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北师大版八年级下册3 三角形的中位线精品达标测试
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这是一份北师大版八年级下册3 三角形的中位线精品达标测试，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在ΔABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为( )
A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°
2.如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD//BC，BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4.E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为( )
A. 20B. 16C. 12D. 8
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，若CE=2，则四边形ADFE的周长为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.阅读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：DE//BC，且DE=12BC．
证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，…
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图2，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．
乙：如图3，连接DC，AF.先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．
下列判断正确的是( )
A. 甲思路正确，乙思路错误B. 甲思路错误，乙思路正确
C. 甲、乙两人思路都正确D. 甲、乙两人思路都错误
6.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是
( )
A. ∠B=∠FB. DE=EFC. AC=CFD. AD=CF
7.如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设AC，BC的中点分别为M，N.若MN=3米，则AB=
( )
A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米
8.如图，△ABC中，D，E，F，G分别是AB，AC，AD，AE的中点，若BC=8，则DE+FG等于( )
A. 4.5B. 6C. 7D. 8
9.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( )
A. ∠B=∠FB. DE=EFC. AC=CFD. AD=CF
10.如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠C=60∘，AD⊥BC于点D，BD= 3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
A. 33B. 32C. 1D. 62
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是 ．
12.如图所示，△ABC和△DCE为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一条直线上，BC=4 2，且CE=12BC，连接AD，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则MN= ______．
13.在△ABC中，BC=3，BD平分∠ABC交AC于点D，DE//BC交AB于点E，EF//AC交BC于点F.有以下结论：
①四边形EFCD一定是平行四边形；
②连接DF所得四边形EBFD一定是平行四边形；
③保持∠ABC的大小不变，改变BA的长度可使BF=FC成立；
④保持BA的长度不变，改变∠ABC的大小可使BF=FC成立．
其中所有的正确结论是________(填序号)．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图1，△ABC与△AEF都是等边三角形，边长分别为4和 3，连接FC，AD为△ABC高，连接CE，N为CE的中点．
(1)求证：△ACF≌△ABE；
(2)将△AEF绕点A旋转，当点E在AD上时，如图2，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
(3)连接BN，在△AEF绕点A旋转过程中，求BN的最大值．
16.(本小题8分)
如图，O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形．
(2)如果∠OBC=45∘，∠OCB=30∘，OC=8，求EF的长．
17.(本小题8分)
已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
18.(本小题8分)
下图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接得到四边形DEFG
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若OB⊥OC，∠EOM和∠OCB互余，OM=3，求DG的长度．
19.(本小题8分)
如图，E为□ABCD的DC边延长线上的一点，且CE=DC，连接AE分别交BC，BD于点F，点G，连接AC交BD于点O，连接OF．
求证：AB=2OF．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，BD⊥BC，垂足为点B，BD⊥AD，垂足为点D，OB=OD，点E，F分别是AO，CO的中点，连接BE，BF，DE，DF．
(1)求证：OE=OF；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论．
①∠AOD=60°，②AC=2BD．
选择的条件：______(填写序号)．
(注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．根据三角形的中位线定理得到DE//BC，EF//AB，由平行线的性质得出∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，即可得出答案．
【解答】
证明：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE//BC，EF//AB，
∴∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，
∴∠CFE=∠ADE=65°，
故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据勾股定理得到AB=5，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABD=∠ADB，求得AB=AD=5，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到BF=FG，AG=BC=3，求得DG=5−3=2，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵BC=3，AC=4，
