2022-2023学年江苏省盐城市滨海县八滩中学等三校高二下学期期中联考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省盐城市滨海县八滩中学等三校高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．随机变量的分布列如表所示，且，则（    ）

A． B． C． D．0

【答案】B

【分析】根据分布列的性质及所给条件得到方程组，解得即可.

【详解】依题意，又，解得，.

故选：B

2．在的展开式中，的系数是（    ）

A． B．8 C． D．4

【答案】A

【分析】直接利用二项式定理计算即可.

【详解】的展开式通项为，

取，则，系数为.

故选：A

3．小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，则不同的安排方式共有（    ）

A．36种 B．24种 C．18种 D．12种

【答案】A

【分析】应用分步计数乘法原理，再结合排列组合数即可求出不同的分配方案的种数.

【详解】由题意可得，一天完成两项工作，其余两天每天完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种．

故选：A．

4．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在男主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据组合数的计算以及条件概率的计算求得正确答案.

【详解】在男主任医师被选派的条件下，

两名主任医师都被选派的概率为.

故选：C

5．如果X～B(15，)，则使P(X＝k)最大的k值（    ）

A．3 B．4

C．4或5 D．3或4

【答案】D

【分析】利用做商法比较大小，，得．即可得出结论．

【详解】解：，得．

所以当时，，

当时，，

其中时，，

从而或4时，取得最大值，

故选：D

6．如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案.

【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为，

，

，

，

故选：A.

7．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有(    )种

A．540 B．360 C．300 D．420

【答案】D

【分析】分②和④涂同种颜色和不同种颜色是讨论即可.

【详解】分两种情况讨论即可：

(i)②和④涂同种颜色时，

从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；

(ii)②和④涂不同种颜色时，

从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；

∴总共有180＋240＝420种涂色方法．

故选：D﹒

8．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，则此数列的前34项和为（    ）

A．959 B．964 C．1003 D．1004

【答案】A

【分析】先算出2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，9，36，84，126，126，84，36，9这36项的和，再减去36和9．

【详解】将这个数列分组：

第一组1个数；

第二组2个数；

，

第七组7个数，这7个数的和为

第八组8个数，

前八组共36 项，前36项和为，

所以前34 项和为，

故选：A．

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．某市地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有节车厢，两人乘坐车厢的方法共有种

B．某小组有名男生，名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有种

C．在一次运动会上有四项比赛，它们的冠军在甲、乙、丙三人中产生，每项比赛冠军只有一人，那么不同的夺冠情况共有种

D．某小组有名男生，名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有种

【答案】AD

【分析】利用分步乘法计数原理可判断A选项；利用组合计数原理可判断B选项；利用分步乘法计数原理可判断C选项；利用分类加法计数原理可判断D选项.

【详解】对于A选项，某市地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，

一列地铁有节车厢，每人乘坐的方法种数为，

因此，不同的乘坐方法种数为种，A对；

对于B选项，某小组有名男生，名女生，要从中选取两名同学，不同的选法种数为种，B错；

对于C选项，在一次运动会上有四项比赛，它们的冠军在甲、乙、丙三人中产生，

则每项冠军的得主有种，因此，不同的结果共种，C错；

对于D选项，某小组有名男生，名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法种数为种，D对.

故选：AD.

10．关于及其展开式，下列说法正确的是（    ）

A．该二项展开式中所有项系数和为0 B．该二项展开式中第七项为

C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以10的余数是1

【答案】AD

【分析】由二项式定理对选项逐一判断

【详解】的展开式通项为

对于A，令，得所有项系数和为0，A正确，

对于B，第七项为，B错误，

对于C，当为偶数时，该项为有理项，C错误，

对于D，时，原式为，由二项式定理知展开式中只有最后一项无法被10整除，故原式除以10的余数是1，D正确，

故选：AD

11．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】在各自新的样本空间中求出，判断A，B；利用全概率公式计算，判断C，D作答.

【详解】在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，A不正确；

在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，B正确；

因，，，

则，C正确；

因，，

则，D正确.

故选：BCD

12．如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在棱上，要使平面，则的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用已知条件判断平面，然后说明，设，然后可得，又，即可求出答案.

【详解】由已知得又D是的中点，

所以，又侧棱平面ABC，

可得侧棱平面，又平面，

所以，

因为，所以平面，

又平面，所以，

故若平面，则必有.

设，则，

又，

所以，解得或.

故选：AC

三、填空题

13．在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感.假设这三个地区人口数的比为，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是        .

【答案】

【分析】根据全概率公式计算即可得出答案.

【详解】解：根据题意可得这个人患流感的概率：

.

故答案为：.

14．已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是        ．

【答案】且

【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出答案.

【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线，

因为，所以，解得，

当与共线时，，即，则，解得，

所以且.

故答案为：且.

15．疫情期间，为了抗击新冠早日取得胜利，六名老师报名了志愿者服务，社区街道把这六名老师分配到四个小区协助医务人员开展核酸检测工作，每个小区至少1人，则不同的分配方案有      种．（结果用数值表示）

【答案】1560

【分析】分组分配问题，先将6人分成4组，再进行排列

【详解】若6名老师按3，1，1，1分成4组，则有种分组方法，

若按2，2，1，1分成4组，则有种分组方法，

故共种分配方案

故答案为：1560

16．设，则        ．

【答案】/16807

【分析】运用赋值法，令，再相加即可.

