专题02 实数篇-备考2024年中考数学考点总结+题型专训（全国通用）

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知识回顾
平方根的定义：
若一个数的平方等于，则这个数就是的平方根。即，则是的平方根。表示为。
平方根的性质：
正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0。
微专题
1．（2022•攀枝花）2的平方根是（ ）
A．2B．±2C．D．±
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：因为（±）2＝2，
所以2的平方根是，
故选：D．
2．（2022•宜宾）4的平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．16D．±2
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
故选：D．
考点二：无理数与实数之算术平方根
知识回顾
算术平方根的定义：
一个正数的平方等于，则这个正数是的算术平方根。即，则是的算术平方根。表示为。
算术平方根的性质：
一个正数的算术平方根的平方等于它本身。即
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。即
算术平方根的双重非负性：
即；。
算术平方根的估算：
用夹逼法对算术平方根进行估算。
微专题
3．（2022•兰州）计算：＝（ ）
A．±2B．2C．±D．
【分析】利用算术平方根的性质求解．
【解答】解：∵＝＝2．
故选：B．
4．（2022•泸州）﹣＝（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
【分析】根据算术平方根的定义判断即可．
【解答】解：．
故选：A．
5．（2022•恩施州）9的算术平方根是 ．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
6．（2022•南充）若为整数，x为正整数，则x的值是 ．
【分析】利用二次根式的性质求得x的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：∵8﹣x≥0，x为正整数，
∴1≤x≤8且x为正整数，
∵为整数，
∴＝0或1或2，
当＝0时，x＝8，
当＝1时，x＝7，
当＝2时，x＝4，
综上，x的值是4或7或8，
故答案为：4或7或8．
7．（2022•凉山州）化简：＝（ ）
A．±2B．﹣2C．4D．2
【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．
【解答】解：
＝
＝2，
故选：D．
8．（2022•贺州）若实数m，n满足|m﹣n﹣5|+＝0，则3m+n＝ ．
【分析】根据非负数的性质求出m和n的值，再代入3m+n计算可得．
【解答】解：∵|m﹣n﹣5|+＝0，
∴m﹣n﹣5＝0，2m+n﹣4＝0，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴3m+n＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
9．（2022•黔东南州）若（2x+y﹣5）2+＝0，则x﹣y的值是 ．
【分析】根据非负数的性质可得，应用整体思想①﹣②即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，
由①﹣②得，
x﹣y＝9．
故答案为：9．
10．（2022•资阳）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】由，再结合数轴即可求解．
【解答】解：∵，
∴观察数轴，点P符合要求，
故选：C．
11．（2022•临沂）满足m＞|﹣1|的整数m的值可能是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】用夹逼法估算无理数的大小，根据正数的绝对值等于它本身得到2＜|﹣1|＜3，从而得出答案．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∴2＜|﹣1|＜3，
∴m可能是3，
故选：A．
12．（2022•泰州）下列判断正确的是（ ）
A．0＜＜1B．1＜＜2C．2＜＜3D．3＜＜4
【分析】估算确定出的大小范围即可．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2．
故选：B．
13．（2022•台湾）的值介于下列哪两个数之间？（ ）
A．25，30B．30，35C．35，40D．40，45
【分析】估算2022介于哪两个平方数之间便可．
【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，1936＜2022＜2025，
∴44＜＜45，
故选：D．
14．（2022•泸州）与2+最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】估算无理数的大小，再确定更接近的整数，进而得出答案．
【解答】解：∵3＜＜4，而15﹣9＞16﹣15，
∴更接近4，
∴2+更接近6，
故选：C．
15．（2022•西藏）比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个）
【分析】估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴＜＜，
即2＜＜3，
故答案为：＜．
16．（2022•海南）写出一个比大且比小的整数是 ．
【分析】应用估算无理数大小的方法进行求解即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴2＜3，
∴比大且比小的整数是2或3．
17．（2022•黑龙江）若两个连续的整数a、b满足a＜＜b，则的值为 ．
【分析】＜＜，由此可确定a和b的值，进而可得出的值．
【解答】解：∵3＝＜＜＝4，
∴a＝3，b＝4，
即＝．
故答案为：．
考点三：无理数与实数之立方根
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立方根的定义：
一个数的立方等于，则这个数就是的立方根。即，则是的立方根。表示为。
立方根的性质：
任何数都有立方根且有且只有一个。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
一个数的立方根的立方等于它本身。即。
一个数的立方的立方根等于它本身。即。
立方根的估算：
用夹逼法对算术平方根进行估算。
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18．（2022•淮安）实数27的立方根是 ．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵3的立方等于27，
∴27的立方根等于3．
故答案为3．
19．（2022•常州）化简：＝ ．
【分析】直接利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴＝2．
故填2．
20．（2022•绵阳）正整数a、b分别满足＜a＜、＜b＜，则ba＝（ ）
A．4B．8C．9D．16
【分析】根据a、b的取值范围，先确定a、b，再计算ba．
【解答】解：∵＜＜，＜＜，
∴a＝4，b＝2．
∴24＝16．
故选：D．
考点四：无理数与实数之无理数
