2022-2023学年吉林省第二实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年吉林省第二实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中最小的负整数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  第届亚运会将于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城，将成为杭州年亚运会的主场馆，杭州奥体博览城核心区占地公顷，建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  卡塔尔世界杯小组赛，一粒制胜球如图射门前是否出底线成为球迷讨论的热点，裁判依据图判定该球并未出界，该图主要反映了场上足球的(    )

A. 主视图
B. 左视图
C. 俯视图
D. 实物图

4.  已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

6.  为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离米，小明身高米，他在点测得点的仰角是在点测得点仰角的倍，已知小明在点测得的仰角是，则体温监测有效识别区域的长为米．(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在中，，观察尺规作图的痕迹，若，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：        ．

10.  某件商品原价元，先打八折，再降价元，则现在的售价是______ 元

11.  如图所示的网格是正方形网格，则 ______ 点，，，是网格线交点

12.  如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，若，，则图中阴影部分的面积为          结果不取近似值

13.  “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验如图，已知三角形纸片，第次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第次折叠使点落在点处，折痕交于点若，则 ______ ．

14.  已知点，在抛物线上，且，，若对于，，都有，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

16.  本小题分
一张圆桌旁设有个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙人等可能地坐到、、中的个座位上．
甲坐在号座位的概率是______ ；
用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．

17.  本小题分
年末因为“新冠病毒”的侵扰，黄桃罐头成为了人们的抢手物品，某商店用元购进第一批黄桃罐头很快售完；第二次购进时每箱的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了箱，求第一次购进时每箱的进价是多少？

18.  本小题分
如图，在正方形中，是边上任意一点点不与、重合，连接，作的中垂线，分别交，于点，，交于点．
求证：；
若，的面积为，正方形面积为，则的值为______ ．

19.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，点、点的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
在图中找一个格点，使得；
在图中找点，作使得；
在图中找点，作使得．
 

20.  本小题分
某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
甲、乙两位同学得分的折线图：

丙同学得分：
，，，，，，，，，
甲、乙、丙三位同学得分的平均数：

根据以上信息，回答下列问题：
求表中的值；
在参加比赛的同学中，如果某同学得分的个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致填“甲”或“乙”；
如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是______填“甲”“乙”或“丙”．

21.  本小题分
现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地汽车行驶的时间单位：与行驶的路程单位：之间的关系如图所示请结合图象，回答下列问题：
汽车在乡村道路上行驶的平均速度是______ ；
求汽车在高速路上行驶的路程与行驶的时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
当该物流车行驶到距离出发地时，请问该车再过小时能否到达目的地，如果能，写出计算过程；如果不能，直接写出小时后该车离目的地还有多远．

22.  本小题分
【方法探索】小米遇到了这样的问题：
如图，两条相等的线段，交于点，，，连接，，求证：．
小米的想法如下：通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质转移线段的位置以下是小米的部分证明过程：

证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．
请将解题过程补充完整．
【方法应用】如图，在梯形中，，延长，交于点，在上截取，过点作交于，则线段、、的关系是______ ．
【解决问题】
如图，正方形边长为，，，在上，且则四边形周长的最小值是______ ．

23.  本小题分
在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动过点做交折线于点，做点关于直线的对称点设点的运动时间为．
用含的代数式表示线段的长；
当点在线段上时，设直线与直线交于点，当和全等时，求的值；
当为等边三角形时，直接写出满足条件的值；
当点和的某两个顶点距离相等时，直接写出满足条件的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线为常数经过点，点在抛物线上，其横坐标为，将此抛物线上、两点间的部分包括、两点记为图象．
求此抛物线的解析式；
当时，求图象的最高点与最低点纵坐标的差；
当图象与直线有一个交点时，求的取值范围；
已知点，，，顺次连结、、、得到矩形，当图形与该矩形的边有两个公共点时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
且，
，
故选：．
运用有理数大小比较方法进行求解．
此题考查了有理数中负数大小比较的能力，关键是能准确运用绝对值进行比较．
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：该图主要反映了场上足球的俯视图．
故选：．
俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：

