高中数学6.2空间向量的坐标表示学案及答案

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知识精讲
知识点01 空间向量的基本定理
【即学即练1】若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．a+c,a,a−cB．a,a+b,2a+b
C．a,a+b,cD．a+b,a+b+c,c
【即学即练2】已知a,b,c是空间的一个基底，下面向量中与向量a+c，a−c一起能构成空间的另外一个基底的是（ ）
A．aB．b+cC．2a+cD．a−2c
知识点02 正交基底和单位正交基底
推论:
设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得OP=xOA+yOB+zOC.
【即学即练3】设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=j+k,c=k+i，若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4)，则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是（ ）
A．(10,12,14)B．(14,12,10)
C．(12,14,10)D．(4,3,2)
【即学即练4】已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3c,{a+b,a−b,c}是空间的另一个基底，用基底a+b,a−b,c表示向量p=___________.
能力拓展
◆考点01 空间向量基底概念及辨析
【典例1】（多选）设a→,b→,c→是空间的一个基底，若x→=a→+b→，y→=b→+c→，z→=c→+a→．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）
A．a→,b→,x→B．x→,y→,z→C．b→,c→,z→D．x→,y→,a→+b→+c→
【典例2】（多选）以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若a,b,c为空间向量的一组基底，则a+b,b+c,c+a构成空间向量的另一组基底
C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若OP=2OA−2OB+OC，则P、A、B、C四点共面
D．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
【典例3】已知e1,e2,e3是空间的一组基， 且OP=2e1−e2+3e3，OA=e1+2e2−e3，OB=−3e1+e2+2e3，OC=e1+e2−e3.
(1)OA,OB,OC能否构成空间的一组基底？若能，试用这一组基向量表示OP；若不能，请说明理由．
(2)判断P，A，B，C四点是否共面，并说明理由．
◆考点02用空间向量表示基底
【典例4】已知三棱锥O−ABC，M，N分别是对棱OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，设OA=a，OB=b，OC=c，则OG=__________．（用基底a,b,c表示）
【典例5】在空间四边形OABC中，E、F分别是OA、BC的中点，P为线段EF上一点，且PF=2EP，设基向量OA=a,OB=b,OC=c，用这个基向量表示以下向量：EF、OP．
【典例6】．在三棱锥体P−SEF中，FM=3ME,MN=2NS，点H为PF的中点，设SP=i,SE=j,SF=k.
(1)记a=PN+SH，试用向量i,j,k表示向量a；
(2)若∠ESF=π2,∠ESP=∠PSF=π3,SE=SF=4,SP=6，求PN⋅SH的值.
◆考点03 空间向量正交分解
【典例7】已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3c，a+b,a−b,c是空间的另一个基底，向量p在基底a+b,a−b,c下的坐标为（ ）
A．32,−12,3B．−32,12,3C．12,−32,3D．−12,32,3
【典例8】已知向量a→，b→，c→是空间的一组单位正交基底，向量a→+b→，a→−b→，c→是空间的另一组基底，若向量p→在基底a→，b→，c→下的坐标为（2，1，3），p在基底a→+b→，a→−b→，c→下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝_____，z＝_____．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．b，c，a+bB．b，a+c，a+b
C．a−b，c，a+bD．b，a−b，a+b
2．已知三棱锥O−ABC，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）.设OA=a，OB=b，OC=c，那么向量OG用基底{a,b,c}可表示为（ ）
A．12a+12b+13cB．13a+13b+13c
C．12a+12b+12cD．23a+23b+23c
3．若{a,b,c}为空间的一个基底，则下列各项中不能构成空间中基底的一组向量是（ ）
A．b+c,a+b,a−bB．a+b,b+c,a+c
C．a+b+c,a−b,b+cD．8a+2b+6c,a+2b+c,3a−b+2c
4．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=a，AB=b，AD=c，点P在A1C上，且A1P:PC=2:3，则AP=（ ）
A．25a+35b+35cB．35a+25b+25c
C．25a+25b+35cD．35a−25b−25c
5．已知a,b,c是空间向量的一个基底，则可以与向量p=a+b，q=a−b，构成基底的向量是（ ）
A．a+2cB．bC．a+2bD．a
二、多选题
6．关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）
A．向量a，b，若a⋅b=0，则a⊥b
B．若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
C．设a,b,c是空间中的一组基底，则a−b,b+c,a+c也是空间的一组基底
D．若空间四个点P，A，B，C，PC=14PA+34PB，则A，B，C三点共线
7．给出下列命题,其中正确的有（ ）
A．已知向量a⊥b,则a⋅b+c+c⋅b−a=b⋅c
B．若向量a,b共线,则向量a,b所在直线平行或重合
C．已知向量a⊥b,则向量a,b与任何向量都不构成空间的一个基底
D．A,B,M,N为空间四点,若BA,BM,BN构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面
8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．不相等的两个空间向量的模可能相等
C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D．若a、b是两个不共线的向量，且c=λa+μb（λ、μ∈R且λ⋅μ≠0），则a,b,c构成空间的一个基底
三、填空题
9．已知向量a,b,c可作为空间的一组基底{a,b,c}，若d=3a+4b+c，且d在基底{(a+2b),(b+3c),(c+a)}下满足d=x(a+2b)+y(b+3c)+z(c+a)，则x= __．
10．设a,b,c是空间的一个单位正交基底，且向量p=a+2b+3c ， a+b,2a−b,c是空间的另一个基底，则用该基底表示向量p=____________.
