苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示课后复习题

6.2空间向量的坐标表示苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 以下命题中不正确的个数为(    )“”是“，共线”的充要条件；
   若，则存在唯一的实数，使得；
   若，，则；
   若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；
   ．

A.  B.  C.  D.

2. 设是四面体，是的重心，是上一点，且，若，则为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 正方体，，，分别是，，的中点，以为基底，，则，，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，以棱长为的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在体对角线上运动，点为棱的中点，则当最小时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在空间直角坐标系中，已知点，点关于平面对称的点为，点关于轴对称的点为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在空间直角坐标系中，已知，则的中点关于平面的对称点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知空间三点，，若，且，则点的坐标为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 设构成空间的一个基底，则下列说法正确的是(    )

A. 存在不全为零的实数，，，使得
B. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
C. 在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D. 存在另一个基底，使得

10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点记，，，则下列说法正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 多选已知点，，，点满足条件，，，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知向量，则与共线的单位向量可能为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知空间四边形中，，若，且，则          ．
14. 在四棱锥中，底面是矩形，为矩形外接圆的圆心若，则            ．
15. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且所在的平面互相垂直活动弹子，分别从，出发沿对角线，匀速移动，已知弹子的速度是弹子的速度的倍，且当弹子移动到处时试验中止则活动弹子，间的最短距离是          ．

16. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的体积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，垂直于正方形所在的平面，，分别是，的中点，并且，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
     

18. 本小题分
    如图所示，正方形，的边长都是，并且平面平面，点在上移动，点在上移动若
     

求的长度．

当为何值时，的长度最短

19. 本小题分

在三棱柱中，侧棱底面，所有的棱长都是，建立适当的空间直角坐标系，并写出各点的坐标．

20. 本小题分

如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交棱，，于点，，，若，，，求证：为定值．

21. 本小题分
    已知是空间的一个基底，且，，，试判断能否作为空间的一个基底．

已知空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，为中点用基底表示以下向量：

．

22. 本小题分
    如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，，设，，．
    
    
    用，，表示，

求异面直线与所成角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式，属于拔高题．
当向量同向时判断即可；利用与任意向量共线，来判断是否正确；和垂直的向量有无数个即可判断是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断；代入向量数量积公式验证即可判断．

【解答】

解：对，向量同向时，，不满足必要性，错误；

对，当为零向量，不是零向量时，不存在使等式成立，错误；

对，和垂直的向量有无数个，其中任意两个不一定相等，故错误；

对，用反证法，若不构成空间的一个基底，

设，
则，即共面，
与为空间的一个基底矛盾，正确；

对，，错误．

故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算和空间向量基本定理，属于中档题．
利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量基本定理得，从而得结论．

【解答】

解：因为是上一点，且，
所以，
又因为是的重心，
所以

．
又因为，所以．
即为．
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量基本定理的应用，属于中档题．
利用题目条件，将分解到方向上，进而得到，，，再求和即可．

【解答】

解：由题意，，
而，
从而
，
从而．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正方体的性质与向量的三角形法则、向量基本定理，属于中档题．

利用正方体的性质与向量的三角形法则可得，即可得出．

【解答】

解：
，
对比，得．
故选A．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中两点间距离公式，难度适中．
得出，，利用空间中两点间距离公式进行求解即可．

【解答】

解：连接，过点作于点，则垂直于平面．
设点的横坐标为，，
则由正方体体对角线的性质可得点的纵坐标也为，
由正方体的棱长为，得，
因为，
所以，所以，
又因为，
所以
，
所以当时，最小，此时点的坐标为
故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间直角坐标系中的点的对称，两点间的距离公式，考查了学生对基础知识的把握，属于中档题．
先根据点的对称求得，的坐标，进而利用两点的间的距离公式求得线段长度，即可求三角形的面积．

【解答】

解：点，点关于平面对称的点为，
点坐标为
点，关于轴对称点，
，
，
，
所以，为直角三角形，
则的面积为．
故选：．

 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间直角坐标系，中点坐标公式，点关于坐标平面对称的点的坐标求法，属于基础题．
先运用中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据点关于平面的对称点坐标是即可得到答案．

【解答】

解：在空间直角坐标系中，已知，，
则的中点坐标，
所以的中点关于平面的对称点坐标为．
故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了空间向量的坐标的运算，属于中档题．
根据 ，可设易知，则由建立方程，解出，求出设点的坐标为，由，得到方程组，这样求出的坐标．
【解答】
解：，可设．
易知，则．
又，
，解得，
或．
设点的坐标为，
则，
或
解得或
故点的坐标为或．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的基本定理及应用，属于中档题．
根据空间向量基本定理，以及构成基底的向量的特征，逐项判断，即可得出结果．

