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初中数学16.3 二次根式的加减优秀课后练习题
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这是一份初中数学16.3 二次根式的加减优秀课后练习题，共17页。
\l "_Tc19130" 二、二次根式的应用，15题，难度四星 PAGEREF _Tc19130 \h 4
\l "_Tc8983" 三、材料阅读题，规律题，7题，难度五星 PAGEREF _Tc8983 \h 9
\l "_Tc31961" 四、二次根式的混合运算，15题，难度五星 PAGEREF _Tc31961 \h 12
一、二次根式作比较，13题，易错题，难度四星
1．（2024·广东深圳·八年级统考期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
2．（2024·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校联考期末）比较大小： ．
3．（2023·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
4．（2023·河北邢台·八年级金华中学校联考阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；
（2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ．
5．（2023·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考期中）比较大小： ．
6．（2023下·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．
7．（2023下·江苏南京·八年级校联考期末）已知：三角形的三边长分别为．求证：
(1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．
(2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．
8．（2024·四川达州·八年级统考期末）阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
9．（2024·全国·八年级名校名卷）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，，，，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较与的大小．
10．（2024·湖南长沙·八年级统考期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)比较和的大小；
(2)求的最大值和最小值．
11．（2024·全国·八年级名校名卷）阅读下列化简过程：
，
，
，
…
从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：
(1)；
(2)设，，，比较的大小关系．
12．（2023下·湖南湘西·八年级校联考期中）已知：分别是的整数部分和小数部分，
(1)求：的值；
(2)比较与的大小 ．
13．（2023·江苏·八年级名校名卷）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小．
∵ 又∵ 则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)的整数部分是________，的小数部分是_______；
(2)比较与的大小．
(3)已知，试用“比差法”比较与的大小．
二、二次根式的应用，15题，难度四星
14．（2024·福建福州·八年级福建师大附中校考期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·湖南娄底·八年级统考期末）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Hern，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·河北邯郸·八年级统考期末）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．4D．6
17．（2023下·八年级名校名卷）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值 ．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为 ．
18．（2023·全国·八年级名校名卷）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则 ．
19．（2023下·浙江·八年级名校名卷）读取表格中的信息，解决下列问题
已知，求 ．
20．（2024·江苏南通·八年级统考期末）已知一个底面积为的长方体纸盒，长、宽、高的比为．
(1)这个长方体纸盒的体积是多少？
(2)若再做一个长方体纸盒，高和体积不变，底面为正方形，则这个纸盒的底面边长是多少？
21．（2024·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．
22．（2024·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为.
古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
.
(1)在中，，，，利用上面公式求的面积；
(2)求证：.
23．（2024·全国·八年级名校名卷）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，______；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
24．（2024·全国·八年级名校名卷）现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．
(1)截出的正方形木板A的边长为________ ；
(2)求图1中阴影部分的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
25．（2024·全国·八年级名校名卷）在一块矩形的地面上铺设地砖，该矩形地面的长为、宽为．
(1)求该矩形地面的周长；
(2)现计划在该矩形地面上铺满地砖，请计算需要的地砖总面积（提示：结果保留整数，）．
26．（2023下·北京西城·八年级校考期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数，，
称为，这两个数的算术平均数，
称为，这两个数的几何平均数，
称为，这两个数的平方平均数
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若，，则；________；_______；
(2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形：
②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）；
③若．则的最小值为________．
27．（2023下·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
(1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积；
(3)若，，求此时三角形面积的最大值．
28．（2023下·八年级民办名卷）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
三、材料阅读题，规律题，7题，难度五星
29．（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（ ）个
①若是的小数部分，则的值为；
②若（其中为有理数），则；
③，则
④
A．4B．3C．2D．1
30．（2023下·山东威海·八年级统考期中）观察下列等式：
第1个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
按上述规律，计算 ．
31．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
(1)比较大小：______（用“”“”或“”填空）；
(2)计算：；
(3)设实数x，y满足，求的值．
32．（2023下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）阅读材料：
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
(1)填空：______．
(2)化简：（请写出计算过程）
(3)
33．（2023下·全国·八年级期中）阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
34．（2023下·江苏·八年级名校名卷）阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；
(2)计算的值；
(3)请求出的运算结果．
35．（2023下·江苏·八年级名校名卷）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为____，的有理化因式为____；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：
①；
②；（要求；写出变形过程）
(3)计算：的结果____．
四、二次根式的混合运算，15题，难度五星
36．（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
37．（2023下·重庆江津·八年级统考期末）在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（ ）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A．0B．1C．2D．3
38．（2024·全国·八年级竞赛） ．
39．（2023·湖南长沙·八年级校联考期末）设，则的值为 ．
40．（2023·湖南常德·八年级统考期末）观察下列分母有理
，……
从计算结果中找出规律
．
41．（2023·全国·八年级名校名卷）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：．
(2)已知m是正整数，，，，求m．
(3)已知，则的值为?
