四川省巴中市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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班级：______ 姓名：______
注意事项：
1．答题前，先将自己的班级、姓名填写清楚．
2．所有题在答卷规定的位置作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
3．考试结束后，将本卷和答卷交监考老师．
一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 2023年第19届亚运会在杭州举行，下面能准确描述杭州市地理位置的是（ ）
A. 在浙江省B. 离上海市175千米
C. 在宁波市西北方向D. 东经北纬
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查用坐标确定位置，解题的关键在于知道需要两个独立数据才能判断一个点的具体位置；因此此题可根据点的坐标的定义进行求解．
【详解】解：由题意可知能准确描述杭州市地理位置的是东经北纬；
故选D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，减法运算，算术平方根和立方根的定义，根据二次根式的乘法，减法法则及算术平方根和立方根的定义进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，正确，故A符合题意；
B、，错误，故B不符合题意；
C、，错误，故C不符合题意；
D、与不能合并，错误，故D不符合题意；
故选：A．
3. 若是关于，的二元一次方程，则的值为（ ）
A. 1或B. 1C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义得出且，再求出即可．
【详解】解：方程是关于，的二元一次方程，
且，
且，
．
故选：C．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 算术平方根等于本身的数只有1
B. 在一次函数中，随着的增大而减小
C. 无理数是开方开不尽的数
D. ，，是一组勾股数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用算术平方根的定义、一次函数的性质、无理数的定义及勾股数的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、算术平方根是本身的数是1和0，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、在一次函数中，随着的增大而减小，正确，是真命题，符合题意；
C、无理数是无限不循环小数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、0.3，0.4，0.5因不都是整数，不是一组勾股数，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
5. 如图所示，数轴上点表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算．由图形可得数轴上点表示的数在3和3.5之间，然后估算出每一个选项中无理数的值，即可解答．
【详解】解：由图可得：
数轴上点表示的数在3和3.5之间，
A、，
，故A不符合题意；
B、，
，故B符合题意；
C、，
，故C不符合题意；
D、，
，故D不符合题意；
故选：B．
6. 如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是( ).
A. 甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C. 丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高
D. 就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
【答案】D
【解析】
【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
【详解】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；
B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；
C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确；
D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．
故选D．
【点睛】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题．
7. 如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“馬”和“車”的坐标分别是和，那么“炮”的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查坐标确定位置．根据平面直角坐标系确定坐标原点和、轴的位置，进而解答即可．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示：

“炮”的坐标为，
故选：B．
8. 若式子有意义，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，二次根式和零次幂有意义的条件；由二次根式和零次幂有意义的条件得，由一次函数图象的性质即可求解；掌握一次函数的性质“当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限．”是解题的关键．
【详解】解：有意义，
，
，
，
图象经过第一、二、三象限；
故选：D．
9. 某学习小组在网上获取了声音在空气中的传播速度和空气温度之间的关系的一些数据如下表：下列说法中错误的是（ ）
A. 温度每降低，声速减少
B. 若想让声速为，则温度应为
C. 当温度升高到33摄氏度时，声速为
D. 在这个变化过程中，自变量是温度，声速是温度的函数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求一次函数的解析式．根据表格中两个变量的数据变化情况判断A、D两个选项，求出声音在空气中的传播速度和空气温度之间的函数的关系，利用函数关系判断B、C两个选项．
【详解】解：由表中数据知，在这个变化过程中，自变量是温度，声速是温度的函数，故D选项正确，不符合题意；
由表知，声音在空气中传播速度和空气温度之间成一次函数的关系，设这个函数关系为，
把、代入得，
解得，
，
A、由表中数据知，空气温度每降低，声速减少，因此选项A正确，不符合题意；
B、当时，，解得，即若想让声速为，则温度应为，因此选项B错误，符合题意；
C、当时，，即当温度升高到33摄氏度时，声速为，因此选项C正确，不符合题意；
故选：B．
10. 将一次函数的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的图象平移规律，直接根据“上加下减”的原则进行解答．
【详解】解：由上加下减”的原则可知，将一次函数的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为：．
故选：A．