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无理数的定义：
无限不循环的小数叫做无理数。
无理数的三种形式：
①开方开不尽的根式；②含有π的式子；③形如形式的规律数字。
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21．（2022•玉林）下列各数中为无理数的是（ ）
A．B．1.5C．0D．﹣1
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【解答】解：A、是无理数，因此选项A符合题意；
B、1.5是有限小数，属于有理数，不是无理数，因此选项B不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，不是无理数，因此选项C不符合题意；
D、﹣1是整数，属于有理数，不是无理数，因此选项D不符合题意；
故选：A．
22．（2022•福建）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A．﹣B．C．D．π
【分析】应用估算无理数大小的方法进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意，设点P表示的数为p，
则1＜p＜2，
∵1，
∴这个无理数是．
故选：B．
23．（2022•常德）在，，﹣，π，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先化简﹣＝﹣2，根据无理数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣＝﹣2，
无理数有：，π共2个，
故选：A．
24．（2022•湘潭）四个数﹣1，0，，中，为无理数的是 ．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是分数，属于有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答．
【解答】解：四个数﹣1，0，，中，为无理数的是．
故答案为：．
25．（2022•连云港）写出一个在1到3之间的无理数： ．
【分析】由于12＝1，32＝9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解．
【解答】解：1到3之间的无理数如，，．答案不唯一．
考点五：无理数与实数之实数：
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实数的分类：

实数与数轴：
数轴上的点与实数存在一一对应关系。即一个实数在数轴上只能找到一个点来表示它，数轴上一个点也只能表示一个实数。
相反数与数轴：
互为相反数的两个数在数轴原点的两侧，且到原点的距离相等。关于原点对称。
实数的大小比较：
①正实数大于0，0大于负实数，正实数大于一切负实数。两个负实数进行比较时，绝对值大的反而小。
②数轴上数轴右边的数恒大于数轴左边的数。
③对算术平方根和立方根进行估算比较。同为二次方根或同为三次方根时，比较被开方数即可。
实数的运算：
运算法则同有理数的运算。
①0次幂的运算：除0外的任何数的0次幂都等于1。即。
②负整数指数幂的运算：一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。即。
③特殊角的锐角三角函数的运算：

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26．（2022•巴中）下列各数是负数的是（ ）
A．（﹣1）2B．|﹣3|C．﹣（﹣5）D．
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可．
【解答】解：（﹣1）2＝1，是正数，故 A 选项不符合题意；
|﹣3|＝3，是正数，故 B 选项不符合题意；
﹣（﹣5）＝5，是正数，故 C 选项不符合题意；
，是负数，故 D 选项符合题意．
故选：D．
27．（2022•铜仁市）在实数，，，中，有理数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据有理数的定义进行求解即可．
【解答】解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数，
故选：C．
28．（2022•日照）在实数，x0（x≠0），cs30°，中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
【解答】解：在实数，x0（x≠0）＝1，cs30°＝，＝2中，有理数是，x0（x≠0），
所以，有理数的个数是2，
故选：B．
29．（2022•攀枝花）实数a、b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b＞﹣2B．|b|＞aC．a+b＞0D．a﹣b＜0
【分析】利用数轴可知a，b的大小和绝对值，然后判断即可．
【解答】解：由数轴知，1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，
∴A错误，
|b|＞a，即B正确，
a+b＜0，即C错误，
a﹣b＞0，即D错误．
故选：B．
30．（2022•镇江）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b＜0B．b﹣a＜0C．2a＞2bD．a+2＜b+2
【分析】首先利用数轴上的信息确定a、b的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题．
【解答】解：根据数轴可知a＜0＜b，|a|＜|b|，
A：依题意a+b＞0，故结论错误；
B：依题意b﹣a＞0，故结论错误；
C：依题意2a＜2b，故结论错误；
D：依题意a+2＜b+2，故结论正确．
故选：D．
31．（2022•宁夏）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【分析】根据图形得到a＜0，b＞0，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴原式＝﹣1+1＝0．
故选：C．
32．（2022•济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＞0C．|a|＜|b|D．a+1＜b+1
【分析】根据有理数的乘法法则判断A选项；根据有理数的加法法则判断B选项；根据绝对值的定义判断C选项；根据不等式的基本性质判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故该选项不符合题意；
C选项，|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜b，
∴a+1＜b+1，故该选项符合题意；
故选：D．
33．（2022•广州）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．a＝bB．a＞bC．|a|＜|b|D．|a|＞|b|
【分析】根据a，b两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．
【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a≠b，故不符合题意；
B．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故不符合题意；
