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2023-2024学年陕西省渭南市蒲城县八年级（上）期末数学试卷-普通用卷
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这是一份2023-2024学年陕西省渭南市蒲城县八年级（上）期末数学试卷-普通用卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，是无理数的是( )
A. 16B. − 3C. 327D. 73
2.下列各组数分别作为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 2，2，1B. 2，3，2C. 2，2，2 2D. 3，3，3
3.将直线y=3x向上平移2个单位长度，所得直线的关系式为( )
A. y=3x+2B. y=3(x+2)C. y=3(x−2)D. y=3x−2
4.如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD=90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是( )
A. ∠BDC=90°B. ∠BDF=90°C. ∠BAC=90°D. ∠ACE=90°
5.下列命题是真命题的是( )
A. 同位角相等B. 内错角相等
C. 相等的角是对顶角D. 同旁内角互补，两直线平行
6.如图，在△ABC中，F，E分别是AB，AC上两点，连接FE并延长交BC延长线于点D，若∠A=45°，∠B=60°，∠D=25°，则∠AED=( )
A. 105°
B. 85°
C. 120°
D. 130°
7.若关于x，y的二元一次方程组x+y=4x−y=1的解也是关于x，y的二元一次方程4x+ky=13的解，则k的值是( )
A. −2B. −1C. 2D. 1
8.有一个装有水的容器，如图所示，注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，则容器注满水之前，将容器内的水面高度y(cm)与时间x(秒)记录于如表，则⋆的值是( )
A. 16B. 17C. 18D. 19
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知一组数据：3，4，3，x，5，6，若这组数据的众数是3和6，则x的值为______．
10.已知点P(−2,3)关于x轴的对称点P1的坐标是______．
11.在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y=(k+2)x−3经过一、三、四象限，则k的取值范围是______．
12.已知在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)与直线y=mx+n(m、n为常数，且m≠0)的交点坐标为(3,−1)，则关于x、y的二元一次方程组y=kx+by=mx+n的解为______．
13.长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是______cm．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：( 5−2)2− 36+|2 5−3|．
15.(本小题5分)
解方程组：x+2y=8①3x−y=−25②．
16.(本小题5分)
已知2a−7和a+4是某正数的两个不同的平方根，b−11的立方根是−2.求a+b的算术平方根．
17.(本小题5分)
某商场招聘员工一名，现有甲、乙两人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩(百分制)如下表所示
若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？
18.(本小题5分)
已知：点Q的坐标(2a,3a−1)．
(1)若点Q在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求点Q的坐标．
(2)若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
19.(本小题5分)
如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE=4米，高AE=3米，长AD=10米，棚的斜面用矩形玻璃ABCD遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．
20.(本小题5分)
幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个.已知大班比小班多3个小朋友，大班、小班的小朋友各有多少个？(用方程组的知识解答)
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,−1)，B(2,−5)，C(5,−4)．
(1)画出△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，点A1，B1，C1的对应点分别是A，B，C；
(2)在(1)的条件下，写出点A1，B1，C1的坐标．
22.(本小题7分)
如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE//BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF.若∠1=∠AED．
(1)求证：DF//AB．
(2)若∠1=50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
23.(本小题7分)
定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=24，AM=6，求BN的长．
24.(本小题8分)
紫阳富硒茶是陕西省著名特产茶叶，此茶叶硒元素含量高，具有特种保健功效.某公司采购员到紫阳茶叶市场购买该种茶叶，商家推出了两种购买方式：
设该公司此次购买茶叶x kg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元.
