冲刺2024年高考数学：等式与不等式小专题特训

这是一份冲刺2024年高考数学：等式与不等式小专题特训，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，，则“”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
3．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
4．已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知实数，则的（ ）
A．最小值为1B．最大值为1C．最小值为D．最大值为
6．在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若， 则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知正数x，y满足，则（ ）
A．的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为2D．的最小值为
三、填空题
12．若实数满足约束条件，则的最大值为 ．
13．已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ．
14．若的反函数为，且，则的最小值为 .
参考答案：
1．B
【分析】根据基本不等式可知当时，；反之不成立，即可得出结论.
【详解】若“”，可知当时，不成立，即可知充分性不成立；
若，可得，即可得，即必要性成立，
因此可得“”是“”的必要不充分条件；
故选：B
2．B
【分析】求得集合后，与集合进行交运算即可.
【详解】令，
解得，
所以，
又，
故，
故选：B.
3．B
【分析】先将化为，再将该式与相乘，变为积定的形式，利用基本不等式可以求出最小值.
【详解】先将化为，
因为且，所以，
当且仅当即时取等号，
又解得，，因此等号能取到，
所以的最小值为.
故选：B
4．A
【分析】利用不等式的性质判断A，举反例排除BCD，从而得解.
【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；
对于B，取，，则，故B错误；
对于C，取，则，故C错误；
对于D，取，，则， 故D错误.
故选：A.
5．D
【分析】由基本不等式得出结果.
【详解】因为，
当且仅当即时取等号；
故最大值为，
故选：D.
6．B
【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】作交于F，连接 ，则∽，故，
由于点为边上的中点，故，
，故，又∽，故，
故，
则
,
由于，，故，
因为三点共线，故，
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为，
故选：B
7．C
【分析】将原不等式转化为恒成立，先判断得出恒成立，结合不等式的基本性质可得恒成立，进而求解即可.
【详解】，即，
因为，所以，即恒成立，
令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，所以，
若时，不等式恒成立，则恒成立，
若时，，恒成立，则也成立，
所以当时，恒成立，所以得，即，
设
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以，即正实数的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：运用同构的基本思想将原不等式转化为恒成立，再运用不等式的性质，先得出恒成立，再运用导数讨论恒成立进而求出结果.
8．D
【分析】设正项等比数列的公比为，推导出，，可得出，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】设正项等比数列的公比为，则，
所以，
，
则，则，可得，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
9．ABD
【分析】利用基本不等式及对数的运算性质、对数函数的性质一一判定选项即可.
【详解】由题意可知，所以，
当且仅当时取得等号，故A正确；
，当且仅当时取得等号，故B正确；
，
当且仅当时取得等号，故C错误；
，
当且仅当时取得等号，故D正确；
故选：ABD
10．AD
【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可AD，根据特殊值法可判断BC.
【详解】对A：，故A一定不成立；
对B：令，则，故B可能成立；
对C：令，则，故C可能成立；
对D：，故D一定不成立；
故选：AD.
11．AD
【分析】A选项，由基本不等式求出；B选项，求出；C选项，在A选项基础上得到；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】A选项，正数x，y满足，由基本不等式得，
解得，当且仅当时，等号成立，A正确；
B选项，，故，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，B错误；
C选项，由A选项知，，故，
当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为2，C错误；
D选项，由于正数x，y满足，
故，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：AD
12．
【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置来求得的最大值.
【详解】由解得，设，
画出可行域如下图所示，由图可知，
当平移基准直线到点处时，取得最大值为.
故答案为：
13．7
【分析】先得到，根据得到答案.
【详解】因为，，所以，
设，
故，所以，
，
由于，
故，
即.
故答案为：7
14．
【分析】先利用指、对数式的互化得到函数的反函数，再利用对数的运算性质化简，最后由基本不等式求得最值即可．
【详解】因为和（，）互为反函数，
若，则，
又因为，所以，所以，且，，
又，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.