高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理学案

空间向量基本定理

【学习目标】

1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养．

2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养．

【学习重难点】

1．理解空间向量基本定理．（重点）

2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题．（难点）

3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．（重点）

【学习过程】

一、新知初探

1．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对（x，y），使c＝xa＋yb．

2．空间向量基本定理

如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc．

特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．

3．相关概念

（1）线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．

（2）基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．

（3）基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．

（4）分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．

4．拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．（    ）

（2）若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．（    ）

（3）若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底．（    ）

2．（教材P16练习A①改编）对于空间的任意三个向量a，b,2a－3b，它们一定是（    ）

A．共面向量 B．共线向量

C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量

3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

三、合作探究

【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．

【例2】已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点M是否在平面ABC内．

【例3】（1）若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．

（2）如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．

【学习小结】

1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的．

2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．

【精炼反馈】

1．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ）

A．，，共线 B．，共线

C．，共线 D．O，A，B，C四点共面

2．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是（    ）

A．1

B．2

C．3

D．4

3．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________．（用a，b，c表示）

4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则2x＋4y＋2z＝________．

5．如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）；（2）．