11. 一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点，在该一次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和系数的关系以及增减性是解题关键．根据一次函数图象经过的象限，得出，再利用一次函数的增减性，即可判断出函数值的大小．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
随的增大而减小，
，
，
故选：A．
12. 勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为（ ）
A. 7B. 10C. 11D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用．可设直角三角形的斜边长为，较长的直角边长为，较短的直角边长为．根据勾股定理可得：．根据图2可得四边形的面积两个较小正方形的面积和最大正方形的面积，代入计算即可．
【详解】解：设直角三角形的斜边长为，较长的直角边长为，较短的直角边长为．
，
．
四边形的面积两个较小正方形的面积和最大正方形的面积，
四边形的面积．
，，，
四边形的面积．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13. 在实数0，，，，中，无理数的个数有______个．
【答案】3##三
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．
【详解】解：，
在实数0、、、、中，无理数有、、，共3个，
故答案为：3．
14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“利用同类二次根式的定义求解字母参数的值”是解本题的关键．由同类二次根式的定义可得，再解方程即可．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：．
故答案为：8．
15. 若点与点关于y轴成轴对称，则_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质—轴对称，根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数列式求出m，n，然后计算即可．
【详解】解：∵点与点关于y轴成轴对称，
∴,，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．先把已知条件中的两个方程相加，求出，然后根据关于，的二元一次方程组的解满足，列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：，
①②得：，
即，
∴，
关于，的二元一次方程组的解满足，
，
∴，
解得，
故答案为：．
17. 我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．
【答案】14.5
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4）²+10²=x²，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键．
18. 关于的一次函数（为常数且）．
①当时，此函数为正比例函数；
②若函数图象同时经过点和点（，为常数），则；
③无论取何值，该函数图象都不可能经过第二、三、四象限；
④若该函数图象与直线关于轴对称，则．
上述结论中正确的是______（填序号）．
【答案】③④
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换．根据一次函数图象与系数关系以及图象上点的坐标特征，逐项分析判断正误即可．
【详解】解：①当时，函数为是一次函数，故①不正确；
②将点和点代入得：
，
②①得：，
，故②不正确；
③不妨假设函数图象同时经过第二、三、四象限，则：
，此不等式组为空集，
不存在的值使一次函数同时经过第二、三、四象限．
故结论③正确；
④在函数中，令，则，关于轴的对称点为，将点代入中，得，解得．
故结论④正确．
故答案为：③④．
三、解答题（共84分）
19. （1）计算
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）原式==3．
（2）解：，
得，③，
得，解得，
将代入②得，，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的性质及加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．
20. 已知的三边长分别为，，，且的平方根分别是与，，是的整数部分．
（1）求的立方根；
（2）判断三角形的形状．
【答案】（1）1； （2）是直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了估算无理数、平方根、立方根和勾股定理逆定理，解题关键是熟练掌握求平方根、立方根，正确估算无理数的整数部分和小数部分．
（1）先根据两个平方根是互为相反数，列出关于m的方程，求出m，再根据二次根式有意义的条件列出关于n的方程，求出n，然后求出的立方根即可；
（2）根据（1）中所求的n，求出b，再估算的大小，求出整数部分c和a的值，最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【小问1详解】
解：∵a的平方根分别是与，
∴，
整理得，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴的立方根是1；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，即，
∴的整数部分，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
21. 如图，点在上，点在上，分别交于点，已知，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，且，求的度数．
【答案】（1）平行，理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据对顶角相等并结合题意得到，即可判定；
（2）根据同旁内角互补，两直线平行得出，根据平行线的性质求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
，，，
，
∴；
【小问2详解】
解：，
∴，
，
，即，
，
∴．
22. “感受数学魅力，提升数学素养”，某校在举办的数学文化节上对八年级（1）班和（2）班开展了趣味数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为，，三个等级（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀）：
A：，B：，C：．下面给出了部分信息：
八年级（1）班10名学生的成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88；
八年级（2）班10名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
抽取八年级1班学生竞赛成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派______班；