∴由勾股定理得AB=5，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=5，
连接BF并延长交AD于G，
∵AD//BC，
∴∠GAC=∠BCA，
∵F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AFG和△CFB中，
∠GAF=∠BCFAF=CF∠AFG=∠CFB,
∴△AFG≌△CFB(ASA)，
∴BF=FG，AG=BC=3，
∴DG=5−3=2，
∵E是BD的中点，
∴EF=12DG=1．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型，首先证明OE=12BC，再由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴OE=12BC，
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故选B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
根据三角形的中点的概念求出AB、AC，根据三角形中位线定理求出DF、EF，计算得到答案．
【解答】
解：∵点E是AC的中点，AB=AC，CE=2，
∴AB=AC=4，
∵D是边AB的中点，
∴AD=2，
∵D、F分别是边AB、BC的中点，
∴DF=12AC=2，
同理，EF=2，
∴四边形ADFE的周长=AD+DF+FE+EA=8，
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：甲：∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，DE=FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴AD=CF，∠A=∠ECF，
∴AB//CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE//BC，BC=DF，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC，故甲的思路正确；
乙：∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD//CF，AD=CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE//BC，BC=DF，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC，故乙的思路正确；
故选：C．
甲：证△ADE≌△CFE(SAS)，得AD=CF，∠A=∠ECF，则AB//CF，再证四边形DBCF是平行四边形，得DE//BC，BC=DF，即可解决问题；
乙：证四边形ADCF是平行四边形，得AD//CF，AD=CF，再证四边形DBCF是平行四边形，得DE//BC，BC=DF，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形中位线定理的证明等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DE=12AC，
A、当∠B=∠F时，不能判定AD//CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵DE=EF，
∴DE=12DF，
∴AC=DF，
∵AC//DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据AC=CF，不能判定AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AD=CF，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF//AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：B．
利用三角形中位线定理得到DE//AC，DE=12AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，
∴AB=2MN=6(m)，
故选：B．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC⋅
同理，FG=12DE=14BC．
又BC=8，
∴DE+FG=34BC=6．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
利用三角形中位线定理得到DE//AC，DE=12AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DE=12AC，
A、当∠B=∠F时，不能判定AD//CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵DE=EF，
∴DE=12DF，
∴AC=DF，
∵AC//DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据AC=CF，不能判定AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AD=CF，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF//AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】略
11.【答案】65≤DE≤2
【解析】如图，作CH⊥AB于H，连接CM，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2=5，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，
即12×3×4=12×5CH，
解得CH=125，
∵点D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE是△MNC的中位线，
∴DE=12CM，
∴当CM的长最大时，DE的长最大．
当CM⊥AB时，CM的长最小，最小值为125，
当点M与点B重合时，CM的长最大，最大值为4，
∴65≤DE≤2.
故答案为65≤DE≤2.
12.【答案】 5
【解析】解：如图所示，过点A作AO⊥BC于O，以点O为原点，BC，OA所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，
∵△ABC和△DCE为等腰直角三角形，BC=4 2，CE=12BC，
∴OA=OB=OC=12BC=CE=2 2，
∴A(0,2 2)，
同理可得D(3 2, 2)，
∵点M，N分别是AD，BE的中点，
∴M(3 22,3 22)，N( 2,0)，
∴MN= (3 22− 2)2+(3 22)2= 5，
故答案为： 5．
过点A作AO⊥BC于O，以点O为原点，BC，OA所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，根据等腰直角三角形的性质求出A(0,2 2)，D(3 2, 2)，再由点M，N分别是AD，BE的中点，M(3 22,3 22)，N( 2,0)，据此利用两点距离计算公式求解即可．
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等等，解题的关键是学会构建平面直角坐标系解决问题．
13.【答案】①③
【解析】【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形EBFD一定是平行四边形，故可判断②；保持∠ABC的大小不变，改变BA的长度能使BF=FC成立，故可判断③；保持BA的长度不变，改变∠ABC的大小不一定能使BF=FC成立，故可判断④．
