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人教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题18.11 三角形的中位线（巩固篇）（专项练习）
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专题18.11 三角形的中位线（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）A．32 B．16 C．8 D．42．如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．53．下列命题是假命题的是（ ）A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）A．11 B．17 C．18 D．165．如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（ ）A．3 B．6 C．9 D．126．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB7．如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则（ ）A．15 B．18 C．20 D．258．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（ ）A．a B．a C．a D．a9．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为（ ）A．10° B．15° C．25° D．40°10．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点旋转时（点不与点，重合），上述结论中始终正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题11．如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________．12．如图，在中，，，，点、分别在、上，将沿翻折，使与的中点重合，则的长为______．13．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长度是_______ cm．14．如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．15．如图，在平行四边形纸片ABCD中，，将纸片沿对角线AC对折至CF，交AD边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是________．16．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，D为AB的中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，A'D与BC交于F．若△A'DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的，则BF的长为________________．18．如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点、分别是、的中点，的最小值等于______．三、解答题19．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．21．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．22．在中，，分别是上的点，且，作平分交于点，在上取点，使，连接并延长，交的延长线于点，连接.（1）求证：；（2）若，求的大小（3）在（2）的条件下，若四边形的面积为，请直接写出的面积（用含的式子表示）23．如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点．求直线的函数关系式；点是上的一点，若的面积等于的面积的倍，求点的坐标．设点 的坐标为，是否存在 的值使得 最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（1）探究：如图（1），点P在线段AB上，在AB的同侧作△APC和△BPD，满足PC=PA，PD=PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G分别是AC、BD、CD边中点，连接EF、FG、EG．求证：∠EFG＝∠GEF．（2）应用：如图（2），点P在线段AB上方，∠APC＝∠BPD＝90°，图（1）题中的其他条件不变，若EF＝2，则四边形ABDC的面积为 ．参考答案1．C【分析】根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可．解：∵AD＝AC，∴是等腰三角形，∵AE⊥CD，∴，∴E是CD的中点，∵F是BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴，故答案为：C．【点拨】本题考查了三角形的线段长问题，掌握等腰三角形的性质和中位线的性质是解题的关键．2．B【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF=5，由三角形中位线的性质得到DE=8，最后由线段的和差解题即可．解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF= AB=5，∵BC= 16，D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=BC=8，∴EF=DE-DF=3，故选：B．【点拨】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．3．C【分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解．解：选项A：三角形的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；选项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，符合题意；选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各个基本定理和性质是解决本类题的关键．4．B【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴，∵点E为AC的中点，∴，∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17，故选：B．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5．A【分析】先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后求解即可．解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知：EF∥AC，GH∥AC且EF=GH=AC，EH=FG=BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH的周长是3，即EF+GH+EH+FG=3，∴AC+BD=3，故选：A．【点拨】本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．6．D【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．【点拨】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．7．D【分析】过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，根据三角形中位线的定理可得CG＝EG，通过△DGF≅△AEF，可得AF=DF，再利用三角形的面积可求解．解：过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，∵D为BC的中点，∴DG为△BCE的中位线，∴BE＝2GD，CG＝EG，∵，∴AE=GD，∵DG∥AB，∴∠AEF=∠DGF，∠EAF=∠GDF，∴△DGF≅△AEF，∴AF=DF，∵，∴S△ABD＝30，S△AED＝10，∴S△AEF＝5，∴S四边形DCEF＝S△ABD−S△AEF＝30−5＝25，故选：D．【点拨】本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．8．A【分析】根据三角形中位线的性质可知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作，∴的周长的周长．∵以各边的中点为顶点作，∴的周长的周长，…，∴的周长故选：A．【点拨】本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．9．C分析：根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN的度数．解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC． ∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．∵∠MPN=130°，∴∠PMN==25°． 故选C．【点拨】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．10．