2021-2022学年北京市汇文中学垂杨柳分校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市汇文中学垂杨柳分校八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，从左向右变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 对八年级名学生某次数学检测的成绩百分制进行了两次统计，第一次统计时，系统把一位缺考同学的成绩自动填充为该次检测唯一的零分，第二次统计时，老师删去了这个零分，则以下统计量在这两次统计中一定保持不变的是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

5. 一次函数的图象不经过的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 将直线向下平移个单位长度后得到的直线的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列曲线中，表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，中国国家博物馆收藏了元代制作的计时工具“铜壶滴漏”，这是目前发现形制最大、最完备的一个多级滴漏，从年使用到年，一直为人民报时、计时，从上至下的四个铜壶依次名为“日壶”、“月壶”、“星壶”、“受水壶”，通过多级滴漏，使得“星壶”中的水可以匀速滴入圆柱形的“受水壶”中，“受水壶”中带有刻度的木箭随着水位匀速上移，对准标尺就能读出相应的时间．在一天中，“受水壶”中的水面高度与时间的函数图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

9. 计算： ______ ．
10. 如图字母所代表的正方形的面积是：______ ．

11. 为了庆祝中国共产党成立周年，加深同学们对中国共产党历史的认识、激发爱党、爱国热情，某班举行了党史知识竞赛，成绩统计如表，这组数据的中位数是______．

12. 一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是和，公司给出他这两项测试的平均成绩为，可知此次招聘中______填“面试”或“笔试”的权重较大．
13. 如图，矩形的对角线与交于点，若，则______．

14. 如图，在菱形中，对角线与交于点，若，，则菱形的周长等于______．

15. 如图，正方形的边长为，点在边上，，若点在正方形的某一边上，满足，且与的交点为，则______．

16. 若直线与坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为______．

三．解答题（本题共10小题，共52分）

17. 计算：．
18. 如表是一次函数为常数，中与的两组对应值．

求这个一次函数的表达式．

19. 如图，矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．
    写出折叠后的图形中的等腰三角形：______；
    求的长．

20. 在中，，，，求的长．

21. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
    小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
    下面是小明的探究过程，请补充完整：
    函数的自变量的取值范围是______；
    如表是与的几组对应值．求的值；

如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
进一步探究发现该函数的性质：当______时，随的增大而增大．

22. 如图，在▱中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，求证：．

23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
    求直线的解析式；
    若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标．

24. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点：
    在图中画一个两边长分别为和的矩形；
    在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与中矩形的对角线相等；
    在图中画一个正方形，使它的对角线与中所画矩形的对角线相等．
     

25. 如图，在▱中，于点点，延长至点使，连接，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，，求的长．

26. 在等腰直角中，，是线段上一动点与点、不重合，连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点．
    
    若，求的大小用含的式子表示．
    用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，此选项错误；
B.，此选项计算正确；
C.，此选项错误；
D.，此选项错误；
故选：．
根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：．
故选：．
根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
 

4.【答案】 

【解析】解：平均数、中位数及方差都受参加检测学生人数的变化而变化，众数与参加检测学生人数无关，只与数据出现的最多的次数有关，
在这两次统计中一定保持不变的是众数，
故选：．
根据众数、平均数、中位数及方差的定义求解即可．
本题主要考查众数、平均数、中位数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数及方差都受参加检测学生人数的变化而变化，众数与参加检测学生人数无关．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．根据一次函数中，，判断出函数图象经过的象限，即可判断出一次函数的图象不经过的象限是哪个．
【解答】

解：一次函数中，，
此函数的图象经过第一、二、四象限，
一次函数的图象不经过的象限是第三象限．
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据一次函数的图象平移的法则即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
【解答】
解：直线向下平移个单位长度后得到的直线的表达式是．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
D、能表示是的函数，故此选项符合题意；
故选：．
根据函数的定义解答即可．
此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为“受水壶”的形状是圆柱，
所以“受水壶”中的水面高度与时间的函数图象是正比例函数的图象．
故选：．
根据“受水壶”的形状是圆柱，可得“受水壶”中的水面高度与时间的函数图象是正比例函数的图象．
此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用二次根式的乘法运算法则化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，根据勾股定理我们可以得出：