【详解】解：∵DE//BC,EF//AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，故①正确；
只有一组对边平行，不能证明四边形EBFD一定是平行四边形，故②错误；
改变BA的长度，BD与AC的交点为中点时，则AD=DC，
∵DE//BC,
∴AEBE=ADDC=1,
∴AE=BE,即E为AB的中点，
∴DE是▵ABC的中位线，
∴DE=12BC,
∵四边形EFCD是平行四边形，
∴DE=FC，
∵DE=12BC,，
∴DE=BF
∴BF=FC，故③正确；
保持BA的长度不变且AB=BC=3时，
∵BD平分∠ABC，
∴D为AC的中点，
同③，改变∠ABC的大小都能使BF=FC，
但当BA的长度不变且不等于3时，不可能使BF=FC成立，故④错误，
所以，正确的结论是①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
14.【答案】125
【解析】略
15.【答案】(1)证明：如图1中，∵△ABC与△AEF是等边三角形，
∴∠BAC=∠EAF=60°，AE=AF，AB=AC，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)；
(2)解：如图2中，∵AD为等边△ABC的高，
∴DC=12BC=2，∠DAC=12∠BAC=30°，
∴AD= AC2−DC2= 42−22=2 3，
∵AE=AF，∠EAG=∠FAG=30°，
∴AC⊥EF，EG=FG，
∴CE=CF，
∵AE= 3，
∴DE=2 3− 3= 3，
∴EC= ( 3)2+22= 7，
∴CF=CE= 7，
∵∠AEF=60°，∠DAC=30°，
∴∠AGE=180°−60°−30°=90°，
∴∠CGE=180°−90°=90°，
∵N为CE的中点，
∴NG=12CF=12 7；
(3)解：如图3中，取AC的中点H，连接BH，NH．
∵BH为等边△ABC的中线，
∴BH⊥AC，
由(2)同理可得BH=2 3，
∵N为CE的中点，
∴NH是△ACE的中位线，
∴NH=12AE=12 3，
在旋转过程中，BN≤BH+HN，
∴BN≤52 3而且当点H在线段BN上时BN可以取到最大值，
∴BN的最大值52 3．
【解析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
(1)根据SAS证明三角形全等即可；
(2)证明AC垂直平分线段EF，推出CE=CF，利用勾股定理求出CE，再利用三角形中位线定理求出GN；
(3)取AC的中点H，连接BH，NH，在旋转过程中，BN≤BH+HN，BN≤52 3而且当点H在线段BN上时BN可以取到最大值．
16.【答案】解：(1)∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG//BC，DG=12BC．
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF//BC，EF=12BC，
∴DG=EF，DG//EF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)如图，过点O作OH⊥BC于点H．
在Rt△OCH中，∵OC=8，∠OCB=30∘，g
∴OH=12OC=4，
∴CH= OC2−OH2=4 3．
在Rt△OBH中，∵OH=4，∠OBC=45∘，
∴BH=OH=4，
∴BC=BH+CH=4+4 3，
∴EF=12BC=2+2 3．
【解析】略
17.【答案】证明：如图，连结AC．
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AC(三角形的中位线等于第三边的一半)．
同理，HG=12AC．
∴EF=HG．
同理可得EH=FG．
所以四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
【解析】由E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明．
18.【答案】解：(1)∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG//BC，DG=12BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF//BC，EF=12BC，
∴DG=EF，DG//EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2)∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∵∠EOM+∠COM=90°，∠EOM+∠OCB=90°，
∴∠COM=∠OCB，
∵EF//BC，
∴∠OFE=∠OCB，
∴∠MOF=∠MFO，
∴OM=MF，
∵∠OEM+∠OFM=90°，∠EOM+∠MOF=90°，
∴∠EOM=∠MEO，
∴OM=EM，
∴EF=2OM=6．
由(1)有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6．
【解析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．
(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//BC且EF=12BC，DG//BC且DG=12BC，从而得到DG=EF，DG//EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．
(2)想办法证明OM=MF=ME即可解决问题．
19.【答案】证明：∵CE//AB，
∴∠E=∠BAF，∠FCE=∠FBA，
又∵CE=CD=AB，
∴△FCE≌△FBA(ASA)，
∴BF=FC，
∴F是BC的中点，
∵O是AC的中点，
∴OF是△CAB的中位线，
∴AB=2OF．
【解析】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，出现中点条件想到三角形中位线定理．先证明△ABF≌△ECF得BF=FC，再利用三角形中位线定理即可解决问题．
20.【答案】①
【解析】(1)证明：∵BD⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ODA=∠OBC=90°，
在△AOD和△COB中，
∠ODA=∠OBCOD=OB∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴OA=OC，
∵点E，F分别是AO，CO的中点，
∴OE=OF；
(2)解：选择①，四边形BEDF为矩形．
理由如下：
∵DE为Rt△AOD的斜边上的中线，
∴DE=OE，
∵∠AOD=60°，
∴△ODE为等边三角形，
∴OD=OE，
∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵OD=OB=OE=OF，
∴EF=BD，
∴四边形BEDF为矩形．
故答案为：①
若选择②，四边形BEDF为矩形．
理由如下：
∵AC=2BD，OA=OC，
∴OA=OC=BD，
∵点E，F分别是AO，CO的中点，OB=OD，
∴OD=OB=OE=OF，
∴四边形BEDF为矩形．
(1)先证明△AOD≌△COB得到OA=OC，然后利用点E，F分别是AO，CO的中点得到OE=OF；
(2)若选择①，四边形BEDF为矩形．理由为：根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE=OE，则可判断△ODE为等边三角形，所以OD=OB，OE=OF，从而可判断四边形BEDF为矩形．