(1)分别求出y1，y2与x之间的关系式；
(2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量．
25.(本小题8分)
刚刚举行的九年级体育模拟中，甲、乙两位同学在进行投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，9，6，7；乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
(1)b= ______，c= ______；
(2)试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；
(3)如果你是体育老师，请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学的成绩更好？(请说明理由)
26.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+1与x轴交于点A，直线l2与x轴交于点B(1,0)，与l1相交于点C(2,m)．
(1)求直线l2的函数表达式；
(2)如图2，一动直线l//x轴分别与直线l1，l2交于P，Q两点，l与y轴交于点M．
①若PQ=3，求M的坐标．
②若S△AQC：S△ABC=3：4，求出此时点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A． 16=4，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.− 3是无理数，故本选项符合题意；
C.327=3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.73是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据无理数的定义逐项进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、12+22≠22，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、22+22≠32，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、22+22=(2 2)2，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、32+32≠32，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
3.【答案】A
【解析】解：直线y=3x向上平移2个单位长度，
∴y=3x+2，
故选：A．
根据一次函数图象向上平移的性质：左加右减、上加下减的特点，再结合题意求解析式即可．
本题考查一次函数图象的几何变换，熟练掌握一次函数平移的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、由∠BDC=90°，不能判定AB//EF，故该选项不符合题意；
B、由∠BDF=90°，不能判定AB//EF，故该选项不符合题意；
C、由∠BAC=90°，能判定AB//EF，故该选项符合题意；
D、由∠ACE=90°，不能判定AB//EF，故该选项不符合题意；
故选：C．
根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质及判定方法、对顶角的定义等知识，难度不大．
利用平行线的性质及判定方法、对顶角的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠A=45°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B=105°，
∵∠D=25°，∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠D+∠ACD=130°．
故选：D．
利用三角形的外角性质可求得∠ACD的度数，再次利用三角形的外角性质即可求∠AED．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
7.【答案】C
【解析】解：x+y=4①x−y=1②，
①+②得：x=2.5，
把x=2.5代入①得：y=1.5，
∴x=2.5y=1.5，
把x=2.5y=1.5代入4x+ky=13得：
10+1.5k=13，
1.5k=3，
k=2，
故选：C．
先解关于x，y的二元一次方程组，求出x，y，再把所求x，y代入4x+ky=13得关于k的方程，解方程即可．
本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使各个方程左右两边相等的未知数的值．
8.【答案】A
【解析】解：设y与x的关系式为y=kx+b，
将(5,11)，(10,12)分别代入，得
5k+b=1110k+b=12．
解得k=15b=10．
故该一次函数解析式为：y=15x+10．
当x=30时，y=15x+10=16．
即⋆的值是16．
故选：A．
设y与x的关系式为y=kx+b，然后将(5,11)，(10,12)分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得k、b的值，从而求得函数解析式；最后将x=30代入函数解析式求得相应的y的值即可．
本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式是解题的突破口．
9.【答案】6
【解析】解：∵数据：3，4，3，x，5，6的众数是3和6，
∴x=6，
故答案为：6．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
10.【答案】(−2,−3)
【解析】解：点P(−2,3)关于x轴的对称点P1的坐标是(−2,−3)．
故答案为：(−2,−3)．
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11.【答案】k>−2
【解析】解：∵一次函数y=(k+2)x−3经过一、三、四象限，
∴k+2>0，
∴k>−2，
即k的取值范围是k>−2，
故答案为：k>−2．
根据一次函数y=(k+2)x−3经过一、三、四象限，得出k+2>0，从而求出k的取值范围．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，当k>0，b>0时函数图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时函数图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时函数图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时函数图象经过第二、三、四象限．
12.【答案】x=3y=−1
【解析】解：∵直线y=kx+b与直线y=mx+n的交点坐标为(3,−1)，
∴关于x、y的二元一次方程组y=kx+by=mx+n的解为x=3y=−1，
故答案为：x=3y=−1．
根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．
本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
13.【答案】 145
【解析】解：如图所示，
路径一：AB= (4+8)2+52=13；
路径二：AB= (5+4)2+82= 145；
路径三：AB= (5+8)2+42= 185；
∵ 185>13> 145，
∴ 145cm为最短路径．
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视(或正视和侧视，或俯视和侧视)二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．
14.【答案】解：原式=5−4 5+4−6+2 5−3
=−2 5．
【解析】先根据完全平方公式和绝对值的意义计算，然后把 36化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
15.【答案】解：①+②×2得：7x=−42，
解得：x=−6，
把x=−6代入①得：y=7，
则方程组的解为x=−6y=7．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16.【答案】解：由题意得：2 a−7+ a+4=0，
解得：a=1，
∵b−11的立方根是−2，
∴b−11=−8，
∴b=3；
∵ a=1，b=3，
∴ a+ b=4，
∵4的算术平方根为2，
∴a+b的算术平方根为2．
【解析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2a−7+a+4=0，即可求出a的值；根据−8的立方根是−2得出b−11=−8，即可求出b的值，再代入求值即可．
本题考查了平方根、立方根和算术平方根，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键．
17.【答案】解：x甲−=70×20%+50×30%+80×50%=69，
x乙−=90×20%+75×30%+45×50%=63，
∵69>63，
∴应该录取甲．
【解析】根据加权平均数的计算公式分别列出算式，再进行计算即可．
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．
18.【答案】解：(1)∵点Q在第三象限，
∴2a<0，3a−1<0，
又∵据点Q到两坐标轴的距离之和为16，
∴|2a|+|3a−1|=16，
即−2a+1−3a=16，
解得a=−5，
∴2a=−10，3a−1=−16，
故点Q的坐标为(−10,−16)；
(2)∵点Q到两坐标轴的距离相等，
∴|2a|=|3a−1|，
∴2a=3a−1或2a=1−3a，
解得a=1或a=15，
当a=1时，2a=1，3a−1=2，
当a=15时，2a=25，3a−1=−25，
∴点Q(2,2)或(25,−25).
