第07讲 空间向量基本定理 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019选择性必修一）

第07讲 空间向量基本定理

       【学习目标】

1.了解空间向量基本定理及其意义，

2.掌握空间向量的正交分解

        【基础知识】

一、空间向量基本定理

1.如果三个向量a,b,c不共面 ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc    .我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底 ,a,b,c都叫做基向量 .空间任意三个不共面 的向量都可以构成空间的一个基底

2.基向量的选择和使用方法

用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向
量应注意:

(1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断;

(2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知
向量;

(3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.【解读】       

3.用基底表示向量的步骤

(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.

(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

二空间向量的正交分解

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直 ,且长度都为1    ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

   【考点剖析】

考点一：对平面向量基本定理的理解

例1．（多选）（2021-2022学年河北省邯郸市高二上学期期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（       ）

A．若，则

B．，，两两共面，但，，不共面

C．一定存在实数x，y，使得

D．，，一定能构成空间的一个基底

【答案】ABD

【解析】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线，

∴若，则，A正确，B正确；

若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；

设，则，此方程组无解，

∴，，不共面，D正确.故选ABD.

考点二：对基底的理解

例2．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】如图，作平行六面体，，，，

则，，，，

由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，

因此可以作为空间的基底的有3组．故选C．

考点三：选择基底表示某一向量

例3．（2021-2022学年河南省郑州市高二上学期期末）已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.故选A

考点四：选择基底求解向量的模或线段长度

例4．（2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，，

因为

,所以

，所以，故选C

考点五：选择基底求解角度问题

例6．（2021-2022学年重庆市四川外语学院高二上学期10月月考）二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.

【答案】

【解析】设平面与平面的夹角为，因为，，

所以，由题意得，所以

所以，所以，所以，即平面与平面的夹角为.

考点六：选择基底求解数量积问题

例7．（2021-2022学年江苏省南通市海安市实验中学高二下学期期中）已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（       ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

【答案】D

【解析】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，

则，

因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，

，

所以.故选D

        【真题演练】

1. （2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（       ）

A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线

C．与共线 D．O，A，B，C四点共面

【答案】D

【解析】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面，故选D

2. （2021-2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意得，.

故选D

3.（2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中）如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，

又，

所以，．故选C．

4. （2021-2022学年福建省福州市八县（市）一中高二上学期期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】由于不共面,可A,B,D中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有，故这三个向量是共面的,不能构成基底.故选ABD

5.（多选） （2021-2022学年福建省福州市高二下学期期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（       ）

A． B．

C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面

【答案】BD

【解析】，A选项错误.

，B选项正确.

则是的中点，

，

，

则不存在实数使，所以C选项错误.

，

由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.

故选BD

6. （多选）（2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中）如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.

【答案】

【解析】在中，因为是的中点，所以，

所以.

7. （2021-2022学年河北省邯郸市高二上学期期末）已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.

【答案】6

【解析】设，，，则，

∴，

∴.

8.（2021-2022学年江苏省徐州市王杰中学高二下学期3月阶段性测试）如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．

(1)试用，，表示向量；

(2)若，，，，，求的值．

【解析】 (1)解：，

，

又

(2)解：由（1）可得知

       【过关检测】

1.（2021-2022学年江苏省苏州市昆山市七校高二上学期12月联考）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为（       ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】，故

，

故，故选A

2. （2021-2022学年广东省佛山市南海区桂城中学高二下学期第二次段考）四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由已知，

所以，，故选D.

3. （2021-2022学年广东省揭阳市揭西县高二上学期期末）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】B

【解析】对于A：，因此A不满足题意；

对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；

对于C：，故C不满足题意；

对于D：显然有，选项D不满足题意． 故选B

4.（2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期3月月考）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设正方体内切球的球心为，则,

,

因为MN是正方体内切球的一条直径，

所以，，

所以，

又点Р在正方体表面上运动，

所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；

当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；

所以，

所以的取值范围为，故选B

5. （多选）（2021-2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第一次学情调研）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】ABD

【解析】对于A，因为，故，，共面；

对于B，因为，故，，共面；

对于D，因为，故，，共面；

对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，

，故共面，

这与构成空间的一个基底矛盾，故选ABD

6. （多选）（2021-2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（       ）

A． B．

C．的长为 D．

【答案】BD

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A选项，，A错误，

对于B选项，，B正确：

对于C选项，，则，

则，C错误：

对于，则，D正确.

故选BD.

7．（多选）（2021-2022学年浙江省金华市曙光学校高二上学期10月月考）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（       ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】CD

【解析】因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，

所以由平面向量基本定理可知：

，

化简得：，显然有，

而，所以有，

当，时，，所以选项A不可能；

当，时，，所以选项B不可能；

当，时，，所以选项C可能；

当，时，，所以选项D可能，

故选CD

8. （2021-2022学年陕西省宝鸡市渭滨区高二上学期期末）已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.

【答案】1

【解析】因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：

即，整理得：，

又，所以，，，从而.

9. （2021-2022学年河南省名校联盟高二上学期期末）在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，，若，则___________.

【答案】

【解析】

.

10. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．

【解析】因为是的中点，底面是正方形，

所以

，

又由题意，可得，，，，

，

因此

，

所以，即的长为.