2，若∠B＝60°，m＝4，则n＝ ，S＝ ；
（2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小．
【分析】（1）①证明△ADE，△BDF都是等腰直角三角形即可解决问题；
②解直角三角形求出AE，DE，BF，DF可得结论；
（2）如图3中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．证明△DME≌△DNF（ASA），推出S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△BDN绕点D逆时针旋转90°得到右边△ADN，∠ADN＝90°，AD＝m，DN＝n，可得结论；
（3）如图4中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．证明△DME≌△DNF（AAS），推出S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△ADM绕点顺时针旋转120°得到△DNT，∠BDT＝60°，DT＝6，DB＝4，过点B作BH⊥DT于点H，解直角三角形求出BH，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，
∴CA＝CB，
∵CD平分∠ACB，
∴AD＝DB＝5，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠A＝∠B＝45°，
∴△ADE，△BDF都是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝5，AE＝DE＝5，
∴S＝×5×5+×5×5＝25，
故答案为：5，25；
②如图2中，
在Rt△ADE中，AD＝4，∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴DE＝AD＝2，AE＝DE＝6，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DE＝DF＝2，
∴BF＝2，BD＝2BF＝4，
∴n＝4，
∴S＝×2×6+×2×2＝8，
故答案为：4，8；
（2）如图3中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．
∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，
∴四边形DNCM是矩形，
∴DM＝DN，
∴四边形DMCN是正方形，
∴∠MDN＝∠EDF＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵∠DME＝∠DNF，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，
把△BDN绕点D逆时针旋转90°得到右边△ADH，∠ADH＝90°，AD＝m，DH＝n，
∴S＝mn；
（3）如图4中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．
∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝90°，
∴∠MDN＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠EDF＝∠MDN＝120°，
∴∠EDM＝∠FDN，
∵∠DME＝∠DNF＝90°，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，
把△ADM绕点顺时针旋转120°得到△DNT，∠BDT＝60°，DT＝6，DB＝4，
过点B作BH⊥DT于点H，
∴BH＝BD×sin60°＝4×＝2，
∴S＝S△BDT＝×6×2＝6．
15．回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
探究：用数学的语言表达
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
【分析】（1）①证明△BCD≌△CBE（ASA），推出BD＝CE即可；
②证明△BCD≌△CBE（SAS），推出BD＝CE即可；
（2）添加条件：BE＝CD（答案不唯一）．利用全等三角形的性质证明即可；
（3）能．设CF＝x，假设BF＝AB，利用相似三角形的性质求出x的值，即可判断．
【解答】（1）证明：①∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，
同理∠ECB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（ASA），
∴BD＝CE；
②∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AC，
同理BE＝AB，
∴BE＝CD，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：添加条件：BE＝CD（答案不唯一）．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠EBC＝∠ACB+∠BCD＝180°，
∴∠CBE＝∠BCD，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴BD＝CE；
（3）能．
理由：如图3中，值AC上取一点D，使得BD＝CE
若BF＝CE，则BF＝BD，反之也成立．
∵BD＜AB，
∴BF＜AB，
显然BD越大，BF就越大，CF也越大，
假设BF＝AB，
∵∠A＝36°，
∴∠BFA＝∠A＝36°，
∴∠ABF＝180°﹣2×36°＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BCF＝180°﹣72°＝108°，
∴∠BCF＝∠ABF，
∵∠BCF＝∠ABF，∠BFC＝∠AFB，
∴△BFC∽△AFB，
∴＝，
设CF＝x，
∵AB＝AC＝2，
∴BF＝2，AF＝2+x，
∴＝，
解得x＝﹣1或﹣﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解，且符合题意，
∴CF＝﹣1，
∵E与A不重合，
∴0＜CF＜﹣1．变量a（cm）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
变量h（cm）
0
0.5
1
1.5
2
1.5
1
0.5
0