【解析】(1)根据第三象限的横坐标和纵坐标均为负数，并根据点Q到两坐标轴的距离之和为16列方程求出a的值即可得出点Q的坐标；
(2)根据点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数解答即可．
此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数．
19.【答案】解：在RT△AEC中，AB= 32+42=5，
矩形ABCD的面积=10×5=50(米 2)
答：阳光透过的最大面积是50平方米．
【解析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽，再根据矩形的面积公式计算．
此题运用了勾股定理，注意阳光透过的最大面积，即是矩形的面积，难度一般．
20.【答案】解：设大班的小朋友有x人，小班的小朋友有y人，
由题意得：x−y=35x+10=8y−2，
解得：x=12y=9，
答：大班小朋友有12个，小班的小朋友各有9个．
【解析】设大班的小朋友有x人，小班的小朋友有y人，由“如果大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个．已知大班比小班多3个小朋友”，列出二元一次方程组，解方程组求出x、y，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)由图可得，A1(−1,−1)，B1(−2,−5)，C1(−5,−4)．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)证明：∵DE//BC，
∴∠AED=∠B，
又∵∠1=∠AED，
∴∠B=∠1，
∴DF//AB；
(2)∵DE//BC，
∴∠EDF=∠1=50°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF=∠EDF=50°，
在△CDF中，
∵∠C+∠1+∠CDF=180°，
∴∠C=180°−∠1−∠CDF=180°−50°−50°=80°．
答：∠C的度数为80°．
【解析】(1)根据DE//BC，得出∠AED=∠B，又因为∠1=∠AED，等量代换得∠B=∠1，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
(2)根据DE//BC，得出∠EDF=∠1=50°，再根据DF平分∠CDE，得出∠CDF=∠EDF=50°，最后在△CDF中利用三角形内角和等于180°即可求解．
本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
23.【答案】解：(1)是．
理由：∵AM2+BN2=1.52+22=6.25，MN2=2.52=6.25，
∴AM2+NB2=MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
(2)设BN=x，则MN=24−AM−BN=18−x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，
即(18−x)2=x2+36，
解得x=8；
②当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2．
即x2=36+(18−x)2，
解得x=10，
综上所述，BN=8或10．
【解析】(1)根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
(2)设BN=x，则MN=12−AM−BN=7−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2=MN2+BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题．
本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)根据题意得：y1=500+1300x，y2=200+1500x，
∴y1关于x的函数解析式为y1=500+1300x，y2关于x的函数解析式为y2=200+1500x；
(2)根据题意得：500+1300x=200+1500x，
解得x=1.5，
答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg．
【解析】(1)根据方式一、方式二的总费用的组成列式即可；
(2)根据方式一、方式二的费用相等列出方程，解方程即可．
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两种方式的费用表达式是解题的关键．
25.【答案】9 9
【解析】解：(1)∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9，位置在最中间的是9，
∴这组数据的中位数为9．
∴b=9．
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多，
∴乙组数据的众数为：9．
∴c=9．
故答案为：9；9．
(2)乙的平均数a=4+9+8+9+105=8，
甲的方差d=15×[(9−8)2+(9−8)2+(9−8)2+(6−8)2+(7−8)2]=1.6．
(3)选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，但甲的方差d=1.6<乙的方差4.4
∴在平均数相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
(1)利用中位数和众数的概念很容易求出b.c的值；
(2)利用平均数的计算公式可得乙的平均数，再利用方差的计算公式计算甲的方差；
(3)通过比较平均数和方程，在平均数相同的情况下，选择方差较小的参加．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差的计算方法，并利用以上指标对数据进行判断．
26.【答案】解：(1)将点C(2,m)代入y=x+1，
∴m=3，
∴C(2,3)，
设直线l2的解析式为y=kx+b，
将点C(2,3)，B(1,0)代入y=kx+b，
∴k+b=02k+b=3，
解得k=3b=−3，
∴直线l2的解析式为y=3x−3；
(2)①设P点纵坐标为t，
∴P(t−1,t)，Q(t+33,t)，
∴PQ=|t+33−t+1|=3，
解得t=−32或t=152，
∴M(0,−32)或M(0,152)；
②当y=0时，x+1=0，
解得x=−1，
∴A(−1,0)，
∴AB=2，
∴S△ABC=3，
设A点到直线BC的高为h，
∴3=12×BC⋅h，
∵CB= 10，
∴h=3 105，
∵S△AQC：S△ABC=3：4，
∴S△AQC=94，
∴94=12×CQ×3 105，
解得CQ=3 104，
设Q(x,3x−3)，
∴ (2−x)2+(3x−3−3)2=3 104，
解得x=12或x=72，
∴Q(12,−32)或(72,152).
