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广西壮族自治区南宁市青秀区三美学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（原卷+解析）
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一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1. 下列各数中，是无理数是（ ）
A. B. C. D.
2. 搭载神舟十六号载人飞船长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数的图象与的图象形状相同的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x+＝1B. x（x+3）＝5C. x3+2x＝0D. 2x2+xy﹣3＝0
5. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A. 点A在⊙O上B. 点A在⊙O内C. 点A在⊙O外D. 无法确定
6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 13位学生参加一个聚会，他们中至少有两位学生的生日在同一个月
B. 掷一枚硬币正好正面朝上
C. 打开电视正好播放新闻联播
D. 太阳西升东落
7. 如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 一元二次方程x2+6x+9＝0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C 只有一个实数根D. 没有实数根
9. 杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（），则可列方程（ ）
A. B. C. D.
10. 如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
11. 如果三点和在抛物线的图象上，那么与之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12. 扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子． 如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为， 扇面BD的长为，则扇面面积为（ ）cm2
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每题2分，共12分）
13. 计算：____．
14. 分解因式：______．
15. 点关于原点的对称点的坐标为________．
16. 在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是__________．
17. 《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于______步．（注：“步”为长度单位）
18. 已知二次函数图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____________．
三、解答题（共8小题，共72分）
19. 计算：．
20. 解方程：
21. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4），请解答下列问题：
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A的对应点A1的坐标；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并直接写出点A的对应点A2的坐标；
（3）将△A2B2C2沿直线折叠，刚好和△A1B1C1重合，请直接写出直线的解析式为 ．
22. 为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8
5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8
数据整理：
数据分析：
问题解决：
（1）填空：_________，_________．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
23. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
24. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
25. 【实验观察】
（1）观察下列，，，…，，两个数的乘积（两个乘数的和为10），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）．
（2）观察下列，，，…，，两个数的乘积（两个乘数的和为100），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）．
（3）【猜想验证】根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个正乘数的和为2n（其中），你认为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积最大？用二次函数的知识说明你的猜想的正确性．
（4）【拓展应用】用长度为的竹签制作一个四边形的风筝（如图所示），风筝的骨架与（），为了使风筝在空中能获得更大的浮力，要把风筝的表面积（四边形的面积）制作到最大，根据上面的结论，求当风筝的骨架、的长为多少时，风筝的表面积能达到最大？
26. 教材中有这样一道题：如图1，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，，且交于点F．求证：．
（1）如图1，求证：．
（2）若图1中点G为延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时，，之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）将图1中的绕点A逆时针旋转，使得与重合，记此时点F的对应点为点，如图3所示，若正方形的边长为3，求的长度
销售额/万元
频数
3
5
4
4
平均数
众数
中位数
7.44
8.2
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1. 下列各数中，是无理数是（ ）
A. B. C. D.
2. 搭载神舟十六号载人飞船长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数的图象与的图象形状相同的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x+＝1B. x（x+3）＝5C. x3+2x＝0D. 2x2+xy﹣3＝0
5. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A. 点A在⊙O上B. 点A在⊙O内C. 点A在⊙O外D. 无法确定
6. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 13位学生参加一个聚会，他们中至少有两位学生的生日在同一个月
B. 掷一枚硬币正好正面朝上
C. 打开电视正好播放新闻联播
D. 太阳西升东落
7. 如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 一元二次方程x2+6x+9＝0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C 只有一个实数根D. 没有实数根
9. 杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（），则可列方程（ ）
A. B. C. D.
10. 如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
11. 如果三点和在抛物线的图象上，那么与之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12. 扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子． 如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为， 扇面BD的长为，则扇面面积为（ ）cm2
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每题2分，共12分）
13. 计算：____．
14. 分解因式：______．
15. 点关于原点的对称点的坐标为________．
16. 在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是__________．
17. 《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于______步．（注：“步”为长度单位）
18. 已知二次函数图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____________．
三、解答题（共8小题，共72分）
19. 计算：．
20. 解方程：
21. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4），请解答下列问题：
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A的对应点A1的坐标；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并直接写出点A的对应点A2的坐标；
（3）将△A2B2C2沿直线折叠，刚好和△A1B1C1重合，请直接写出直线的解析式为 ．
22. 为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8
5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8
数据整理：
数据分析：
问题解决：
（1）填空：_________，_________．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
23. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
24. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
25. 【实验观察】
（1）观察下列，，，…，，两个数的乘积（两个乘数的和为10），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）．
（2）观察下列，，，…，，两个数的乘积（两个乘数的和为100），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）．
（3）【猜想验证】根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个正乘数的和为2n（其中），你认为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积最大？用二次函数的知识说明你的猜想的正确性．
（4）【拓展应用】用长度为的竹签制作一个四边形的风筝（如图所示），风筝的骨架与（），为了使风筝在空中能获得更大的浮力，要把风筝的表面积（四边形的面积）制作到最大，根据上面的结论，求当风筝的骨架、的长为多少时，风筝的表面积能达到最大？
26. 教材中有这样一道题：如图1，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，，且交于点F．求证：．
（1）如图1，求证：．
（2）若图1中点G为延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时，，之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）将图1中的绕点A逆时针旋转，使得与重合，记此时点F的对应点为点，如图3所示，若正方形的边长为3，求的长度
销售额/万元
频数
3
5
4
4
平均数
众数
中位数
7.44
8.2
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