C．由数轴可知|a|＜|b|，故符合题意；
D．由C可知不符合题意．
故选：C．
34．（2022•长春）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞0B．a＜bC．b﹣1＜0D．ab＞0
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【解答】解：根据图形可以得到：
﹣2＜a＜0＜1＜b＜3；
所以：A，C，D都是错误的；
故选：B．
35．（2022•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞bD．﹣a＞b
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【解答】解：根据图形可以得到：
﹣2＜a＜0＜1＜b＜2；
所以：A、B、C都是错误的；
故选：D．
36．（2022•内江）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
37．（2022•临沂）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB＝2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5
【分析】根据条件求出OA的长度，点A在原点的左侧，点A为负数，从而得出答案．
【解答】解：∵点B表示的数是6，
∴OB＝6，
∵OB＝2OA，
∴OA＝3，
∴点A表示的数为﹣3，
故选：B．
38．（2022•黔东南州）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣1B．x≤﹣1或x≥2C．﹣1≤x≤2D．x≥2
【分析】以﹣1和2为界点，将数轴分成三部分，对x的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【解答】解：当x＜﹣1时，x+1＜0，x﹣2＜0，
|x+1|+|x﹣2|
＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）
＝﹣x﹣1﹣x+2
＝﹣2x+1＞3；
当x＞2时，x+1＞0，x﹣2＞0，
|x+1|+|x﹣2|
＝（x+1）+（x﹣2）
＝x+1+x﹣2
＝2x﹣1＞3；
当﹣1≤x≤2时，x+1≥0，x﹣2≤0，
|x+1|+|x﹣2|
＝（x+1）﹣（x﹣2）
＝x+1﹣x+2＝3；
综上所述，当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|取得最小值，
所以当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2．
故选C．
39．（2022•广西）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
【分析】关于原点对称的数是互为相反数．
【解答】解：∵关于原点对称的数是互为相反数，
又∵1和﹣1是互为相反数，
故选：C．
40．（2022•荆州）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）
A．a与dB．b与dC．c与dD．a与c
【分析】根据在数轴上，互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等判断即可．
【解答】解：∵c＜0，d＞0，|c|＝|d|，
∴c，d互为相反数，
故选：C．
41．（2022•湘潭）如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：A．
42．（2022•安顺）下列实数中，比﹣5小的数是（ ）
A．﹣6B．﹣C．0D．、
【分析】根据实数的大小做出判断即可．
【解答】解：∵﹣6＜﹣5，﹣＞﹣5，0＞﹣5，＞﹣5，
∴A选项符合题意，
故选：A．
43．（2022•湘西州）在实数﹣5，0，3，中，最大的实数是（ ）
A．3B．0C．﹣5D．
【分析】利用实数大小比较的法则将各数按从小到大排列后即可得出结论．
【解答】解：将各数按从小到大排列为：﹣5，0，，3，
∴最大的实数是3，
故选：A．
44．（2022•吉林）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．无法确定
【分析】由数轴上b在a的右侧可得b与a的大小关系．
【解答】解：∵b＞0，a＜0，
∴a＜b，
故选：B．
45．（2022•株洲）在0、、﹣1、这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．C．﹣1D．
【分析】根据负数小于0，正数大于0比较实数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜0＜＜，
∴最小的数是﹣1，
故选：C．
46．（2022•临沂）比较大小： （填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】利用平方法比较大小即可．
【解答】解：∵（）2＝，（）2＝，＜，
∴＜，
故答案为：＜．
47．（2022•攀枝花）﹣（﹣1）0＝ ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣1
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
48．（2022•阜新）计算：2﹣2﹣＝ ．
【分析】先计算2﹣2、，再算减法．
【解答】解：原式＝﹣2＝﹣．
故答案为：﹣．
49．（2022•黄石）计算：（﹣2）2﹣（2022﹣）0＝ ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则、有理数的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣1
＝3．
故答案为：3．
50．（2022•陕西）计算：3﹣＝ ．
【分析】首先利用算术平方根的定义化简，然后加减即可求解．
【解答】解：原式＝3﹣5
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
51．（2022•重庆）|﹣2|+（3﹣）0＝ ．
【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算可得答案．
【解答】解：原式＝2+1＝3．
故答案为：3．
52．（2022•重庆）计算：|﹣4|+（3﹣π）0＝ ．
【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算即可．
【解答】解：原式＝4+1＝5．
故答案为：5．
53．（2022•毕节市）计算+|﹣2|×cs45°的结果，正确的是（ ）
A．B．3C．2+D．2+2
【分析】应用特殊角三角函数值及二次根式的加减运算法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝2+2×＝3．
故选：B．
54．（2022•台州）计算：+|﹣5|﹣22= ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：+|﹣5|﹣22
＝3+5﹣4
＝8﹣4
＝4．
55．（2022•湖州）计算：（）2+2×（﹣3）= ．
【分析】根据（）2＝a（a≥0），有理数的乘法和加法即可得出答案．
【解答】解：原式＝6+（﹣6）
＝0．
锐角三角函数
30°
45°
60°
SinA
COSA
tanA
1