【解析】(1)将点C(2,m)代入y=x+1，确定C点坐标，再将点C(2,3)，B(1,0)代入y=kx+b，求直线l2的解析式为y=3x−3；
(2)①)①设P点纵坐标为t，则P(t−1,t)，Q(t+33,t)，根据题意可得方程PQ=|t+33−t+1|=3，求出t的值即可求M点坐标；
②设A点到直线BC的高为h，根据△ABC的面积可得3=12×BC⋅h，求出h=3 105，再由S△AQC=94=12×CQ×3 105，求出CQ=3 104，设Q(x,3x−3)，列出方程 (2−x)2+(3x−3−3)2=3 104，即可求Q点坐标．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等积法求三角形面积是解题的关键．x/秒
5
10
25
30
y/cm
11
12
15
⋆
应试者
计算机
语言
商品知识
甲
70
50
80
乙
90
75
45
会员卡费用(元/张)
茶叶价格(元/kg)
方式一：金卡会员
500
1300
方式二：银卡会员
200
1500
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
1.下列各数中，是无理数的是( )
A. 16B. − 3C. 327D. 73
2.下列各组数分别作为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 2，2，1B. 2，3，2C. 2，2，2 2D. 3，3，3
3.将直线y=3x向上平移2个单位长度，所得直线的关系式为( )
A. y=3x+2B. y=3(x+2)C. y=3(x−2)D. y=3x−2
4.如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD=90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是( )
A. ∠BDC=90°B. ∠BDF=90°C. ∠BAC=90°D. ∠ACE=90°
5.下列命题是真命题的是( )
A. 同位角相等B. 内错角相等
C. 相等的角是对顶角D. 同旁内角互补，两直线平行
6.如图，在△ABC中，F，E分别是AB，AC上两点，连接FE并延长交BC延长线于点D，若∠A=45°，∠B=60°，∠D=25°，则∠AED=( )
A. 105°
B. 85°
C. 120°
D. 130°
7.若关于x，y的二元一次方程组x+y=4x−y=1的解也是关于x，y的二元一次方程4x+ky=13的解，则k的值是( )
A. −2B. −1C. 2D. 1
8.有一个装有水的容器，如图所示，注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，则容器注满水之前，将容器内的水面高度y(cm)与时间x(秒)记录于如表，则⋆的值是( )
A. 16B. 17C. 18D. 19
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知一组数据：3，4，3，x，5，6，若这组数据的众数是3和6，则x的值为______．
10.已知点P(−2,3)关于x轴的对称点P1的坐标是______．
11.在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y=(k+2)x−3经过一、三、四象限，则k的取值范围是______．
12.已知在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)与直线y=mx+n(m、n为常数，且m≠0)的交点坐标为(3,−1)，则关于x、y的二元一次方程组y=kx+by=mx+n的解为______．
13.长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是______cm．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：( 5−2)2− 36+|2 5−3|．
15.(本小题5分)
解方程组：x+2y=8①3x−y=−25②．
16.(本小题5分)
已知2a−7和a+4是某正数的两个不同的平方根，b−11的立方根是−2.求a+b的算术平方根．
17.(本小题5分)
某商场招聘员工一名，现有甲、乙两人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩(百分制)如下表所示
若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？
18.(本小题5分)
已知：点Q的坐标(2a,3a−1)．
(1)若点Q在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求点Q的坐标．
(2)若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
19.(本小题5分)
如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE=4米，高AE=3米，长AD=10米，棚的斜面用矩形玻璃ABCD遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．
20.(本小题5分)
幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个.已知大班比小班多3个小朋友，大班、小班的小朋友各有多少个？(用方程组的知识解答)
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,−1)，B(2,−5)，C(5,−4)．
(1)画出△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，点A1，B1，C1的对应点分别是A，B，C；
(2)在(1)的条件下，写出点A1，B1，C1的坐标．
22.(本小题7分)
如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE//BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF.若∠1=∠AED．
(1)求证：DF//AB．
(2)若∠1=50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
23.(本小题7分)
定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=24，AM=6，求BN的长．
24.(本小题8分)
紫阳富硒茶是陕西省著名特产茶叶，此茶叶硒元素含量高，具有特种保健功效.某公司采购员到紫阳茶叶市场购买该种茶叶，商家推出了两种购买方式：
设该公司此次购买茶叶x kg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元.