【解答】

解：选项，假设存在不全为零的实数，，，使得，不妨令，则，此时，，共面，不能构成空间的一个基底，与题意矛盾，故A错
选项，根据空间向量基本定理可得，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，即B正确
选项，因为，，而不能由，表示出，即向量，，不共面，因此，，可以构成一组基底，即C正确
对于，存在，根据向量运算几何意义，表示以为顶点，以，，为相邻三边的长方体对角线，绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底，都满足，所以对．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量基本定理、线性运算和数量积，属于一般题．
根据题意，以，，作为基底，按照向量的线性运算和数量积公式，逐项计算即可得解

【解答】

解：由，故A正确
由为中点，
所以
，
故B错误 
对，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，
即，，模长为，夹角为，
，所以，故C正确
，，
又
，
所以，
故D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

设，根据，，，利用坐标表示即可建立方程，解方程组即可求解．
本题考察空间向量数量积与垂直的关系，属于基础题．

【解答】

解：设，则，，，
，，．
又，故，
，故，
，故，
联立解得或，
所以点的坐标为或
故选：

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线的坐标表示，是中档题

【解答】

对于，，且向量的模为，故A正确
对于，不存在实数，使得，故B错误
对于，，且向量的模为，故C正确
对于，向量的模为，，不是单位向量，故D错误故选AC 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图所示，，与，比较即可得出．

【解答】

解：如图所示，

．
，
．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量的加减法以及数乘运算，考查空间向量的基本定理，属于中档题．
由已知可得为对角线与连线的交点，由向量加法的三角形法则和平行四边形法则求解即可．

【解答】

解：因为底面是矩形，为矩形外接圆的圆心，
所以为对角线与连线的交点，且为中点，
如下图所示：

所以
，
又，
所以，，，
所以．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标．直接由两点间的距离公式可得；然后利用配方法求最值．

【解答】

解：如图建立空间直角坐标系，

由题意可知，，，，
设弹子的速度为，则弹子的速度为，
则，．
所以．
所以当时，有最小值．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方体的体积与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体利用正方体的体积与三棱锥的体积计算公式即可得出．
【解答】
解：如图所示，
满足条件的四面体为正方体的内接正四面体．
该四面体的体积．
故答案为：．  

17.【答案】解：因为，平面，，
所以，，是两两垂直的单位向量．

设，，，以为基底建立空间直角坐标系．
因为
，
所以． 

【解析】本题考查空间直角坐标系以及向量的坐标、空间向量的线性运算，属于中档题．
首先根据题意建立空间直角坐标系，根据空间直角坐标系，得，即可解答此题．
 

18.【答案】解：因为平面平面，且交线为，，所以平面，所以，，两两垂直取为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系因为，，点在平面内且在正方形的对角线上，所以点因为点在平面内且在正方形的对角线上，，所以点．

由空间两点间的距离公式，得  ，即的长度为．

由得当满足 时， 取得最小值，即的长度最短，最短为．

【解析】本题考查空间向量法求空间中两点的距离问题，考查二次函数的最值，属于一般题．
 

19.【答案】解：如图所示，取的中点和的中点，连接，，可得，，
分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．

因为各棱长均为，
所以，．
因为，，均在坐标轴上，
所以，，．
因为点，均在平面内，
所以， ．
因为点在平面内的射影为点，且，所以． 

【解析】本题考查空间直角坐标系下点的坐标，属中档题．
取的中点和的中点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，标出个点坐标即可．
 

20.【答案】如图，连接并延长，交于点，连接．

  因为点，，，共面，所以存在唯一的实数对，使，即，所以由空间向量基本定理，知，，，所以，为定值．

【解析】本题考查空间向量共面定理和空间向量基本定理，是中档题
 

21.【答案】解：假设，，共面．

则存在实数，使得，

，

，，不共面，

此方程组无解，

，，不共面，可以作为空间的一个基底．

如图所示，
 

．

．

【解析】本题考查空间向量基本定理，属中档题．
 

22.【答案】解：，
由题意及可得
，
，
，
．
异面直线与所成角的余弦值为 

【解析】本题考查空间向量基本定理及空间向量的加减运算与数量积运算，以及利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题．
利用空间向量基本定理及空间向量的加减运算法则得出即可；
利用空间向量的数量积运算法则进行求解即可．