2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一下学期3月阶段性练习数学试题

这是一份2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一下学期3月阶段性练习数学试题，文件包含江苏省南京市金陵中学高一下学期3月阶段性练习数学试题原卷版docx、江苏省南京市金陵中学高一下学期3月阶段性练习数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式组即得解.
【详解】解：由题得.
所以函数的定义域为.
故选：C
2. 若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A. (－∞，1]B. (－∞，1)
C. (3，＋∞)D. [3，＋∞)
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】成立的充分条件是，则，
，所以.
故选：D
3. 函数的最小正周期和最小值分别为（ ）
A. 和B. 和0C. 和D. 和0
【答案】D
【解析】
【分析】先求出定义域，再由商数关系及倍角公式化简，再求最小正周期和最小值即可.
【详解】由题意知，定义域为，，
则最小正周期为，最小值为，此时.
故选：D.
4. 中国折扇有着深厚的文化底蕴.用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为）分割出来的扇形，使扇形的面积与圆的面积的乘积等于剩余面积的平方.则扇形的圆心角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出、，根据已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值.
【详解】由题意可知，，则且，
即，整理可得，
由题意可知，，解得.
故选：C.
5. 已知函数，则它的部分图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇偶性及特殊值即可解决问题.
【详解】因为的定义域为，关于原点对称，
而，且，
所以函数为非奇非偶函数，故C，D错误，排除；
当时，，故B错误，
故选：A.
6. 把函数的图象向左平移单位后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标保持不变)，则所得函数图象的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出平移后的解析式，把选项逐个代入排除可得答案.
【详解】函数的图象向左平移单位后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标保持不变)得到，
A. ，正确；
B. ，错误；
C. ，错误；
D. ，错误，
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数图象的平移，三角函数的对称性，属于基础题.
7. 在中，已知点在线段上，点是的中点，，，，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三点共线可得，由，利用基本不等式即可求解.
【详解】由点是的中点，
则，
又因为点在线段上，则，
所以，
当且仅当，时取等号，
故选：C
【点睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
8. 已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数的大致图象，令，方程有5个不同的实数解，转化为根的分布问题，分情况讨论即可.
【详解】函数的大致图象如图所示，对于方程有5个不同的实数解，
令，则在，上各有一个实数解或的一个解为-1，另一个解在内或的一个解为-2，另一个解在内.
当在，上各有一个实数解时，设，则解得；
当一个解为-1时，，此时方程的另一个解为-3，不在内，不满足题意；
当的一个解为-2时，，此时方程的另一个解为，在内，满足题意.
综上可知，实数a的取值范围为.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分.
9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A. ，；B. ，；C. ，；D. ，
【答案】CD
【解析】
【分析】
求出、的值域后可得正确的选项.
【详解】因为，故A，B错误.
因为，故CD正确.
故选：CD.
【点睛】本题考查二倍角的正弦、辅助角公式，注意利用三角变换公式把三角函数式整合成正弦型函数（或余弦型函数）的形式，从而可利用复合函数的方法来研究它们的性质，本题属于基础题.
10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 不等式的解集为
C. D. 不等式的解集为或
【答案】ABD
【解析】
【分析】由关于x的不等式的解集为或，可得且方程的根为，再根据韦达定理可将用表示，再逐一判断即可.
【详解】因为关于x的不等式的解集为或，
所以且方程的根为，故A正确；
则，所以，
所以，故C错误；
则不等式即为不等式，解得，
所以不等式的解集为，故B正确；
不等式即为不等式，
即为，解得或，
所以不等式的解集为或，故D正确.
故选：ABD.
11. 若定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 在上是减函数
【答案】ABD
【解析】
【详解】由已知结合函数的单调性及奇偶性的定义，合理的进行赋值，分别检验各选项即可判断．
【分析】因为定义在上的函数满足：对任意的，，都有，
所以，即，A正确；
令，
则，
所以，即为奇函数，B正确，C错误；
设，则，
当时，，
所以
，
所以，即在上单调递减，D正确．
故选：ABD
12. 如图，直线，点A是之间的一个定点，点A到的距离分别为1和2.点是直线上一个动点，过点A作，交直线于点，则（ ）
A. B. 面积的最小值是
C. D. 存在最小值
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出，，，根据及，即可找到三个点的坐标关系，分别写出，，即可判断A；取中点为，连接，根据，可得三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得到的最值情况.