故选：．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，注意带有等号的数在数轴上用实心表示，没有等号用空心圈表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故选：．
根据关于的一元二次方程有实数根知且，解之即可．
本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
故选：．
根据题意可得：，米，从而可得米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图知于点，
，
，
故选：．
由已知条件可得，由作图知于点，再根据勾股定理求解即可．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图及等腰三角形的性质、勾股定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：作轴于．
，
，，
，
，
≌，
，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
，，
，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
．
故选：．
作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点坐标即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可求得答案．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．注意一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

10.【答案】 

【解析】解：商品原价元，先打八折，再降价元，
现在的售价是元，
故答案为：．
根据已知，表示出打折后价格，再减即可．
本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，理解打折，售价等概念．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接并延长到点，使，连接、，
则是的垂直平分线，
，
．
，，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
连接并延长到点，使，连接、，根据勾股定理得到，，，求得，于是得到，进而得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形的面积，由可得答案．
本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．
【解答】
解：如图，连接交于点，则，

四边形是菱形，，
，，
在中，，，
，，
，，
，


，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：如图，由折叠的性质得：，，，

，
，
是的中位线，
，
，
．
故答案为：．
先把图补全，由折叠的性质得：，，，证明是的中位线，得，可得答案．
本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明是的中位线是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
设点关于直线的对称点为，
则，
，
，
，，
，
，
对于，，都有，
，
解得．
故答案为：．
设点关于直线的对称点为，根据二次函数的对称性得到，由可得，则，通过解不等式求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

15.【答案】解：

，
当，时，原式． 

【解析】根据完全平方公式，多项式乘以单项式的运算法则进行化简，再将，代入求值即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，完全平方公式，多项式乘以单项式，正确化简是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：有三个座位，
甲坐在号座位的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有：，，，，共种，
甲与乙相邻而坐的概率为．
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和甲与乙相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：设第一次购进时每箱的进价是元，则第二次购进时每箱的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进时每箱的进价是元． 

【解析】设第一次购进时每箱的进价是元，则第二次购进时每箱的进价是元，由题意：第二次同样用元购进的数量比第一次少了箱，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】证明：如图，过作于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
；
解：如图，连结，

设，，，则，．
在中，有，
，
，
，，
．
故答案为：．
根据证明≌即可得到结论；
连结，设，，，则，根据勾股定理求得，再计算三角形的面积即可得到结论．
本题主要考查了四边形综合题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形，灵活运用矩形的性质以及全等三角形或相似三角形的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
 

19.【答案】解：如下图：

点即为所求；
即为所求；
即为所求． 

【解析】根据网格线的特点作图；
根据网格线的特点作等腰直角三角形即可；
根据平行线分线段成比例定理作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点是解题的关键．
 

20.【答案】解：；
甲；
丙． 

【解析】

【分析】
本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
根据平均数的定义即可求解；
计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；
根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论．
【解答】
解：见答案；
甲同学的方差，
乙同学的方差，
，
评委对甲同学演唱的评价更一致．
故答案为：甲；
甲同学的最后得分为；
乙同学的最后得分为；
丙同学的最后得分为，
在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．
故答案为：丙．  

21.【答案】 

【解析】解：汽车在乡村道路上行驶的平均速度是，
故答案为：；
设汽车在高速路上行驶的路程与行驶的时间之间的函数关系式为，
将和代入解析式，得，
解得，
汽车在高速路上行驶的路程与行驶的时间之间的函数关系式为；
距出发地时汽车在高速路上，
由可知，，
解得，
此时已出发小时，
，
再过小时不能到达目的地，
，
再过小时汽车在乡村公路上已行驶小时，还需要行驶小时到达目的地，
，
小时后该车离目的地还有．
由已知和图形中数据以及速度、路程、时间之间的关系得出结论；
用待定系数法求出函数解析式即可；
根据图形中数据可知，距出发地时汽车在高速路上，由可求出此时汽车所用时间为小时，再根据，可判断再过小时不能到达目的地，然后再根据所在位置，由汽车在乡村路上的速度到达目的地所用时间求出距目的地的路程．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，从图中获取有用的信息．
 

