湘教版九年级数学下册 第1章 二次函数1.4 二次函数与一元二次方程的联系（课件）

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二次函数与一元二次方程的联系湘教·九年级下册探究新知画出二次函数 y = x2– 2x – 3 的图象， 你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？二次函数 y = x2– 2x – 3 与一元二次方程 x2– 2x – 3 ＝ 0 有怎样的关系？ y = x2– 2x – 3 二次函数 y = x2- 2x - 3的图象与 x 轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）.当 x ＝ -1 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 ， 也就是说，x ＝ -1是一元二次方程 x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根.同理， 当 x ＝ 3 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 ， 也就是说， x ＝ 3 是一元二次方程 x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根. y = x2– 2x – 3 一般地， 如果二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 有两个不相等的实根 x ＝ x1， x ＝ x2.观察二次函数 y = x2- 6x + 9 ， y = x2- 2x + 2 的图象，分别说出一元二次方程 x2- 6x + 9 ＝0 和 x2- 2x + 2＝0 的根的情况. y = x2- 6x + 9y = x2- 2x + 2观察二次函数 y = x2- 6x + 9 ， y = x2- 2x + 2 的图象，分别说出一元二次方程 x2- 6x + 9 ＝0 和 x2- 2x + 2＝0 的根的情况. y = x2- 6x + 9y = x2- 2x + 2说一说，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有几种？有两个不同的交点有两个重合的交点没有交点 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和 x 轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系ax2+bx+c = 0 的根抛物线 y=ax2+bx+c与x轴 △= b2 – 4ac 有两个不同实根有两个相同实根没有根有两个交点有一个交点没有交点△ > 0△ = 0△ < 0求一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根的近似值（精确到0.1）．分析 一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根就是抛物线 y ＝ x2 － 2x－ 1 与 x 轴的交点的横坐标． 因此我们可以先画出这条抛物线， 然后从图象上找出它与 x 轴的交点的横坐标． 这种解一元二次方程的方法叫作图象法．【教材P25页】求一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根的近似值（精确到0.1）．通过观察或测量， 可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－ 0.4 或 2.4， 即一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的实数根为 x1≈ - 0.4， x2 ≈ 2.4．【教材P25页】求一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根的近似值（精确到0.1）．我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根. 将二次函数 y = x2 -2x - 1 在 -1 至 0 范围内的部分 x 值所对应的 y 值列表如下：【教材P25页】如图，丁丁在扔铅球时， 铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离， y 是铅球离地面的高度.（1） 当铅球离地面的高度为 2.1 m 时， 它离初始位置的水平距离是多少？（2） 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m， 它离初始位置的水平距离是多少？（3） 铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？【教材P26页】（1） 当铅球离地面的高度为 2.1 m 时， 它离初始位置的水平距离是多少？解（1） 由抛物线的表达式得即 x2 - 6x + 5 = 0 ，解得 x1 = 1， x2 = 5.即当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是1 m或5 m.（2） 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m， 它离初始位置的水平距离是多少？（2） 由抛物线的表达式得即 x2 - 6x + 9 = 0 ，解得 x1 = x2 = 3.即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置的水平距离是 3 m.（3） 铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？（3） 由抛物线的表达式得即 x2 - 6x + 14 = 0 ，因为 Δ = （-6）2 - 4×1×14 = -20 < 0,所以方程无实数根.所以铅球离地面的高度不能达到 3 m. 练习1.试判断下列抛物线与 x 轴的交点情况：（1） y ＝ x2 － x － 2 ； （2） y ＝ 9x2 ＋ 12x ＋ 4 ； （3） y ＝ x2 － 2x ＋ 3 ．解：（1） x2 － x － 2 = 0，Δ =（-1）2-4×1×（-2）= 9 > 0与 x 轴有两个不同的交点.（2） 9x2 +12 x + 4 = 0，Δ =（12）2-4×9×4= 0与 x 轴有两个相同的交点.（3） x2 -2 x + 3 = 0，Δ =（-2）2-4×1×3= -8 < 0与 x 轴没有交点.【教材P27页】2. 用图象法求一元二次方程 x2＋ x － 1 ＝ 0 的根的 近似值（精确到 0.1）．y = x2＋ x － 1 通过观察或测量， 可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－ 1.6 或 0.6， 即一元二次方程 x2 + x - 1 = 0 的实数根为 x1≈ - 1.6， x2 ≈ 0.6．【教材P27页】3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程. 如图，已知 刻画了该公司年初以来累积利润 y （万元）与销售时间 x（月份）之间的关系. 试根据图象提供的信息，回答下列问题：（1）该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？（2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元；（3）该公司第 8 月末所获利润是多少？（1）亏损期数是 4 个月，4月末开始盈利.（2）10月末累积利润可达到 30 万元.（3）第 8 月末利润是 16 万元.【教材P27页】随堂练习选自《创优作业》二次函数 y＝x2＋3x－4 的图象与 x 轴交点的横坐标 是（ ） A．1 和 －4 B．－1 和 4 C．1 和 4 D．－1 和 －4A选自《创优作业》2. 下表是一组二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x与函数值 y 的对应值:那么方程 ax2＋bx＋c＝0 其中一个根的取值范围是（ ）A．1.0＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4B选自《创优作业》3. 根据表格中所给的对应值, 判断方程 ax2＋bx＋c＝2 (a ≠ 2, a, b, c 为常数)的根的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．1或2C课堂小结有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<0