【详解】设中点为，
连接，
以为原点，方向分别为轴建立如图所示的直角坐标系，

则，，
设，，，，且，
所以，，
因为，所以，
即，故，即，
所以，，，
因为，
所以，
因为，
故，A错误；
因为，
所以，即，
所以三点共线，且为靠近的三等分点，
所以
，
当且仅当，即时取等，故B正确；
因为，
所以
，
当且仅当，即时取等，
故，C正确；
因为，
所以
，
因为且，所以，
记，
，
可知单调递增，没有最值，
即没有最值，故D错误
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 已知幂函数在上为单调减函数，则实数的值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据幂函数的定义以及性质，列出相应的等式和不等式，即可求得答案.
【详解】由题意为幂函数，在上为单调减函数，
故，则，
故答案为：2
14. 已知，则_________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用平方法，结合平方关系的同角三角函数关系式构造齐次式来求解.
【详解】因为，所以，
即，所以，
即，所以.
故答案为：.
15. 已知为单位向量，且，则在上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的概念由数量积公式计算即可.
【详解】由，平方可得，则，
所以在上的投影向量为.
故答案为：.
16. 如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围.
【详解】
，且.
即
设与的夹角为，则.
因为，所以.
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
17. 求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可；
（2）利用三角恒等变换及辅助角公式化简即可.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式
18. 设平面向量，函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若锐角满足，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简得到，再利用三角函数的性质求解；
（2）由，得到，进而得到，再由求解.
【小问1详解】
解：，
，
，
当时，，
则值域；
【小问2详解】
，则，
当为锐角时，，则，
则，
则.
19. 已知为上的偶函数，当时，.
（1）当时，求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求得答案；
（2）判断函数的单调性，将不等式转化为，结合函数的单调性奇偶性，即可求得答案.
【小问1详解】
为上的偶函数，当时，,
故当时，，故.
【小问2详解】
当时，为增函数，，
令，则，
当时，为减函数，
故，即，
为上的偶函数，故，
故，
即的取值范围为.
20. 某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角为锐角，假设墙的可利用长度（单位：米）足够长．
（1）在中，若边上的高等于，求；
（2）当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．
【答案】（1）
（2）平方米
【解析】
【分析】（1）过点作交于．设，则，，
在中，求得，由计算即可得解；
（2）设，则，，从而得出，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
过点作交于．
设米，，则米，米．
在中，．
故．
【小问2详解】
设，则米，米，
因为，所以，
所以，当时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为平方米．
21. 如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三点共线，以及三点共线结合共线定理得出的值；
（2）由得出，进而得出，结合得出的值．
【小问1详解】
因为，所以，
因为三点共线，所以①
又，所以②
由①②可得，
小问2详解】
设，
所以，解得
所以.
又，所以，
即
22. 已知函数在R上为奇函数，，．
（1）求实数的值；
（2）指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）；
（3）若对任意，，不等式都成立，求正数的取值范围．
【答案】（1）2 （2）减函数
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意有，可得，由此求得的值；
（2）结合（1）可得，进而可知函数的单调性；
（3）将原不等式问题转为对任意，，有的恒成立问题，再根据，，代入即可得到，进而可求出正数的取值范围．
【小问1详解】
由函数在R上为奇函数，则有，
即，
所以，又，得．
【小问2详解】
由（1）知，
又在R上是减函数，且，所以函数在R上是减函数．
【小问3详解】
由对任意，，不等式都成立，
即对任意，，不等式都成立，
又由（2）知函数在R上是减函数，
所以，
即，
又，则，所以，
又，则，所以，
所以，即，解得．
综上，正数取值范围．
【点睛】最后小问解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到t的范围．