(1)分别求出y1，y2与x之间的关系式；
(2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量．
25.(本小题8分)
刚刚举行的九年级体育模拟中，甲、乙两位同学在进行投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，9，6，7；乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
(1)b= ______，c= ______；
(2)试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；
(3)如果你是体育老师，请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学的成绩更好？(请说明理由)
26.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+1与x轴交于点A，直线l2与x轴交于点B(1,0)，与l1相交于点C(2,m)．
(1)求直线l2的函数表达式；
(2)如图2，一动直线l//x轴分别与直线l1，l2交于P，Q两点，l与y轴交于点M．
①若PQ=3，求M的坐标．
②若S△AQC：S△ABC=3：4，求出此时点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A． 16=4，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.− 3是无理数，故本选项符合题意；
C.327=3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.73是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据无理数的定义逐项进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、12+22≠22，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、22+22≠32，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、22+22=(2 2)2，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、32+32≠32，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
3.【答案】A
【解析】解：直线y=3x向上平移2个单位长度，
∴y=3x+2，
故选：A．
根据一次函数图象向上平移的性质：左加右减、上加下减的特点，再结合题意求解析式即可．
本题考查一次函数图象的几何变换，熟练掌握一次函数平移的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、由∠BDC=90°，不能判定AB//EF，故该选项不符合题意；
B、由∠BDF=90°，不能判定AB//EF，故该选项不符合题意；
C、由∠BAC=90°，能判定AB//EF，故该选项符合题意；
D、由∠ACE=90°，不能判定AB//EF，故该选项不符合题意；
故选：C．
根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质及判定方法、对顶角的定义等知识，难度不大．
利用平行线的性质及判定方法、对顶角的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠A=45°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B=105°，
∵∠D=25°，∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠D+∠ACD=130°．
故选：D．
利用三角形的外角性质可求得∠ACD的度数，再次利用三角形的外角性质即可求∠AED．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
7.【答案】C
【解析】解：x+y=4①x−y=1②，
①+②得：x=2.5，
把x=2.5代入①得：y=1.5，
∴x=2.5y=1.5，
把x=2.5y=1.5代入4x+ky=13得：
10+1.5k=13，
1.5k=3，
k=2，
故选：C．
先解关于x，y的二元一次方程组，求出x，y，再把所求x，y代入4x+ky=13得关于k的方程，解方程即可．
本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使各个方程左右两边相等的未知数的值．
8.【答案】A
【解析】解：设y与x的关系式为y=kx+b，
将(5,11)，(10,12)分别代入，得
5k+b=1110k+b=12．
解得k=15b=10．
故该一次函数解析式为：y=15x+10．
当x=30时，y=15x+10=16．
即⋆的值是16．
故选：A．
设y与x的关系式为y=kx+b，然后将(5,11)，(10,12)分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得k、b的值，从而求得函数解析式；最后将x=30代入函数解析式求得相应的y的值即可．
本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式是解题的突破口．
9.【答案】6
【解析】解：∵数据：3，4，3，x，5，6的众数是3和6，
∴x=6，
故答案为：6．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
10.【答案】(−2,−3)
【解析】解：点P(−2,3)关于x轴的对称点P1的坐标是(−2,−3)．
故答案为：(−2,−3)．
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11.【答案】k>−2
【解析】解：∵一次函数y=(k+2)x−3经过一、三、四象限，