（3）若八年级两个班共有110名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数．
【答案】（1）；
（2）2； （3）33人．
【解析】
【分析】本题考查了数据与收集，扇形统计图，样本估计总体，根据相关概念会找出对应的数据是解题关键．
（1）根据中位数和众数的定义，求出、的值，再用八年级1班学生竞赛成绩在C等级的人数除以抽取的总人数，即可求出的值；
（2）根据方差的意义分析即可；
（3）用总人数乘以样本中成绩优秀的百分比，即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意可知，八年级1班学生竞赛成绩在A等级的人数为，
八年级1班学生竞赛成绩的中位数为第5、6名成绩的平均数，
即；
八年级2班学生竞赛成绩的众数；
八年级1班学生竞赛成绩在C等级的人数的百分比为，
即，
故答案为：；
【小问2详解】
解：八年级2班学生竞赛成绩的方差56八年级1班学生竞赛成绩的方差62.4，
八年级2班学生竞赛成绩更稳定，
学校会选派2班参加，
故答案为：2；
【小问3详解】
解：由题意可知，两班学生竞赛成绩优秀的百分比均为，
，
即两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数为33人．
23. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）求，关于的函数解析式；
（2）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择______品牌共享电动车更省钱．（填“”或“B”）
②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？
【答案】（1）；；
（2）①B；②当的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①先分段求出关于的函数解析式，再根据“时间路程速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解；
②分两种情况讨论：当时，；当时，或．以此列出方程，求解即可．
【小问1详解】
解：由图象可得，，
设，
将点代入得，，
解得：，
，
关于的函数解析式为；
由图象可知，当时，，
设当时，，
将点，代入得，，
解得，
当时，，
；
【小问2详解】
解：①由图象可知，当时，，
小明从家骑行到工厂所需时间为，
A品牌所需费用为（元，
B品牌所需费用为（元，
，
选择B品牌共享电动车更省钱；
故答案为：B；
②当时，，
，
解得：，
当时，或，
或，
解得：（舍去）或，
综上，当的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题．
24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．
（1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？
【答案】（1）种型号的汽车每辆进价为25万元，种型号的汽车每辆进价为元
（2）该公司共有二种购买方案，最大利润为元
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组的方法，方案选择的方法是解题的关键．
（1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意列方程求解，根据实际情况选择方法即可．
【小问1详解】
解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，
由题意可得：，解得，，
∴种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元．
【小问2详解】
解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，
由题意可得，，且，
∴，
∵为正整数，
∴或，
∴该公司共有二种购买方案，
当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元），
当购买型号汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元），
∴该公司共有二种购买方案，最大利润为元．
25. 我们新定义一种三角形：一个三角形中，若两边的平方差等于第三边上的高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点．
（1）如图1，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试证明．
（2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）根据勾股顶点定义列出关系式，再由勾股定理列出关系式，判断即可得证；
（2）根据，得到，由（1）中的方法得，在中，根据勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
解：∵为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且，是边上的高，
∴，即，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，是边上的高，，，
∴，即，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
则．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴负半轴交于点C，且．

（1）求线段的长；
（2）动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒），的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据一次函数的性质求出点的坐标即可；
（2）分两种情况：当点P在点O的左侧时，当点P在点O的右侧时，分别表示出的长即可；
（3）设BC的函数解析式为，代入点，，求出BC的函数解析式，再分两种情况讨论即可，这两种情况分别是：当时，过点D作轴，垂足为G，与当时，过点D作轴，垂足为点H．
【小问1详解】
解：把代入，，
∴，
把代入，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
当点P在点O的左侧时，，
即，
当点P在点O的右侧时，，，
即，
故；
【小问3详解】
设BC的函数解析式为，
其图象经过点，，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为，
当时，过点D作轴，垂足为G，

∵等腰直角三角形，∴，
又∵，
∴，
∴
把代入，，
∴，
∴，
即，
当时，过点D作轴，垂足为点H，

∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
设，
∴，把代入，，则，
，
则，，，即．
综上所述，t的值为或 ．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合问题，掌握几何图形的性质求出函数具体解析式是解决本题的关键．
温度
0
10
20
30
声速
318
324
330
336
342
348
学生
平均数
中位数
众数
方差
八（1）班
86
88
62.4
八（2）班
86
85
56