2024年高考数学解答题常考易错专项特训：函数综合运用

这是一份2024年高考数学解答题常考易错专项特训：函数综合运用，共15页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．已知函数f(x)=lnx+ax−1．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1>x2．证明：1x1+2x2>1a．
2．已知函数f(x)=ax2−a(xsinx+csx)+csx+a(x>0).
（1）当a=1时，
（Ⅰ）求(π，f(π))处的切线方程；
（Ⅱ）判断f(x)的单调性，并给出证明；
（2）若f(x)>1恒成立，求a的取值范围.
3．已知函数f(x)=ex−ax．
（1）当a>0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)≤1；
（2）若函数ℎ(x)=f(x)−12x2。有两个极值点x1，x2(x12．
4．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，满足f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=4.
（1）求f(0)的值；
（2）判断函数f(x)的奇偶性并证明；
（3）若f(2x+3)−f(x)0).
（1）当a=2时， 求y=f(x)−g(x)的极值；
（2）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在2 条公切线， 求a的取值范围.
6．已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a，b≥0)在x∈[1，2]时有最大值1和最小值0，设f(x)=g(x)x.
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f(lg2x)−2klg2x≤0在x∈[18，14]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f(|2x−1|)+2m|2x−1|−3m−1=0有三个不同的实数解，求实数m的取值范围.
7． 已知函数f(x)=x+ax，且f(2)=0．
（1）判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式f(t2+3)+f(−2t2+t−1)>0．
8． 已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象经过点(0，−2)，(2，1)．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式a8−x2≥(14)x的解集记为A，求x∈A时，函数f(x)的值域．
9． 我们知道，函数y=f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数．
（1）求函数f(x)=−x3+3x2图象的对称中心；
（2）若函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)对称，证明：f(x)+f(2a−x)=2b；
（3）已知函数f(x)=x−e22+lnecxe2−x，其中c>0．若正数a，b满足f(e22023)+f(2e22023)+f(3e22023)+⋯+f(2022e22023)≤1011(a+b)，且不等λ(a+2c)b≤2ac+a2+2b2恒成立，求实数λ的取值范围．
10．已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm−1（m∈R）在(0，+∞)上是增函数，函数y=g(x)（x∈R）为偶函数，且当x≥0时，g(x)=f(x)+3x.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求当x0时，若关于x的方程f(x)+g(x)=0存在两个正实数根x1，x2(x1e2且x1x22023的最小整数n的值．
13．对于函数 f(x) ，若在其定义域内存在实数 x0 ，使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1) 成立，则称 f(x) 有“漂移点” x0 ．
（1）判断函数 f(x)=x2+2x 在 [0，1] 上是否有“漂移点”，并说明理由；
（2）若函数 f(x)=lg(ax2+1) 在 (0，+∞) 上有“漂移点”，求正实数 a 的取值范围．
14． 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过π4，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，AD=0.8m，AB=2.4m，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角α=π4的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH，EH=1.2m．设∠PHG=β，当冰箱被卡住时(即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用β表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m）
答案解析部分
1．【答案】（1）解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=1x−ax2=x−ax2，
当a≤0时，f′(x)=x−ax2在(0，+∞)上恒大于0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
当a>0时，由f′(x)=x−ax2=0，可得x=a，
当01a，即证1x1+2x2>x1−x2x1x2(lnx1−lnx2)，
即证2x1+x2>x1−x2lnx1−lnx2，即证2x1x2+1>x1x2−1lnx1x2，
令x1x2=t>1，则lnx1x2>0，即证lnt>t−12t+1，
令g(t)=lnt−t−12t+1(t>1)，则g′(t)=1t−3(2t+1)2=4t2+t+1t(2t+1)2>0，
所以g(t)在(1，+∞)上单调递增，所以g(t)>g(1)=0，
所以lnt>t−12t+1，故原命题成立．
2．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=x2−xsinx+1，可得f′(x)=2x−sinx−xcsx.
（Ⅰ）f(π)=π2+1，f′(π)=3π，
所以在(π，f(π))处的切线方程为y−(π2+1)=3π(x−π)，即y=3πx−2π2+1.
（Ⅱ）f′(x)=2x−sinx−xcsx=x−sinx+x(1−csx)，
设m(x)=x−sinx(x>0)，则m′(x)=1−csx≥0，m(x)单调递增，
所以m(x)>m(0)=0，即x>sinx，
所以当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
（2）解：设g(x)=f(x)−1=ax2−a(xsinx+csx)+csx+a−1，
由题意g(x)>0恒成立.
①当a≤0时，g(π2)=aπ2(π2−1)+a−10不恒成立，不合题意；
②当00，g(x)单调递增.
可得：g(x)>g(0)=0，即f(x)>1，所以a≥1.
综上，a的取值范围为[1，+∞).
3．【答案】（1）解：f′(x)=ex−a(a>0)
令f′(x)=0，解得x=lna
当x>lna时，f′(x)>0
当x0)
g′(x)=−lnx
令g′(x)=0，解得x=1，
∴当x∈(0，1)时，g′(x)>0，
当x∈(1，+∞)时，g′(x)0时，g(a)≤1.
（2）证明：ℎ(x)=ex−ax−12x2
ℎ′(x)=ex−a−x
令φ(x)=ex−a−x
φ′(x)=ex−1
令φ′(x)=0，解得x=0
当x>0时，φ′(x)>0，
当x2
4．【答案】（1）依题意，x，y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，
所以f(0)=0.
（2）函数f(x)是奇函数.
函数f(x)的定义域为R，∀x∈R，令y=−x，f(x)+f(−x)=f(x−x)=f(0)=0，
即f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数.
（3）由f(1)=4，得8=f(1)+f(1)=f(2)，又f(2x+3)−f(x)=f(2x+3)+f(−x)=f(2x+3−x)=f(x+3)，
因此不等式f(2x+3)−f(x)0，ℎ(x)在(lna，+∞)上单调递增；
当x0(0lg220230≈14.3，
故使得H⋅G>2023的最小整数n的值为15.
13．【答案】（1）解：函数 f(x)=x2+2x 在 [0，1] 上有“漂移点”，理由如下
设 g(x)=f(x+1)−f(x)−f(1)=(x+1)2+2x+1−x2−2x−1−2=2x+2x−2 ，
因为 g(0)=−1 ， g(1)=2 ，所以 g(0)g(1)0 ，所以 (2−a)x02−2ax0+2−2a=0 ， x0>0 ．
当 a=2 时， x0=−122 时，开口向下，对称轴 x=a2−a