江苏省盐城市滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（Word版附答案）

2022年高二年级秋学期期中考试

数  学  试  题

  时间：150分钟  分值：150分

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．

2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．

1. 经过点P(1,-2)，倾斜角为的直线方程为(   ▲   )

A.                     B.  

C.  D.

2. 直线的倾斜角为，则 (   ▲   )

A．1 B． C．2 D．

3. 直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线的方程是(   ▲   )

A． B．

C． D．

4. 圆和的位置关系是 (   ▲   )

A．外离 B．相交 C．内切 D．外切

5. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是(   ▲   )

A．或 B．或 C． D．

6. 与圆及圆都外切的圆的圆心在(   ▲   )

A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上

C．一条直线上 D．一个圆上

7. 已知为椭圆与双曲线 的公共焦点，点是它们的一个公共点，且 分别为 的离心率，则 的最小值为(   ▲   )

A．             B．             C． 2            D． 3

8. 平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：，则下列结论正确的是(   ▲   )

A. 过点P与圆O相切的直线方程为

B. 过点P的直线与圆O相切于M，N，则直线MN的方程为

C. 过点P的直线与圆O相切于M，N，则|PM|=3

D. 过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若∠AOB=90°，则直线m的方程为或

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 设直线，，其中实数，满足，则(   ▲   )

A．与平行 B．与相交

C．与的交点在圆上 D．与的交点在圆外

10. 圆和圆的交点为，，则(   ▲   )

A．公共弦所在直线的方程为

B．线段中垂线的方程为

C．公共弦的长为

D．两圆圆心距

11. 若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是(   ▲   )

A． B． C． D．

12. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则(   ▲   )

A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为

C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．

13. 写出一个截距相等且不过第三象限的直线方程　　▲　　．

14.大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点，，若，则线段长的最大值是　　▲　　．

15. 已知椭圆的左、右焦点分别为,过点且斜率为的直线与C在轴上方的交点为A,若，则C的离心率是　　▲　　．

16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点连接，过点作交双曲线于点B，且，则　　▲　　．

四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）已知直线和直线．

(1)若时，求a的值；

(2)当平行，求两直线，的距离．

18．（本题满分12分）已知圆经过点，，且___________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.

①在过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.  注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

(1)求圆的方程；

(2)求过点的圆的切线方程.

19．（本题满分12分）经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求：

（1）线段AB的长；

（2）设点为右焦点，求的周长.

20．（本题满分12分）已知直线与圆.

（1）求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；

（2）设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．

21．（本题满分12分）已知双曲线，

(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；

(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

22．（本题满分12分）已知离心率为的椭圆C: =1(a>b>0)与直线x+2y-4=0有且只有一个公共点.

（1)求椭圆C的标准方程；

（2)设过点P(0,-2)的动直线l与椭圆C相交于A,B两点，当坐标原点O位于以AB为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.

2022年秋学期高二年级期中考试

数学参考答案

二、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．

1.D； 2. B；3.A；4.D；5.B；6.B；7.A；8.D

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．

9.BC；10.ABD；11.BC；12.BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．

13. 此题答案不唯一：如； 14. 5；  15.； 16.5

四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

解：（1）∵ ，且，

∴ ，

解得．…………………………………4分

（2）∵，，且，

∴且，解得，…………………………………6分

，即

∴直线间的距离为．…………………………………10分

18．（本题满分12分）

（1）选①，由可得，所以，

设圆的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为，即

选②，直线恒过，

而圆E恒被直线平分，

所以恒过圆心，因为直线过定点，

所以圆心为，可设圆的标准方程为，

由圆E经过点，得，

则圆E的方程为

选③，设圆E的方程为，

由题意可得，解得，

则圆E的方程为…………………………………6分

（2）因为，所以点P在圆E外，

若直线斜率存在，设切线的斜率为，

则切线方程为，即

由圆E的方程为可得圆心，半径为2，

所以圆心到切线的距离，解得，

所以切线方程为；…………………………………10分

若直线斜率不存在，直线方程为，圆心到直线的距离为2，满足题意；

综上所述，过点的圆E的切线方程为或

…………………………………12分

19．（本题满分12分）

解：（1）由题意得直线AB的方程为,

代入双曲线方程可得,

设，则

即AB的长为.…………………………………6分

(2)由双曲线的定义得

=

即的周长为

                   =.…………………………………12分

20．（本题满分12分）

解：（1）由直线得，

联立，解得，

直线l恒过定点.…………………………………4分

（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，

直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，

联立，得，

设，，则，，

是定值，定值为…………………………………12分

21．（本题满分12分）

解：（1）设 ，则 ，

两式相减得 ，

所以 ，

又因为为弦的中点,故 ，所以，

所以直线的方程为，即，…………………………………3分

由方程组得，其 ，

说明所求直线存在，

故直线的方程为.…………………………………4分

 (2)假设存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，

设该直线与双曲线交于C,D两点，

设 ，则 ，

两式相减得 ，

所以 ，

又因为为弦的中点,故 ，所以，

所以直线的方程为，即，…………………………………9分

由方程组 ,得 ，

根据 ，说明所求直线不存在,

故假设不成立，即不存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点. …………………………………12分

22．（本题满分12分）

解：（1）由椭圆的离心率为，得…………………1分

由得：,由得

因为椭圆与直线x+2y-4=0有且只有一个公共点，

故,则所以…………………………………4分

（2）因为坐标原点O位于以AB为直径的圆外，所以过点P(0,-2)的动直线l斜率存在且不为0，

设 ，设直线l的方程为,

得…………………………………5分

即或…………………………………7分

，…………………………………8分

=…………………………………10分

因为坐标原点O位于以AB为直径的圆外，得

+=>0,即…………………………11分

则直线l斜率的取值范围是…………………………12分