B【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出S△AEP=S△CPF，求出S四边形AEPF=S△APC=S△ABC，EF不是△ABC的中位线，故EF≠AP，即可得出答案．解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，∴∠APE=∠CPF，在△APE和△CPF中，∴△APE≌△CPF（ASA），∴AE=CF，EP=PF，∴△EPF是等腰直角三角形，∴①正确；②正确；∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，∴AP=BC，∵EF不是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故③错误；∵△APE≌△CPF，∴S△AEP=S△CPF，∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，∴④正确；∴正确的有①②④，故选：B．【点拨】本题考查了等腰三角形性质，三角形中位线的性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．11．10【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答．解：∵E、F分别为BC、AC的中点，∴AB＝2EF＝20，∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴，故答案为：10．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．12．【分析】过点M作于N，则，可得MN是的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=AC=3，BN=CN=BC=4，设CF=x，则NF=4-x，由折叠的性质可得MF=CF，在中，利用勾股定理即可求解．解：过点M作于N，∵，，∴，∵是的中点，∴MN是的中位线，∴MN=AC=3，BN=CN=BC=4，设CF=x，则NF=4-x，∵将沿翻折，使与的中点重合，∴MF=CF=x，在中，，∴，解得，∴CF=．故答案为：．【点拨】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．13．8【解析】略14．【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，平行四边形的顶点C在等边的边上，，是等边三角形，．在平行四边形中，，，又是等边三角形， ，． G为的中点，，是的中点，且是的中位线，．故答案为：．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．15．【分析】为等边三角形，点A为BF的中点，可得，求得，再证明出点E为AD的中点，得到，可求出面积．解：折叠至处，AB=AF=2cm，BC=BF=CF=4cm，为等边三角形，，，又四边形ABCD为平行四边形，，，cm，CD=AB=2cm，=，点A为BF的中点，，AE为的中位线，，点E为AD的中点，==为折叠重合部分的面积，故答案为：．【点拨】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键．16．【分析】连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长．解：连接DE，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE=AC．∵ΔABC是等边三角形，且BC=4，∴∠DEB=60°，DE=2． ∵EF⊥AC，∠C=60°，EC=2，∴∠FEC=30°，EF=．∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．∵G是EF的中点，∴EG=．在RtΔDEG中，DG=． 故答案为．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键．17．##【分析】依据勾股定理可得AB的长，由△DEF与△ABE面积关系推出F为BE中点，再根据三角形中位线定理以及勾股定理即可得出CE的长，进而得到BF的长．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴，∵点D是AB的中点，∴S△BDE＝S△ABE，又∵△DEF的面积占△ABE面积的，∴S△FDE＝S△ABE＝S△DBE，∴F是BE的中点，又∵D是AB的中点，∴DF是△ABE的中位线，∴DF∥AE，∴∠2＝∠3，又∵∠2＝∠1，∴∠1＝∠3，∴AE＝AD＝AB＝，Rt△ACE中，，∴BE＝2﹣＝，∴BF＝BE＝，故答案为：．【点拨】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、折叠图形的特征等知识点，将题目中三角形面积关系转化为线段间的关系是解题关键．18．【分析】取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，根据平移的性质得到PP′＝7，B1C1＝BC＝4，再利用P′Q为△A1B1C1的中位线得到P′Q=2，利用三角形三边的关系得到PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），从而得到PQ的最小值．解：取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图：∵△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，∴PP′＝5，B1C1＝BC＝3，∵Q是A1C1的中点，P′为A1B1的中点，∴P′Q为△A1B1C1的中位线，∴P′Q＝B1C1＝，∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），即，，∴PQ的最小值为．故答案为【点拨】本题主要考查平移的性质和三角形三边关系，三角形的中位线的性质，掌握三角形三边关系是解题的关键．19．见分析【分析】连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出，从而得到四边形是平行四边形解：如图，连接．∵点E，H分别是线段的中点，∴是的中位线，∴EH∥BD，．同理，．∴，∴四边形是平行四边形．【点拨】此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大，解题的关键是正确的添加辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题．20．（1）见分析；（2）8【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出∠BAD=∠CAD，再结合平行线的性质推出∠BAD=∠ADE，从而得到∠ADE=∠EAD，即可根据“等角对等边”证明；（2）根据题意结合中位线定理可先推出AC=2DE，然后在Rt△ADC中利用勾股定理求解即可．解：（1）证：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵AD⊥BC于点D，∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB交AC于点E，∴∠BAD=∠ADE，∴∠CAD=∠ADE，即：∠ADE=∠EAD，∴AE=DE，∴△ADE是等腰三角形；（2）解：由“三线合一”知：BD=CD，∵BC=12，∴DC=6，∵E为AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE，∴AC=AB=2DE=10，在Rt△ADC中，，∴AD=8．【点拨】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理解三角形，以及三角形的中位线定理等，掌握等腰三角形的基本性质，熟练运用中位线定理和勾股定理计算是解题关键．21．（1）见分析；（2）平行四边形DEFB的周长＝【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．解：（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形；（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，∴BD＝EF，∵D是AC的中点，AC＝12cm，∴CD＝AC＝6（cm），∵∠ACB＝90°，∴BD＝＝10（cm），∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．22．（1）见分析；（2）；（3）.【分析】（1）由已知证明可得出=90°，即（2）根据已知由中垂线性质可得，即，由即可得出.(3)由已知可推出.解：（1）证明：平分，，在和中，，即；（2），由中垂线性质得：，在中，，又，（3）由已知可得：.【点拨】本题考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理的性质及判定是解题关键.23．（1）y=x-2；（2）（ ，）或（，− ）；（3）（，3）．【分析】（1）把点（3，-1），点B（6，0）代入直线l2，求出k、b的值即可；（2）设点P的坐标为（t， t-2），求出D点坐标，再由S△ABP=2S△ABD求出t的值即可；（3）作直线y=3，作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q（m，3）在直线A′B上求出m的值，进而可得出结论．解：（1）由题知： 解得：，故直线l2的函数关系式为：y=x-2；（2）由题及（1）可设点P的坐标为（t， t-2）．解方程组 ，得 ，∴点D的坐标为（，-）．∵S△ABP=2S△ABD，∴AB•|t-2|=2×AB•|-|，即|t-2|=，解得：t=或t=，∴点P的坐标为（ ，）或（，− ）；（3）作直线y=3（如图），再作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B．