2022-2023学年江苏省盐城市滨海县东元高级中学等三校高一下学期期中联考数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法法则和共轭复数的定义得到答案.
【详解】因为，
所以．
故选：B
2. 在中，记，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的运算，用表示出即可.
【详解】因为在中，若，所以点为中点，所以.
故选：D
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用诱导公式和二倍角的余弦公式求解.
【详解】由题得.
故选：B.
4. 已知互不重合的直线，，互不重合的平面，，，下列命题错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用面面平行具有传递性的性质，可判断A 选项；利用面面平行与垂直的性质，可判断B选项；利用面面平行的性质定理可判断C、D选项；
详解】对于选项，，则，故A正确；
对于B选项，，则，故B正确；
对于选项，，则或，故C错误；
对于D选项，，根据面面平行，可证得线面平行，即，故正确.
故选：C.
5. 已知，则的值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角和与差的正切公式即可得到答案.
【详解】
.
故选：B.
6. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b＝2c，，则a=（ ）
A. 13B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形的面积公式可求出，再由余弦定理即可求出答案.
【详解】因为，因为，所以，
，解得：，
，由余弦定理可得：.
解得：.
故选：C.
7. 在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）
A. 2B. 2C. 4D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面垂直得出PC⊥CM，利用勾股定理及正三角形的性质可得答案.
【详解】如图，连接CM，因为PC⊥平面ABC，平面ABC，所以PC⊥CM，
因为PC＝4，所以，
要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，
此时有，所以PM的最小值为.
故选：B.
8. 平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.
【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系.
因为，而,所以，
在直角中，因为，，所以，，
则，设，
所以，
所以，
因为二次函数开口向上，对称轴为，且，
所以当时，取最小值，当时，取最大值，
所以的取值范围是.
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量数量积、平行、垂直、模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，A选项正确.
，所以B选项错误
，
所以，所以C选项正确.
，所以D选项错误.
故选：AC
10. 如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. MN与CC1垂直
B. MN与AC垂直
C. MN与BD平行
D. MN与A1B1平行
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据线线垂直、线线平行等知识确定正确答案.
【详解】由于是的中点，所以三点共线，则是的中点，
由于是的中点，所以，C选项正确.
根据正方体的性质可知平面，
由于平面，所以，所以，A选项正确.
由于，所以，B选项正确.
由于，与相交，所以与不平行，D选项错误.
故选：ABC
11. 下列选项中，与的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据诱导公式可得，然后利用二倍角公式和两角和与差的三角函数，逐项判断即得.
【详解】因为，
A. ，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故正确；
D. ，故错误；
故选：BC.
12. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若，，符合条件的有两个，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A项，：表示角平分线的单位向量，由此判断三角形；B，C利用正弦定理判断即可；D利用三角形的边与高线的关系判断即可．
【详解】A项：表示角平分线的单位向量，由已知可得的角平分线与直线垂直，
则为等腰三角形，则，A正确；
B项：中，，又，，所以或，
即或，可得的形状为等腰三角形或直角三角形．故B错误；
C项，因为，由正弦定理，得，所以，C正确；
D项，符合条件的有两个，，且，则由正弦定理得，故，所以，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知是虚数单位，复数，．若复平面内表示的点位于第二象限，实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的几何意义求复数的对应点的坐标，由条件列不等式求的取值范围.
【详解】因为，
所以复数在复平面上的对应点的坐标为，
由已知可得，，
由可得，
由可得或，
所以，
所以实数的取值范围为，
故答案为：.
14. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为________．
【答案】
【解析】
【分析】由直观图与平面图形的关系还原即可.
【详解】由直观图可得如图所示的平面图，
在直角梯形中，，
则该平面图形的高为．
故答案为：.
15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为______m．

【答案】
【解析】
【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.
【详解】因为，，所以，，所以，
又因为，所以，，

在中，由正弦定理得，即，解得，
中，由余弦定理得，
所以，解得．
故答案为：.