∴k+2>0，
∴k>−2，
即k的取值范围是k>−2，
故答案为：k>−2．
根据一次函数y=(k+2)x−3经过一、三、四象限，得出k+2>0，从而求出k的取值范围．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，当k>0，b>0时函数图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时函数图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时函数图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时函数图象经过第二、三、四象限．
12.【答案】x=3y=−1
【解析】解：∵直线y=kx+b与直线y=mx+n的交点坐标为(3,−1)，
∴关于x、y的二元一次方程组y=kx+by=mx+n的解为x=3y=−1，
故答案为：x=3y=−1．
根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．
本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
13.【答案】 145
【解析】解：如图所示，
路径一：AB= (4+8)2+52=13；
路径二：AB= (5+4)2+82= 145；
路径三：AB= (5+8)2+42= 185；
∵ 185>13> 145，
∴ 145cm为最短路径．
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视(或正视和侧视，或俯视和侧视)二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．
14.【答案】解：原式=5−4 5+4−6+2 5−3
=−2 5．
【解析】先根据完全平方公式和绝对值的意义计算，然后把 36化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
15.【答案】解：①+②×2得：7x=−42，
解得：x=−6，
把x=−6代入①得：y=7，
则方程组的解为x=−6y=7．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16.【答案】解：由题意得：2 a−7+ a+4=0，
解得：a=1，
∵b−11的立方根是−2，
∴b−11=−8，
∴b=3；
∵ a=1，b=3，
∴ a+ b=4，
∵4的算术平方根为2，
∴a+b的算术平方根为2．
【解析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2a−7+a+4=0，即可求出a的值；根据−8的立方根是−2得出b−11=−8，即可求出b的值，再代入求值即可．
本题考查了平方根、立方根和算术平方根，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键．
17.【答案】解：x甲−=70×20%+50×30%+80×50%=69，
x乙−=90×20%+75×30%+45×50%=63，
∵69>63，
∴应该录取甲．
【解析】根据加权平均数的计算公式分别列出算式，再进行计算即可．
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．
18.【答案】解：(1)∵点Q在第三象限，
∴2a<0，3a−1<0，
又∵据点Q到两坐标轴的距离之和为16，
∴|2a|+|3a−1|=16，
即−2a+1−3a=16，
解得a=−5，
∴2a=−10，3a−1=−16，
故点Q的坐标为(−10,−16)；
(2)∵点Q到两坐标轴的距离相等，
∴|2a|=|3a−1|，
∴2a=3a−1或2a=1−3a，
解得a=1或a=15，
当a=1时，2a=1，3a−1=2，
当a=15时，2a=25，3a−1=−25，
∴点Q(2,2)或(25,−25).
【解析】(1)根据第三象限的横坐标和纵坐标均为负数，并根据点Q到两坐标轴的距离之和为16列方程求出a的值即可得出点Q的坐标；
(2)根据点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数解答即可．
此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数．
19.【答案】解：在RT△AEC中，AB= 32+42=5，
矩形ABCD的面积=10×5=50(米 2)
答：阳光透过的最大面积是50平方米．
【解析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽，再根据矩形的面积公式计算．
此题运用了勾股定理，注意阳光透过的最大面积，即是矩形的面积，难度一般．
20.【答案】解：设大班的小朋友有x人，小班的小朋友有y人，
由题意得：x−y=35x+10=8y−2，
解得：x=12y=9，
答：大班小朋友有12个，小班的小朋友各有9个．
【解析】设大班的小朋友有x人，小班的小朋友有y人，由“如果大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个．已知大班比小班多3个小朋友”，列出二元一次方程组，解方程组求出x、y，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)由图可得，A1(−1,−1)，B1(−2,−5)，C1(−5,−4)．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)证明：∵DE//BC，
∴∠AED=∠B，
又∵∠1=∠AED，
∴∠B=∠1，
∴DF//AB；
(2)∵DE//BC，
∴∠EDF=∠1=50°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF=∠EDF=50°，
在△CDF中，
∵∠C+∠1+∠CDF=180°，
∴∠C=180°−∠1−∠CDF=180°−50°−50°=80°．
答：∠C的度数为80°．