，

因此的面积是．
故答案为：．
在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．
 

11.【答案】 

【解析】解：这组数据共有个，按从小到大的顺序排列，处于这组数据中间位置是第个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故答案为：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

12.【答案】面试 

【解析】解：设面试成绩所占百分比为，则笔试成绩所占百分比为，
根据题意，得：，
解得，
则，
此次招聘中面试的权重较大，
故答案为：面试．
设面试成绩所占百分比为，则笔试成绩所占百分比为，根据加权平均数的定义列出方程，解之求出的值即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是设出面试和笔试的权重，根据加权平均数的定义列出方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
；
故答案为：．
由矩形的性质得出，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质；熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
菱形的周长等于，
故答案为：．
依据菱形的性质求出的长，只要证明是等边三角形即可得到菱形的周长．
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质．
 

15.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
如图所示，当点在上时，
由，，可得，≌，
，
又，
，
，即，
，，，
，
；

如图所示，当点在上时，
同理可得，≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
．

故答案为：或．
分两种情况进行讨论，点在上或点在上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到的长．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

16.【答案】 

【解析】解：把代入得；把代入得，解得，
所以直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
所以，
解得．
故答案为．
先根据坐标轴上点的坐标特征确定直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，再根据三角形面积公式得到，然后解方程即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】直接利用二次根式的除法运算法则以及二次根式的性质分别化简，再合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：根据题意得，
解得，
所以一次函数的表达式为：． 

【解析】根据待定系数法求得即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：由折叠可得，，
由可得，，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：；
设，则，，
，
中，，
即，
解得，
．
依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到，进而得出是等腰三角形；
设，则，，依据勾股定理即可得到的值．
本题主要考查了折叠问题，解题时，常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

20.【答案】解：过点作，交的延长线于点，

，
，
，
，，
即，，
，，
，
，
． 

【解析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长．
本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】全体实数   

【解析】解：函数的自变量的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数；
当时，，
即的值是；
如下图所示，

由图象可得，
当时，随的增大而增大，
故答案为：．
根据题目中的函数解析式，可以得到的取值范围；
将代入函数解析式，即可得到的值；
根据表格中的数据，可以画出相应的函数图象；
根据函数图象，可以写出当为何值时，随的增大而增大．
本题考查一次函数的图象、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：▱的对角线，交于点，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
利用平行四边形的性质得出，，进而得出，再利用求出≌，即可得出答案．
 

23.【答案】解：设直线的解析式为，
直线过点、点，
，
解得，
直线的解析式为．

设点的坐标为，
，
，
解得，
，
点的坐标是． 

【解析】设直线的解析式为，将点、点分别代入解析式即可组成方程组，从而得到的解析式；
设点的坐标为，根据三角形面积公式以及求出的横坐标，再代入直线即可求出的值，从而得到其坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．
 

24.【答案】解：如图，矩形即为所求；
如图，平行四边形即为所求；
如图，正方形即为所求． 

【解析】根据矩形的性质即可得到结论；
根据平行四边形的性质即可得到结论；
根据正方形的性质即可得到结论．
本题考查了作图应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
．
即 ．
在▱中，且，
且．
四边形是平行四边形．
，
．
四边形是矩形；

解：四边形是矩形，，
．
，，
．
．
，
的面积．
． 

【解析】先证明四边形是平行四边形，再证明即可．
证明是直角三角形，由三角形的面积即可得出的长．
本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：；理由如下：
，是等腰直角三角形，
，，
，
，
；

；理由如下：
连接，作，如图所示：

，，
，
又，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
又易知是等腰直角三角形，
又，，
在中，，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由等腰直角三角形的性质得出，，由直角三角形的性质即可得出结论；
连接，作，由证明≌，得出，由是等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数即可求解．