四、解答题
11．如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，点E，F分别是棱AA′和C′D′的中点，以AB，AD，AA′为基底表示EF．
12．已知空间的一组基i,j,k，a=i−2j+k，b=−i+3j+2k．
(1)写出一个与向量a平行的向量c1；
(2)写出一个与向量a，b共面的向量c2；
(3)向量a，b是否共线？是否共面？
(4)写出一个向量c3，使之与向量a，b构成空间的另一组基．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基向量OA，OB，OC表示向量，设OG=xOA+yOB+zOC，则x、y、z的值分别是（ ）
A．x=13，y=13，z=13B．x=13，y=13，z=16
C．x=13，y=16，z=13D．x=16，y=13，z=13
2．如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PD=mPA，PE=nPB，PF=tPC，则1m+1n+1t的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． 2a−b，a+b−c，7a+5b+3c
B． 2a+b，a+b+c，7a+5b+3c
C． 2a+b，a+b+c，6a+2b+4c
D． 2a−b，a+b−c，6a+4b+2c
4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，MG=2GN，现用基向量OA,OB,OC表示向量OG，设OG=xOA+yOB+zOC，则x,y,z的值分别是（ ）
A．x=13，y=13，z=13B．x=13，y=13，z=16
C．x=13，y=16，z=13D．x=16，y=13，z=13
5．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为CC1的中点，E为C1D1的中点，F为B1C1的中点，O为EF的中点，直线PE交直线DD1于点Q，直线PF交直线BB1于点R，则（ ）
A．AO=57AP+17AQ+17ARB．AO=12AP+14AQ+14AR
C．AO=23AP+16AQ+16ARD．AO=59AP+29AQ+29AR
二、多选题
6．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=12AA1=2，点P为空间一点，若AP=xAD+yAB+ (1−x−y)AA1，BQ=λBD+μBB1，则下列判断正确的是（ ）
A．线段AP长度的最小值为43
B．当μ=12时，三棱锥Q−BDA1的体积为定值
C．无论x,y,λ,μ取何值，点P与点Q不可能重合
D．当λ=μ=12时，四棱锥Q−ABCD的外接球的表面积为9π
7．若OA，OB，OC是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则（ ）
A．θ的取值范围是0,π
B．OA,AB,BC能构成空间的一个基底
C．“OP=2OA−OB+OC”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件
D．OA+OB+OC⋅BC=0
8．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使MA→,MB→,MC→成为空间的一个基底的是（ ）
A．OM→=12OA→+13OB→+14OC→B．MA→=MB→+MC→
C．OM→=OA→+OB→+OC→D．6OM→=OA→+2OB→+3OC→
三、填空题
9．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，Ω=PAP=λAB+μAC+ηAA1,0≤λ≤1,0≤μ≤2,0≤η≤3，若Ω中所有的点构成的几何体的体积为3，则AB与AC夹角的大小为________．
10．已知e1,e2,e3是空间单位向量，e1⋅e2=e2⋅e3=e3⋅e1=13，若空间向量a满足a=xe1+ye2x>0,y>0，a=4，则a⋅e3的最大值是_______.
四、解答题
11．平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
(1)求线段AC1的长；
(2)若AB=a,AD=b,AA1=c，判断{a+b,a−b,c}能否构成空间的一组基底，若能，用此基底表示向量A1B；若不能，说明理由．
12．如图，在三棱锥P−ABC中，点D为棱BC上一点，且CD=2BD，点M为线段AD的中点．
(1)以AB,AC,AP为一组基底表示向量PM；
(2)若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=60∘，求PM⋅AC．
13．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设OA=a，OB=b，OC=c．
(1)用a，b，c表示向量OP；
(2)若a=b=c=1，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①a,b=b,c=c,a=π3；②a,b=c,a=π3,b,c=π2；③a→,b→=c→,a→=π2,b→,c→=2π3，则可求出OP的值；并求出OP的大小．
题组C 培优拔尖练
如图，在三棱锥D−ABC中，已知AB=2，AC⋅BD=−3，设AD=a ， BC=b ， CD=c，则c2ab+1的最小值为______.
课程标准
重难点
1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解.
重点：空间向量基本定理.
难点：选择恰当的基底表示向量.
空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.
正交基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底
当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示