16. 当时，称有序实数对为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题：①线段AB的中点的广义坐标为；②向量平行于向量的充要条件为；③向量垂直于向量的充要条件为；其中真命题是______．
【答案】①②
【解析】
【分析】对于①：设为中点，利用向量的中线公式直接求解；对于②：利用向量平行直接求解；对于③：利用向量垂直计算后判断.
【详解】由题意：,.
对于①：设为中点，所以.
所以线段的中点的广义坐标为.故①正确；
对于②：向量平行于向量 ，其中，故②正确；
对于③：向量垂直于向量.
而.
故③不一定成立.
故答案为：①②.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解广义坐标的定义，再结合中线定理和向量共线定理以及向量垂直的充要条件一一判断即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的夹角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将条件平方后，利用向量的数量积的运算求得向量的数量积，进而求得，从而得到的值；
（2）根据条件利用向量的数量积的运算求得，进而得解.
【小问1详解】
由两边平方得，又，
代入得，所以，
所以.
【小问2详解】
，∴，
又∵，∴.
18. 已知.
（1）求的值域；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据两角和差正弦余弦公式化简解析式，再应用三角函数值域求解即得；
（2）先用已知角表示未知角，结合同角三角函数关系求函数值，再应用两角和差公式求解即可.
【小问1详解】
，
所以的值域为
【小问2详解】
由（1）得，
因为，
所以，
所以.
所以
.
19. 在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，且上的中线长为，求斜三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角的大小；
（2）根据为为上的中线得，结合余弦定理求出，进而求出面积.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可得：，
即，
所以，
又，所以，
所以.
【小问2详解】
因为为上的中线，所以，
即，
所以，
即，
所以 ①，
由余弦定理可得：，
所以 ②
①-②得：，
所以.
20. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中点，作于点F．求证：
（1）平面EDB；
（2）平面EFD．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，连接AC交BD于点G，连接EG，求得向量和，结合和线面平行的判定定理，即可证得平面．
（2）由（1）求得，得到，根据，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面EFD．
【小问1详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，设，连接AC交BD于点G，连接EG，
可得，，，，
因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以，
又因为，所以，所以．
而平面，且平面，所以平面．
【小问2详解】
解：由（1）得，所以，，
可得，所以，即．
又由，且，所以平面EFD．
21. 某公园有一块三角形空地，如图，在中，，，为了增加公园的观赏性，公园管理人员拟在中间挖出一个池塘用来放养观赏鱼，、在边上，且．
（1）若，求的长；
（2）为节省投入资金，池塘的面积需要尽可能的小，记，试确定为何值时，池塘的面积最小．
【答案】（1）
（2）当时，的面积最小
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得的长，分析可知为等边三角形，即可得出的长；
（2）分析可知，利用正弦定理求出、，利用三角形的面积公式以及三角恒等变换化简的面积关于的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得当的面积取最小值时对应的值.
【小问1详解】
解：在中，，，则为等腰三角形，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，则等腰三角形，且，
所以，，
又因为，所以，为等边三角形，故.
【小问2详解】
解：因为，其中，
在中，，，，所以，，
由正弦定理可得，
在中，，，，，
由正弦定理可得，
所以，
，
因为，所以，，则，
所以，当时，即当时，的面积取最小值.
22. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把整个图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存点满足题意.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及两角和的余弦公式，利用降幂公式及伴随向量的定义即可求解；
（2）根据（1）及辅助角公式，利用三角函数的平移变换及伸缩变换，结合和向量垂直的条件、三角函数及二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
所以的伴随向量．
【小问2详解】
，
由函数的图象向右平移个单位长度，再把整个图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图象，得，
假设存在点，使得，则
．
即．
又因为，，
所以．
又因为，
所以当且仅当时，和和同时等于．
此时，故在函数的图象上存在点P，使得．