22.【答案】   

【解析】【方法探索】
证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
在中，，
；
【方法应用】
解：．
过点作，交于点，

，
，，
又，
，
，
又，
≌，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
；
故答案为：；
【解决问题】
解：在上取一点，使得，作关于的对称点，连接交于此时四边形的周长最短．

由题意，，
四边形的周长的最小值为．
故答案为：．
【方法探索】过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得出，，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，由三角形三边关系可得出结论；
【方法应用】过点作，交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；
【解决问题】在上取一点，使得，作关于的对称点，连接交于此时四边形的周长最短．
本题是四边形综合问题，主要考查平移的基本性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，过点作于点，
在中，，
，
，
，
，，
，，
当点在边上时，如图，

，
，
；
，
，
；
当点在边上时，如图，

，
，
，
，
，
；
综上所述，线段的长为；
如图，于点，交的延长线于点，
，，
，
，
≌，
，即，
解得：；

当点在边上时，如图，过点作于点，

为等边三角形，
，
点、关于直线对称，
，
，，
，
，
在中，，
由知：，，
，
，
，
，即，
解得：；
当点在边上时，如图，过点作于点，

同上，，，，
，
，
，即，
解得：；
综上所述，满足条件的值为或；
当点时，如图，过点作于点，连接，设与交于点，

点、关于直线对称，
，，
，
，
∽，
，
，，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
当时，如图，过点作于点，交于点，连接，，

则，
，
，即，
，
，
由知，
，
，
，
，即，
解得：；
当时，如图，过点作于点，连接，设交于点，

则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：；
综上所述，满足条件的值为或或． 

【解析】利用勾股定理可得，应用三角函数定义可得，求得，由题意得，，，分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，应用解直角三角形求出；
由题意得≌，得出，即，解方程即可；
分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，分别运用等边三角形性质和解直角三角形建立关于的方程求解即可得出答案；
分三种情况：当点时，当时，当时，分别运用解直角三角形建立关于的方程求解即可．
本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角函数的定义，平行线和垂线的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形性质，相似三角形的判定和性质等知识，化动为静，利用三角函数表示各线段的长是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
 

24.【答案】解：抛物线为常数经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
由知，抛物线解析式为，
抛物线的顶点为，
，即的横坐标为，
，
图象的最高点是顶点，最低点纵坐标是，
图象的最高点与最低点纵坐标的差是；
的横坐标为，
，
当时，如图：

图象与直线有一个交点，抛物线顶点为，，
，
解得，
；
在中，令得或，
当时，如图：

图象与直线有一个交点，
，即，
解得，
；
当时，如图：

图象与直线有一个交点，
，即，
解得或且，
；
综上所述，的范围是或；
当图形与矩形的边有两个公共点时，
，，，，
当在抛物线顶点上方，即时，如图：

则的横坐标满足，
，
解得；
当在抛物线顶点下方，即时，如图：

点纵坐标满足，点纵坐标满足，
解得，
综上所述，图形与该矩形的边有两个公共点，或． 

【解析】根据抛物线为常数经过点，可得抛物线的解析式为：；
由，得抛物线的顶点为，而，即可得图象的最高点与最低点纵坐标的差是；
，当时，，当时，，当时，，分别解不等式可得答案；
当图形与矩形的边有两个公共点时，分两种情况：当在抛物线顶点上方，即时，的横坐标满足，当在抛物线顶点下方，即时，点纵坐标满足，点纵坐标满足，解不等式可得答案．
本题考查二次函数与几何的综合应用，掌握待定系数法求出抛物线解析式，熟悉二次函数与几何图形的变换是解题的关键．