【详解】令，得①，

令，得②，

由，得．

故答案为：

四、解答题

17．设，求下列各式的值；

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）赋值法，分别令和解出和即可得出结果；

（2）根据平方差公式将所求变形为，然后用赋值法分别令和即可求得结果．

【详解】（1）令得              

令，得                            

（2）令，得        

18．6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．(结果用数值表示)

(1)若老师站在正中间，同学甲要与老师相邻，则不同的排法共有多少种；

(2)同学甲、同学乙、老师三人互不相邻的排法有多少种？

(3)在同学甲与老师相邻的前提下，同学乙也与老师相邻的概率是多少？

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】(1)可先安排老师和同学甲，再排其他五位同学即可；

(2)采用插空法求解即可；

(3)采用捆绑法求出同学甲与老师相邻时排法数量，以及同学乙也与老师相邻的排法，利用条件概率计算方法即可计算﹒

【详解】（1）如图：，有7个位置，老师只能排在4号位置，同学甲可排在3或5号位置，其余5位同学可排剩下的5个位置，故共有1×2×＝240种排法．

（2）可以采用插空法，现将除同学甲、同学乙、老师3人的其余4人进行排列，再将同学甲、同学乙、老师三人插空到5个空隙即可，故共有中排法﹒

（3）同学甲与老师相邻时有＝1440种排法，

若同学乙也与老师相邻，则有种排法，

故在同学甲与老师相邻的前提下，同学乙也与老师相邻的概率是．

19．如图，在直三棱柱中，，是面积为的正方形，且与平面所成的角为．

(1)求三棱柱的体积；

(2)若为棱上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由线面垂直得到与平面所成的角为，从而求出的值，再用三棱柱的体积公式即可求出答案；

(2) 建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入夹角的余弦值公式即可求出答案.

【详解】（1）在直三棱柱中，，，，

平面，平面，

所以平面，

所以是与平面所成的角，即．

因为是面积为的正方形，

所以，则，，

所以三棱柱的体积为．

（2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，．

设平面的法向量为，则

，

解得，

取，则；

设平面的法向量为，则

，

解得，

取，则．

设平面与平面夹角的大小为，则

．

20．体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮机会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次．已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．

(1)求甲同学通过测试的概率；

(2)若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为X，求X的分布列与均值；

(3)为提高甲同学通过测试的概率，体育老师要求甲同学可以找一个“最佳搭档”，该搭档有2次投篮机会，规定甲同学与其搭档投中次数不少于3次，则甲同学通过测试．若甲同学所找的搭档每次投中的概率为且每次是否投中相互独立，问：当p满足什么条件时可以提高甲同学通过测试的概率？

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)

【分析】(1)甲同学投中2次或3次通过测试分别求出概率即可；

(2)分别求出甲、乙通过测试和没有通过测试的概率，分析出，20，40，进而可以列出分布列求出结果；

(3)分别算出甲投中1次，其搭档投中2次的概率，甲投中2次，其搭档至少投中1次的概率，甲投中3次的概率，进而求出甲同学通过测试的概率，从而求出结果.

【详解】（1）由条件知甲同学通过测试的概率为．

（2）由（1）可知甲同学没有通过测试的概率为，

根据题意乙同学通过测试的概率为，

所以乙同学没有通过测试的概率为，

则，20，40，

因，

，

，

于是X的分布列为：

所以．

（3）由题意知甲投中1次，其搭档投中2次的概率为；

甲投中2次，其搭档至少投中1次的概率为：

；

甲投中3次的概率为，

所以甲同学通过测试的概率为，

根据题意可知，则，

又，

所以当时，可以提高甲同学通过测试的概率.

21．已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096．

（1）求（）的展开式中的常数项的值；

（2）在的展开式中，求项的系数的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）先根据二项式展开式二项式系数的性质，求出的值，再写出展开式的通项，令的指数为0，即可求出常数项；

（2）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数的性质计算．

【详解】（1）因为二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096，

所以，可得，

即的展开式的通项是：

（），

令得：，

∴常数项是；

（2）由（1）知，

即，

展开式中项的系数分别为：

所以的展开式中项的系数为：

．

【点睛】方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和以及各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

22．已知四棱锥的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面．

(1)求证：平面PAD；

(2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）先由证得CD//平面PAB，再由线面平行的性质得，最后由面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，表示出平面MAD的法向量，求出，由线面角的向量求法结合二次函数求出最小值即可.

【详解】（1）由题意知，因为平面PAB，平面PAB，所以CD//平面PAB．因为平面平面，

平面，所以；因为，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，

CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又，所以平面PAD；

（2）

取AD中点O，连接PO，由△PAD为等腰直角三角形知．又因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面平面，平面PAD．所以PO⊥平面ABCD．以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，设，则，则有，，

设平面MAD的一个法向量，则有．即，令有，，

设PC与平面MAD所成角为，则，令，，

则，当即时，有最小值，

即PC与平面MAD所成角正弦值的最小值为.