2022-2023学年江苏省盐城市五校联盟高一下学期期中联考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省盐城市五校联盟高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，，则与夹角余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】应用向量夹角公式及数量积的运算律求即可.

【详解】由题设，，

又，且，同理，，

所以.

故选：A

2．若（为虚数单位），则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】由已知可得，

因此，.

故选：A.

3．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的基本关系式求得，再结合诱导公式，即可求解.

【详解】因为，且，所以，

又因为．

故选：D．

4．记的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，，则的面积（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理即可求解.

【详解】由题及得：，即，

又，，

，或（舍，

，．

故选：B．

5．如图，，是以为直径的圆上的两点，其中，，则（    ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】连接、，则有，，根据求解即可.

【详解】如图，连接，，，，则，

.

故选：B．

6．在中，若，分别是方程的两个根，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出方程的根，不妨设，，由同角三角函数基本关系及两角和的正弦公式求解即可.

【详解】由解得或，由三角形内角易知：，，

则，所以，

所以，

故选：B

7．设函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，得出不等式，即可求解.

【详解】由函数，其中，可得，

因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点，

则满足，解得，所以的取值范围为.

故选：C.

8．已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦定理即可结合图形关系得，即可求解.

【详解】由，要使三角形有两解，就是要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，

过作，则，

要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，则需要，

解得的取值范围是．

故选：B．

二、多选题

9．已知平面非零向量，，下列结论正确的是（    ）

A．若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数

B．若存在非零向量使得，则

C．已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是

D．已知向量，，则在上的投影向量是（0，1）

【答案】AD

【分析】对于A选项，由共线向量定理列方程直接求解；对于B选项，可判断出；对于C选项，取特殊值时， ，的夹角为，否定结论；对于D选项，直接求出在上的投影向量，即可判断.

【详解】对于A选项，由共线向量定理列方程，，所以，解得：或，则实数.故A选项正确.

对于B选项，因为，所以，即.故B错误；

对于C选项，当时，，，此时与，的夹角是钝角矛盾，C选项错误.

对于D选项，在上的投影向量是，D选项正确.

故选：AD.

10．已知函数的图象关于直线对称，那么（    ）

A．函数为奇函数

B．函数在上单调递增

C．若，则的最小值为

D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

【答案】AC

【分析】利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可．

【详解】因为的图象关于直线对称，

所以 ，

得，，因为 ，所以，

所以，

对于A：，所以为奇函数成立，故选项A正确；

对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；

对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；

对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到

，故选项D不正确；

故选：AC

11．若复数满足 ，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据，可设，进而根据复数的运算即可逐一验证.

【详解】因为，故可设,故A错误，，故B正确，，故C错误，，故D正确

故选：BD

12．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.

【详解】由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角，

设t时刻两点重合，则,即，

此时点，

即，

当时，，故A正确；

当时，，即，故B正确；

当时，，即，故D正确.

由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知向量，的夹角为，，，则      .

【答案】

【分析】根据计算可得结果.

【详解】.

故答案为：.

14．在复数范围内，记方程的两根为，则           ．

【答案】

【分析】先求出两复数根，再根据复数的减法运算及复数的模的公式即可得解.

【详解】在复数范围内，已知是方程的两根，

即，，

不妨取，，

．

故答案为：．

15．中，，在上，，，则           ．

【答案】

【分析】由结合三角形面积公式化简可得出的值.

【详解】如下图所示：

在中，，在上，，，则，

由，即，

即，等式两边同时除以可得，

所以，.

故答案为：.

16．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．若函数的伴随向量为，，，若实数，，使得对任意实数恒成立，则的值为           ．

【答案】

【分析】根据题意化简得到，结合对任意实数恒成立，得到，分类讨论，取得，且，即可求解.