若选择②，四边形BEDF为矩形．理由为：利用AC=2BD，OA=OC得到OA=OC=BD，然后利用点E，F分别是AO，CO的中点，OB=OD得到OD=OB=OE=OF，从而可判断四边形BEDF为矩形．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了矩形的判定与性质．
1.如图，在ΔABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为( )
A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°
2.如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD//BC，BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4.E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为( )
A. 20B. 16C. 12D. 8
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，若CE=2，则四边形ADFE的周长为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.阅读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：DE//BC，且DE=12BC．
证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，…
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图2，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．
乙：如图3，连接DC，AF.先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．
下列判断正确的是( )
A. 甲思路正确，乙思路错误B. 甲思路错误，乙思路正确
C. 甲、乙两人思路都正确D. 甲、乙两人思路都错误
6.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是
( )
A. ∠B=∠FB. DE=EFC. AC=CFD. AD=CF
7.如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设AC，BC的中点分别为M，N.若MN=3米，则AB=
( )
A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米
8.如图，△ABC中，D，E，F，G分别是AB，AC，AD，AE的中点，若BC=8，则DE+FG等于( )
A. 4.5B. 6C. 7D. 8
9.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( )
A. ∠B=∠FB. DE=EFC. AC=CFD. AD=CF
10.如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠C=60∘，AD⊥BC于点D，BD= 3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
A. 33B. 32C. 1D. 62
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是 ．
12.如图所示，△ABC和△DCE为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一条直线上，BC=4 2，且CE=12BC，连接AD，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则MN= ______．
13.在△ABC中，BC=3，BD平分∠ABC交AC于点D，DE//BC交AB于点E，EF//AC交BC于点F.有以下结论：
①四边形EFCD一定是平行四边形；
②连接DF所得四边形EBFD一定是平行四边形；
③保持∠ABC的大小不变，改变BA的长度可使BF=FC成立；
④保持BA的长度不变，改变∠ABC的大小可使BF=FC成立．
其中所有的正确结论是________(填序号)．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图1，△ABC与△AEF都是等边三角形，边长分别为4和 3，连接FC，AD为△ABC高，连接CE，N为CE的中点．
(1)求证：△ACF≌△ABE；
(2)将△AEF绕点A旋转，当点E在AD上时，如图2，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
(3)连接BN，在△AEF绕点A旋转过程中，求BN的最大值．
16.(本小题8分)
如图，O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形．
(2)如果∠OBC=45∘，∠OCB=30∘，OC=8，求EF的长．
17.(本小题8分)
已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
18.(本小题8分)
下图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接得到四边形DEFG
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若OB⊥OC，∠EOM和∠OCB互余，OM=3，求DG的长度．
19.(本小题8分)
如图，E为□ABCD的DC边延长线上的一点，且CE=DC，连接AE分别交BC，BD于点F，点G，连接AC交BD于点O，连接OF．
求证：AB=2OF．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，BD⊥BC，垂足为点B，BD⊥AD，垂足为点D，OB=OD，点E，F分别是AO，CO的中点，连接BE，BF，DE，DF．
(1)求证：OE=OF；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论．
①∠AOD=60°，②AC=2BD．
选择的条件：______(填写序号)．
(注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．根据三角形的中位线定理得到DE//BC，EF//AB，由平行线的性质得出∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，即可得出答案．
【解答】
证明：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE//BC，EF//AB，
∴∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，
∴∠CFE=∠ADE=65°，
故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据勾股定理得到AB=5，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABD=∠ADB，求得AB=AD=5，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到BF=FG，AG=BC=3，求得DG=5−3=2，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵BC=3，AC=4，
∴由勾股定理得AB=5，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=5，