42．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算
(1)；
(2)（）．
43．（2023·山东青岛·八年级青岛三十九中校考期中）观察下列等式，然后解答问题：
，
，
，
，
．
(1)计算：
①__________；
②；
(2)计算：
①；
②．
44．（2024·湖南岳阳·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数，且，求m．
(3)已知，求的值．
45．（2024·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）若三个非零实数、、满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数、构成“青一三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“青一三数组”．
(1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号）
①1、2、3；②1、、；③、、．
(2)若、、构成“青一三数组”，求实数的值；
(3)若非零实数、、构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立．求实数的取值范围．
46．（2024·全国·八年级竞赛）数学老师在讲完重要不等式：后，随手出了这样一道题目：解方程，你能求的值吗？
47．（2023下·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
48．（2023下·山西吕梁·八年级统考期末）阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．
在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，．
(1)模仿材料中的计算方法，化简：______．
(2)观察上面的计算过程，直接写出式子______．
(3)利用根式裂项求解：．
49．（2023下·北京大兴·八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当时，
特例1：若，则；
特例2：若，则；
特例3：若，则．
②观察、归纳，得出猜想：当时，．
③证明猜想：
当时，
∵，
∴，
∴．
当且仅当时，．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当时，的最小值为
(2)当时，的最小值为 ；
(3)当时，求的最大值．
50．（2024下·八年级名校名卷）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：= ，= ；
(2)化简：；
(3)计算：．
…
…
…
…
\l "_Tc19130" 二、二次根式的应用，15题，难度四星 PAGEREF _Tc19130 \h 4
\l "_Tc8983" 三、材料阅读题，规律题，7题，难度五星 PAGEREF _Tc8983 \h 9
\l "_Tc31961" 四、二次根式的混合运算，15题，难度五星 PAGEREF _Tc31961 \h 12
一、二次根式作比较，13题，易错题，难度四星
1．（2024·广东深圳·八年级统考期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
2．（2024·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校联考期末）比较大小： ．
3．（2023·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
4．（2023·河北邢台·八年级金华中学校联考阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；
（2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ．
5．（2023·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考期中）比较大小： ．
6．（2023下·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．
7．（2023下·江苏南京·八年级校联考期末）已知：三角形的三边长分别为．求证：
(1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．
(2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．
8．（2024·四川达州·八年级统考期末）阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
9．（2024·全国·八年级名校名卷）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，，，，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较与的大小．
10．（2024·湖南长沙·八年级统考期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)比较和的大小；
(2)求的最大值和最小值．
11．（2024·全国·八年级名校名卷）阅读下列化简过程：
，
，
，
…
从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：
(1)；
(2)设，，，比较的大小关系．
12．（2023下·湖南湘西·八年级校联考期中）已知：分别是的整数部分和小数部分，
(1)求：的值；
(2)比较与的大小 ．
13．（2023·江苏·八年级名校名卷）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小．
∵ 又∵ 则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)的整数部分是________，的小数部分是_______；
(2)比较与的大小．
(3)已知，试用“比差法”比较与的大小．
二、二次根式的应用，15题，难度四星
14．（2024·福建福州·八年级福建师大附中校考期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·湖南娄底·八年级统考期末）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Hern，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·河北邯郸·八年级统考期末）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．4D．6
17．（2023下·八年级名校名卷）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值 ．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为 ．
18．（2023·全国·八年级名校名卷）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则 ．
19．（2023下·浙江·八年级名校名卷）读取表格中的信息，解决下列问题
已知，求 ．
20．（2024·江苏南通·八年级统考期末）已知一个底面积为的长方体纸盒，长、宽、高的比为．
(1)这个长方体纸盒的体积是多少？
(2)若再做一个长方体纸盒，高和体积不变，底面为正方形，则这个纸盒的底面边长是多少？
21．（2024·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．
22．（2024·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为.