【详解】由题意可得，

所以，

所以，

又因为上式对任意实数恒成立，所以，

若，由，可得，不满足；

由，可得或，

当时，，由与矛盾；

故，则，

由与，可得，

综上可得，原式．

故答案为：．

四、解答题

17．在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出．如：将向量绕坐标原点逆时针方向旋转得到向量，由，以为终边的角为，则点，进而求得点．借助复数､三角及向量的知识，可以研究平面上点及图象的旋转问题．请尝试解答下列问题：

(1)在直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针方向旋转至．求点的坐标；

(2)设向量，把向量按顺时针方向旋转角得到向量，求向量对应的复数．

【答案】(1)点的坐标为；

(2)．

【分析】（1）根据正余弦的和差角公式，即可求解，

（2）根据复数的三角表示，即可由乘法求解.

【详解】（1）设以为终边的角为，点的坐标为,，

所以，，，

将绕坐标原点逆时针方向旋转至，

则的坐标为，，

，

，

点的坐标为；

（2）设向量对应的复数为，

则，

．

18．已知函数.

（1）求函数的最小值和最小正周期；

（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若，求a，b的值.

【答案】（1）；；（2）a＝1，b＝2．

【分析】（1）将解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出的最小值，找出ω的值，代入周期公式，即可求出的最小正周期；

（2）由（1）确定的解析式及＝0，求出sin（2C）＝1，由C的范围，求出2x的范围，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出C的度数，由sinB＝2sinA，利用正弦定理得到b＝2a①，再利用余弦定理得到c2＝a2+b2﹣2abcosC，将c与cosC的值代入得到关于a与b的方程，记作②，联立①②即可求出a与b的值．

【详解】（1）sin2x﹣cos2x

sin2x

sin2xcos2x﹣1＝sin（2x）﹣1，

∵﹣1≤sin（2x）﹣≤1，

∴的最小值为﹣2，

又ω＝2，

则最小正周期是Tπ；

（2）由＝sin（2C）﹣1＝0，得到sin（2C）＝1，

∵0＜C＜π，∴2C，

∴2C，即C，

∵sinB＝2sinA，∴由正弦定理得b＝2a①，又c，

∴由余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab＝3②，

联立①②解得：a＝1，b＝2．

19．如图，在扇形中，，半径.在弧上取一点C，向半径、分别作垂线，与线段、分别相交于D、E，得到一个四边形.

（1）设，将四边形的面积S表示成x的函数；

（2）求四边形的面积S的最大值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用直角三角形面积公式得到，然后利用二倍角公式，辅助角法化简求解.

（2）由（1）知：，利用正弦函数的性质求解.

【详解】（1），

，

，

，

，要得到四边形则.

（2）由（1）知：，

因为

所以，

所以当，即时，四边形的面积S的最大值为.

【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20．在①3asinC＝4ccosA；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， ，．

(1)求sinA；

(2)如图，M为边AC上一点，MC＝MB，，求△ABC的面积．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出即可；

（2）根据两角互补其余弦值之和为，利用余弦定理建立等式求出的长，再利用面积公式求的面积即可.

【详解】（1）若选择条件①，在中，由正弦定理得.

即

又，

若选择条件②，，

，即.

又，，

则

.

（2）设，易知

在中，由余弦定理得 ，解得.

在中，，，

则

21．已知函数，其中．

(1)设，求的取值范围，并把表示为的函数；

(2)求函数的最大值（可以用表示）

【答案】(1).

(2)时，（2），时，．

【分析】（1）由，平方求得，进而求得范围，以及的表达式；

（2）因为，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.

【详解】（1）解：因为，所以，

由，

平方得，

因为，所以，且，

则.

（2）解：因为，可得对称轴为，

①若，即时，当时，取得最大值，

最大值为；

②若，即时，当时，取得最大值，

最大值为．

22．是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线､射线交于，两点．

(1)设，，，，求的值；

(2)如果是边长为2的等边三角形，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，利用向量的线性运算法则，得到，结合，，三点共线，即可求解.

（2）令，利用基本不等式得到，化简，结合二次函数性质，即可求解.

【详解】（1）因为，且是的一条中线，

所以，

因为，所以 ，

所以，

因为，，三点共线，所以，所以.

（2）因为，所以，

令，因为，即，

当且仅当时，等号成立，所以，

因为，

，

又因为是边长为2的等边三角形，

可得，

所以

所以

，

因为对称轴，所以在上为增函数，

可得，

所以的取值范围为．