连接BF并延长交AD于G，
∵AD//BC，
∴∠GAC=∠BCA，
∵F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AFG和△CFB中，
∠GAF=∠BCFAF=CF∠AFG=∠CFB,
∴△AFG≌△CFB(ASA)，
∴BF=FG，AG=BC=3，
∴DG=5−3=2，
∵E是BD的中点，
∴EF=12DG=1．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型，首先证明OE=12BC，再由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴OE=12BC，
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故选B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
根据三角形的中点的概念求出AB、AC，根据三角形中位线定理求出DF、EF，计算得到答案．
【解答】
解：∵点E是AC的中点，AB=AC，CE=2，
∴AB=AC=4，
∵D是边AB的中点，
∴AD=2，
∵D、F分别是边AB、BC的中点，
∴DF=12AC=2，
同理，EF=2，
∴四边形ADFE的周长=AD+DF+FE+EA=8，
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：甲：∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，DE=FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴AD=CF，∠A=∠ECF，
∴AB//CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE//BC，BC=DF，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC，故甲的思路正确；
乙：∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD//CF，AD=CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE//BC，BC=DF，
∵DE=12DF，
∴DE=12BC，故乙的思路正确；
故选：C．
甲：证△ADE≌△CFE(SAS)，得AD=CF，∠A=∠ECF，则AB//CF，再证四边形DBCF是平行四边形，得DE//BC，BC=DF，即可解决问题；
乙：证四边形ADCF是平行四边形，得AD//CF，AD=CF，再证四边形DBCF是平行四边形，得DE//BC，BC=DF，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形中位线定理的证明等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DE=12AC，
A、当∠B=∠F时，不能判定AD//CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵DE=EF，
∴DE=12DF，
∴AC=DF，
∵AC//DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据AC=CF，不能判定AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AD=CF，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF//AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：B．
利用三角形中位线定理得到DE//AC，DE=12AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，
∴AB=2MN=6(m)，
故选：B．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC⋅
同理，FG=12DE=14BC．
又BC=8，
∴DE+FG=34BC=6．
故选：B．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
利用三角形中位线定理得到DE//AC，DE=12AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DE=12AC，
A、当∠B=∠F时，不能判定AD//CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵DE=EF，
∴DE=12DF，
∴AC=DF，
∵AC//DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据AC=CF，不能判定AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AD=CF，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF//AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】略
11.【答案】65≤DE≤2
【解析】如图，作CH⊥AB于H，连接CM，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2=5，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，
即12×3×4=12×5CH，
解得CH=125，
∵点D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE是△MNC的中位线，
∴DE=12CM，
∴当CM的长最大时，DE的长最大．
当CM⊥AB时，CM的长最小，最小值为125，
当点M与点B重合时，CM的长最大，最大值为4，
∴65≤DE≤2.
故答案为65≤DE≤2.
12.【答案】 5
【解析】解：如图所示，过点A作AO⊥BC于O，以点O为原点，BC，OA所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，
∵△ABC和△DCE为等腰直角三角形，BC=4 2，CE=12BC，
∴OA=OB=OC=12BC=CE=2 2，
∴A(0,2 2)，
同理可得D(3 2, 2)，
∵点M，N分别是AD，BE的中点，
∴M(3 22,3 22)，N( 2,0)，
∴MN= (3 22− 2)2+(3 22)2= 5，
故答案为： 5．
过点A作AO⊥BC于O，以点O为原点，BC，OA所在的直线分别为x轴，y轴建立坐标系，根据等腰直角三角形的性质求出A(0,2 2)，D(3 2, 2)，再由点M，N分别是AD，BE的中点，M(3 22,3 22)，N( 2,0)，据此利用两点距离计算公式求解即可．
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等等，解题的关键是学会构建平面直角坐标系解决问题．
13.【答案】①③
【解析】【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形EBFD一定是平行四边形，故可判断②；保持∠ABC的大小不变，改变BA的长度能使BF=FC成立，故可判断③；保持BA的长度不变，改变∠ABC的大小不一定能使BF=FC成立，故可判断④．
【详解】解：∵DE//BC,EF//AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，故①正确；