古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
.
(1)在中，，，，利用上面公式求的面积；
(2)求证：.
23．（2024·全国·八年级名校名卷）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，______；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
24．（2024·全国·八年级名校名卷）现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．
(1)截出的正方形木板A的边长为________ ；
(2)求图1中阴影部分的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
25．（2024·全国·八年级名校名卷）在一块矩形的地面上铺设地砖，该矩形地面的长为、宽为．
(1)求该矩形地面的周长；
(2)现计划在该矩形地面上铺满地砖，请计算需要的地砖总面积（提示：结果保留整数，）．
26．（2023下·北京西城·八年级校考期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数，，
称为，这两个数的算术平均数，
称为，这两个数的几何平均数，
称为，这两个数的平方平均数
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若，，则；________；_______；
(2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形：
②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）；
③若．则的最小值为________．
27．（2023下·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
(1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积；
(3)若，，求此时三角形面积的最大值．
28．（2023下·八年级民办名卷）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
三、材料阅读题，规律题，7题，难度五星
29．（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（ ）个
①若是的小数部分，则的值为；
②若（其中为有理数），则；
③，则
④
A．4B．3C．2D．1
30．（2023下·山东威海·八年级统考期中）观察下列等式：
第1个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
按上述规律，计算 ．
31．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
(1)比较大小：______（用“”“”或“”填空）；
(2)计算：；
(3)设实数x，y满足，求的值．
32．（2023下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）阅读材料：
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
(1)填空：______．
(2)化简：（请写出计算过程）
(3)
33．（2023下·全国·八年级期中）阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
34．（2023下·江苏·八年级名校名卷）阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；
(2)计算的值；
(3)请求出的运算结果．
35．（2023下·江苏·八年级名校名卷）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为____，的有理化因式为____；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：
①；
②；（要求；写出变形过程）
(3)计算：的结果____．
四、二次根式的混合运算，15题，难度五星
36．（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
37．（2023下·重庆江津·八年级统考期末）在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（ ）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A．0B．1C．2D．3
38．（2024·全国·八年级竞赛） ．
39．（2023·湖南长沙·八年级校联考期末）设，则的值为 ．
40．（2023·湖南常德·八年级统考期末）观察下列分母有理
，……
从计算结果中找出规律
．
41．（2023·全国·八年级名校名卷）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：．
(2)已知m是正整数，，，，求m．
(3)已知，则的值为?
42．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算
(1)；
(2)（）．
43．（2023·山东青岛·八年级青岛三十九中校考期中）观察下列等式，然后解答问题：
，
，
，
，
．
(1)计算：
①__________；
②；
(2)计算：
①；
②．
44．（2024·湖南岳阳·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数，且，求m．
(3)已知，求的值．
45．（2024·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）若三个非零实数、、满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数、构成“青一三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“青一三数组”．
(1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号）
①1、2、3；②1、、；③、、．
(2)若、、构成“青一三数组”，求实数的值；
(3)若非零实数、、构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立．求实数的取值范围．
46．（2024·全国·八年级竞赛）数学老师在讲完重要不等式：后，随手出了这样一道题目：解方程，你能求的值吗？
47．（2023下·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
48．（2023下·山西吕梁·八年级统考期末）阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．
在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，．
(1)模仿材料中的计算方法，化简：______．
(2)观察上面的计算过程，直接写出式子______．
(3)利用根式裂项求解：．
49．（2023下·北京大兴·八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当时，
特例1：若，则；
特例2：若，则；
特例3：若，则．
②观察、归纳，得出猜想：当时，．
③证明猜想：
当时，
∵，
∴，
∴．
当且仅当时，．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当时，的最小值为
(2)当时，的最小值为 ；
(3)当时，求的最大值．
50．（2024下·八年级名校名卷）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：= ，= ；
(2)化简：；
(3)计算：．
…
…
…
…
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