【解析】(1)根据DE//BC，得出∠AED=∠B，又因为∠1=∠AED，等量代换得∠B=∠1，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
(2)根据DE//BC，得出∠EDF=∠1=50°，再根据DF平分∠CDE，得出∠CDF=∠EDF=50°，最后在△CDF中利用三角形内角和等于180°即可求解．
本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
23.【答案】解：(1)是．
理由：∵AM2+BN2=1.52+22=6.25，MN2=2.52=6.25，
∴AM2+NB2=MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
(2)设BN=x，则MN=24−AM−BN=18−x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，
即(18−x)2=x2+36，
解得x=8；
②当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2．
即x2=36+(18−x)2，
解得x=10，
综上所述，BN=8或10．
【解析】(1)根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
(2)设BN=x，则MN=12−AM−BN=7−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2=MN2+BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题．
本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)根据题意得：y1=500+1300x，y2=200+1500x，
∴y1关于x的函数解析式为y1=500+1300x，y2关于x的函数解析式为y2=200+1500x；
(2)根据题意得：500+1300x=200+1500x，
解得x=1.5，
答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg．
【解析】(1)根据方式一、方式二的总费用的组成列式即可；
(2)根据方式一、方式二的费用相等列出方程，解方程即可．
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两种方式的费用表达式是解题的关键．
25.【答案】9 9
【解析】解：(1)∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9，位置在最中间的是9，
∴这组数据的中位数为9．
∴b=9．
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多，
∴乙组数据的众数为：9．
∴c=9．
故答案为：9；9．
(2)乙的平均数a=4+9+8+9+105=8，
甲的方差d=15×[(9−8)2+(9−8)2+(9−8)2+(6−8)2+(7−8)2]=1.6．
(3)选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，但甲的方差d=1.6<乙的方差4.4
∴在平均数相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
(1)利用中位数和众数的概念很容易求出b.c的值；
(2)利用平均数的计算公式可得乙的平均数，再利用方差的计算公式计算甲的方差；
(3)通过比较平均数和方程，在平均数相同的情况下，选择方差较小的参加．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差的计算方法，并利用以上指标对数据进行判断．
26.【答案】解：(1)将点C(2,m)代入y=x+1，
∴m=3，
∴C(2,3)，
设直线l2的解析式为y=kx+b，
将点C(2,3)，B(1,0)代入y=kx+b，
∴k+b=02k+b=3，
解得k=3b=−3，
∴直线l2的解析式为y=3x−3；
(2)①设P点纵坐标为t，
∴P(t−1,t)，Q(t+33,t)，
∴PQ=|t+33−t+1|=3，
解得t=−32或t=152，
∴M(0,−32)或M(0,152)；
②当y=0时，x+1=0，
解得x=−1，
∴A(−1,0)，
∴AB=2，
∴S△ABC=3，
设A点到直线BC的高为h，
∴3=12×BC⋅h，
∵CB= 10，
∴h=3 105，
∵S△AQC：S△ABC=3：4，
∴S△AQC=94，
∴94=12×CQ×3 105，
解得CQ=3 104，
设Q(x,3x−3)，
∴ (2−x)2+(3x−3−3)2=3 104，
解得x=12或x=72，
∴Q(12,−32)或(72,152).
【解析】(1)将点C(2,m)代入y=x+1，确定C点坐标，再将点C(2,3)，B(1,0)代入y=kx+b，求直线l2的解析式为y=3x−3；
(2)①)①设P点纵坐标为t，则P(t−1,t)，Q(t+33,t)，根据题意可得方程PQ=|t+33−t+1|=3，求出t的值即可求M点坐标；
②设A点到直线BC的高为h，根据△ABC的面积可得3=12×BC⋅h，求出h=3 105，再由S△AQC=94=12×CQ×3 105，求出CQ=3 104，设Q(x,3x−3)，列出方程 (2−x)2+(3x−3−3)2=3 104，即可求Q点坐标．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等积法求三角形面积是解题的关键．x/秒
5
10
25
30
y/cm
11
12
15
⋆
应试者
计算机
语言
商品知识
甲
70
50
80
乙
90
75
45
会员卡费用(元/张)
茶叶价格(元/kg)
方式一：金卡会员
500
1300
方式二：银卡会员
200
1500
选手
平均成绩
中位数
众数
方差
甲
8
b
9
d
乙
a
9
c
4.4
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