只有一组对边平行，不能证明四边形EBFD一定是平行四边形，故②错误；
改变BA的长度，BD与AC的交点为中点时，则AD=DC，
∵DE//BC,
∴AEBE=ADDC=1,
∴AE=BE,即E为AB的中点，
∴DE是▵ABC的中位线，
∴DE=12BC,
∵四边形EFCD是平行四边形，
∴DE=FC，
∵DE=12BC,，
∴DE=BF
∴BF=FC，故③正确；
保持BA的长度不变且AB=BC=3时，
∵BD平分∠ABC，
∴D为AC的中点，
同③，改变∠ABC的大小都能使BF=FC，
但当BA的长度不变且不等于3时，不可能使BF=FC成立，故④错误，
所以，正确的结论是①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
14.【答案】125
【解析】略
15.【答案】(1)证明：如图1中，∵△ABC与△AEF是等边三角形，
∴∠BAC=∠EAF=60°，AE=AF，AB=AC，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)；
(2)解：如图2中，∵AD为等边△ABC的高，
∴DC=12BC=2，∠DAC=12∠BAC=30°，
∴AD= AC2−DC2= 42−22=2 3，
∵AE=AF，∠EAG=∠FAG=30°，
∴AC⊥EF，EG=FG，
∴CE=CF，
∵AE= 3，
∴DE=2 3− 3= 3，
∴EC= ( 3)2+22= 7，
∴CF=CE= 7，
∵∠AEF=60°，∠DAC=30°，
∴∠AGE=180°−60°−30°=90°，
∴∠CGE=180°−90°=90°，
∵N为CE的中点，
∴NG=12CF=12 7；
(3)解：如图3中，取AC的中点H，连接BH，NH．
∵BH为等边△ABC的中线，
∴BH⊥AC，
由(2)同理可得BH=2 3，
∵N为CE的中点，
∴NH是△ACE的中位线，
∴NH=12AE=12 3，
在旋转过程中，BN≤BH+HN，
∴BN≤52 3而且当点H在线段BN上时BN可以取到最大值，
∴BN的最大值52 3．
【解析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
(1)根据SAS证明三角形全等即可；
(2)证明AC垂直平分线段EF，推出CE=CF，利用勾股定理求出CE，再利用三角形中位线定理求出GN；
(3)取AC的中点H，连接BH，NH，在旋转过程中，BN≤BH+HN，BN≤52 3而且当点H在线段BN上时BN可以取到最大值．
16.【答案】解：(1)∵D，G分别是AB，AC的中点，
∴DG//BC，DG=12BC．
∵E，F分别是OB，OC的中点，
∴EF//BC，EF=12BC，
∴DG=EF，DG//EF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)如图，过点O作OH⊥BC于点H．
在Rt△OCH中，∵OC=8，∠OCB=30∘，g
∴OH=12OC=4，
∴CH= OC2−OH2=4 3．
在Rt△OBH中，∵OH=4，∠OBC=45∘，
∴BH=OH=4，
∴BC=BH+CH=4+4 3，
∴EF=12BC=2+2 3．
【解析】略
17.【答案】证明：如图，连结AC．
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AC(三角形的中位线等于第三边的一半)．
同理，HG=12AC．
∴EF=HG．
同理可得EH=FG．
所以四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
【解析】由E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明．
18.【答案】解：(1)∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG//BC，DG=12BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF//BC，EF=12BC，
∴DG=EF，DG//EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2)∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∵∠EOM+∠COM=90°，∠EOM+∠OCB=90°，
∴∠COM=∠OCB，
∵EF//BC，
∴∠OFE=∠OCB，
∴∠MOF=∠MFO，
∴OM=MF，
∵∠OEM+∠OFM=90°，∠EOM+∠MOF=90°，
∴∠EOM=∠MEO，
∴OM=EM，
∴EF=2OM=6．
由(1)有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6．
【解析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．
(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//BC且EF=12BC，DG//BC且DG=12BC，从而得到DG=EF，DG//EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．
(2)想办法证明OM=MF=ME即可解决问题．
19.【答案】证明：∵CE//AB，
∴∠E=∠BAF，∠FCE=∠FBA，
又∵CE=CD=AB，
∴△FCE≌△FBA(ASA)，
∴BF=FC，
∴F是BC的中点，
∵O是AC的中点，
∴OF是△CAB的中位线，
∴AB=2OF．
【解析】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，出现中点条件想到三角形中位线定理．先证明△ABF≌△ECF得BF=FC，再利用三角形中位线定理即可解决问题．
20.【答案】①
【解析】(1)证明：∵BD⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ODA=∠OBC=90°，
在△AOD和△COB中，
∠ODA=∠OBCOD=OB∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴OA=OC，
∵点E，F分别是AO，CO的中点，
∴OE=OF；
(2)解：选择①，四边形BEDF为矩形．
理由如下：
∵DE为Rt△AOD的斜边上的中线，
∴DE=OE，
∵∠AOD=60°，
∴△ODE为等边三角形，
∴OD=OE，
∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵OD=OB=OE=OF，
∴EF=BD，
∴四边形BEDF为矩形．
故答案为：①
若选择②，四边形BEDF为矩形．
理由如下：
∵AC=2BD，OA=OC，
∴OA=OC=BD，
∵点E，F分别是AO，CO的中点，OB=OD，
∴OD=OB=OE=OF，
∴四边形BEDF为矩形．
(1)先证明△AOD≌△COB得到OA=OC，然后利用点E，F分别是AO，CO的中点得到OE=OF；
(2)若选择①，四边形BEDF为矩形．理由为：根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE=OE，则可判断△ODE为等边三角形，所以OD=OB，OE=OF，从而可判断四边形BEDF为矩形．
若选择②，四边形BEDF为矩形．理由为：利用AC=2BD，OA=OC得到OA=OC=BD，然后利用点E，F分别是AO，CO的中点，OB=OD得到OD=OB=OE=OF，从而可判断四边形BEDF为矩形．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了矩形的判定与性质．
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