第5章 相交线与平行线专题：平行线几何模型(M模型) 人教版七年级下册基础知识讲与练

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专题5.22 平行线几何模型（M模型）（知识讲解）几何模型1：M型模型（也称“猪蹄模型”） 图 一几何模型2：鸡翅模型 图三几何模型3：折鸡翅模型 图四几何模型4：多个M型模型【典型例题】类型一、平行线几何模型➽➼猪蹄模型➻➸求解✬✬证明 1．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．求证：小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E作∵∵，∴∴∴∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若，，求；(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算；（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．解：（1）作，，如图，且 ∴∴，，∴，∵，∴；（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分，∴，，∵∴∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．举一反三：【变式】阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．(1)求证：；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题．①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　．②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　．【答案】(1)见解析； (2)①；②结论：【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论求解即可；②利用基本结论，，求解即可．（1）证明：如图，过作，，，， ，平分，平分，，，，在中，，，；（2）解：①如图2中，由题意，，平分，平分，，，故答案为：；②结论：．理由：如图3中，由题意，，，平分，平分，，，，故答案为：．【点拨】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．类型二、平行线几何模型➽➼鸡翅模型➻➸求解✬✬证明 2．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．(1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：；(2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析．【分析】过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论；过作，依据，可得，进而得到，，再根据，即可得出．（1）证明：如图，过点作， ，，，．又，；（2）解：．理由如下：如图，过作， ，，，，，．【点拨】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．举一反三：【变式】【原题】已知直线ABCD，点P为平行线AB，CD之间的一点，如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP．(1)则∠P=______，∠E=______．(2)【探究】如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∠ABE1与的角平分线交于点，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点，…以此类推，求∠E的度数，并猜想∠E的度数．(3)【变式】如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试直接写出∠P与∠E的数量关系．【答案】(1)110°，55°；(2)∠E的度数为，∠E的度数为(3)∠DEB=90°-∠P【分析】（1）过E作EFAB，而ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解；（2）根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解；（3）过E作EGAB，而ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解．解（1）如图1，过E作EFAB，而ABCD，∴ABCDEF，∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠ABE=∠ABP=25°，∠CDE=∠CDP=30°，∴∠BED=25°+30°=55°，同理：∠BPD=110°．故答案为：110°，55°；（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点，∴∠ABE=∠ABP=α，∠CDE=∠CDP=，∵ABCD，∴∠CDF=∠AFE=，∴∠E=∠AFE-∠ABE=，∵∠ABE与∠CDE的角平分线交于点E，∴∠ABE=∠ABE=，∠CDE=∠CDE=，∵ABCD，∴∠CDG=∠AGE=，∴∠E=∠AGE-∠ABE=，同理可得，∠E=，以此类推，∠E的度数为；（3）∠DEB=90°-∠P．理由如下：如图3，过E作EGAB，而ABCD，∴ABCDEG，∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，∴∠FDE=∠PDF=(180°-∠CDP)，∠ABQ=∠ABP，∴∠DEB=∠ABP+(180°-∠CDP)=90°-(∠CDP-∠ABP)，∵ABCD，∴∠CDP=∠AHP，∴∠DEB=90°-(∠CDP-∠ABP)=90°-(∠AHP-∠ABP)=90°-∠P． 【点拨】本题考查了角平分线的性质和平分线的性质，解决本题的关键是掌握以上的性质并熟练的运用．类型三、平行线几何模型➽➼多个M型模型➻➸求解✬✬证明 3．探究：(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2； (2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【分析】（1）过点E作EMAB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（2）过点F作NFAB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；（3）过点G作GMAB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可．（1）解：如图①，过点E作EMAB， ∵ABCD，∴ABCDEM，∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，即∠1＋∠3＝∠2；（2）如图②，过点F作NFAB， ∵ABCD，∴ABCDFN，∴∠4＝∠NFH，由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；（3）如图③，过点G作GMAB， ∵ABCD，∴ABCDGM，∴∠5＝∠MGN，由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【点拨】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．举一反三：【变式】【发现】如图，已知CD，直线AB，CD被EF所截．若EM，FN分别平分∠AEF和∠DFE，判断EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论；【变式】如图，已知，∠M＝∠N，求证∠1＝∠2；【拓展】如图，CD，∠1＝∠2，求证∠M＝∠N．【答案】【发现】EMFN；证明见解析；【变式】证明见解析；【拓展】证明见解析．【分析】根据平行线的性质和判定证明即可．解：EMFN；证明：∵ABCD，∴∠AEF＝∠EFD．∵EM，FN分别平分∠AEF和∠DFE，∴∠MEF＝∠AEF，∠NFE＝∠DFE，∴∠MEF＝∠NFE，∴EMFN；【变式】证明：∵∠AEF+∠EFC＝180°，∴ABCD，∴∠AEF＝∠DFE．∵∠M＝∠N，∴MEFN，∴∠MEF＝∠EFN，∴∠AEF-∠MEF＝∠EFD-∠EFN，即∠1＝∠2；【拓展】证明：如图，延长EM交CD于点P．∵ABCD，∴∠1＝∠EPD．∵∠1＝∠2，∴∠EPD＝∠2，∴MEFN，∴∠EMN＝∠N．【点拨】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．类型四、平行线几何模型➽➼综合模型➻➸求解✬✬证明 4．根据下列叙述填依据．(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：过点F作所以∠B+∠BFE=180°（                                          ）因为、（已知）所以 （                                           ）所以∠D+∠DFE=180°（                                             ）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）备用图：(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；(2)见解析；(3)【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．（1）解：过点F作，如图，∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），∵、（已知）∴（平行于同一直线的两直线平行），∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°；故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； （2）解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；理由如下： 过点D作DC//AB，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC =∠F，即∠BDF+∠B=∠F；选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F过点D作，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC =∠F，即∠BDF+∠B=∠F∠BDF+∠B=∠F ；（3）解：如图（4）所示，过点C作，过D作，∴，，∵，，∴，∴，∵ ，，∴．【点拨】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．举一反三：【变式】已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：(2)请选择其中一个图形进行说明理由．【答案】(1)见解析； (2)见解析【分析】（1）利用平行线的性质即可求解．（2）过点C作CGAB，利用平行线的判定和性质即可求解．（1）解：∠B、∠C、∠F之间的数量关系如下表：（2）解：图（1） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，∴∠B+∠F=∠BCF；图（2） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；图（3） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C． 理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（4） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°． 理由：过点C作CGAB，∴∠BCG+∠B=180°，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF+∠F=180°，∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，∴∠B+∠F+∠BCF=360°；图（5） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C． 理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（6） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；【点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系图（1） 图（2）图（3）图（4）图（5）图（6）图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系图（1） ∠B+∠F=∠C图（2）∠F-∠B=∠C图（3）∠B-∠F=∠C图（4）∠B+∠F+∠C=360°图（5）∠B-∠F=∠C图（6）∠F-∠B=∠C