由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．∵点A（3，0），∴A′（3，6）∵点B（6，0），∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12．∵点Q（m，3）在直线A′B上，∴3=-2m+12解得：m=，故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（，3）．【点拨】此题考查一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，轴对称最短路线问题，三角形的面积公式，解题关键在于在解答（3）时要注意作出辅助线，利用轴对称的性质求解．24．（1）见分析；（2）4【分析】（1）连接AD，BC，可证得△APD≌△CPB，从而得到AD=CB．再由三角形中位线定理，可得EG=GF，即可求证；（2）连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，可证得△APD≌△CPB，从而得到AD=CB．∠ADP=∠CBP，再由∠CND=∠PNB，AD⊥BC，再由三角形中位线定理，可得△GEF为等腰直角三角形，从而得到，再由，即可求解．解：证明：（1） 如图，连接AD，BC，∵∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB．∵PA=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB， ∴AD=CB．∵E、G、F分别为AC、CD、DB的中点， ∴EG=AD，GF=BC， ∴EG=GF， ∴∠GEF=∠GFE． （2）如图，连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，∵∠APC=∠BPD=90°，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB，∵PA=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB（SAS），∴AD=CB，∠ADP=∠CBP，∵∠CND=∠PNB，∴∠DMN=∠BPD=90°，∴AD⊥BC，∵E、G、F分别为AC、CD、DB的中点，∴EG是△ACD的中位线，GF是△DCB的中位线，∴EG=AD，GF=BC， EGAD，GFBC，∴GE=GF，GE⊥GF，∴△GEF为等腰直角三角形，∴，∵EF=2，∴，∴．故答案为：4【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键．
专题18.11 三角形的中位线（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）A．32 B．16 C．8 D．42．如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．53．下列命题是假命题的是（ ）A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）A．11 B．17 C．18 D．165．如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（ ）A．3 B．6 C．9 D．126．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB7．如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则（ ）A．15 B．18 C．20 D．258．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（ ）A．a B．a C．a D．a9．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为（ ）A．10° B．15° C．25° D．40°10．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点旋转时（点不与点，重合），上述结论中始终正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题11．如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________．12．如图，在中，，，，点、分别在、上，将沿翻折，使与的中点重合，则的长为______．13．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长度是_______ cm．14．如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．15．如图，在平行四边形纸片ABCD中，，将纸片沿对角线AC对折至CF，交AD边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是________．16．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，D为AB的中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，A'D与BC交于F．若△A'DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的，则BF的长为________________．18．如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点、分别是、的中点，的最小值等于______．三、解答题19．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．21．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．22．在中，，分别是上的点，且，作平分交于点，在上取点，使，连接并延长，交的延长线于点，连接.（1）求证：；（2）若，求的大小（3）在（2）的条件下，若四边形的面积为，请直接写出的面积（用含的式子表示）23．如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点．求直线的函数关系式；点是上的一点，若的面积等于的面积的倍，求点的坐标．设点 的坐标为，是否存在 的值使得 最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（1）探究：如图（1），点P在线段AB上，在AB的同侧作△APC和△BPD，满足PC=PA，PD=PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G分别是AC、BD、CD边中点，连接EF、FG、EG．求证：∠EFG＝∠GEF．（2）应用：如图（2），点P在线段AB上方，∠APC＝∠BPD＝90°，图（1）题中的其他条件不变，若EF＝2，则四边形ABDC的面积为 ．参考答案1．C【分析】根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可．解：∵AD＝AC，∴是等腰三角形，∵AE⊥CD，∴，∴E是CD的中点，∵F是BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴，故答案为：C．【点拨】本题考查了三角形的线段长问题，掌握等腰三角形的性质和中位线的性质是解题的关键．2．B【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF=5，由三角形中位线的性质得到DE=8，最后由线段的和差解题即可．解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF= AB=5，∵BC= 16，D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=BC=8，∴EF=DE-DF=3，故选：B．【点拨】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．3．C【分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解．解：选项A：三角形的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；选项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，符合题意；选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各个基本定理和性质是解决本类题的关键．4．B【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴，∵点E为AC的中点，∴，∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17，故选：B．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5．A【分析】先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后求解即可．解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知：EF∥AC，GH∥AC且EF=GH=AC，EH=FG=BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH的周长是3，即EF+GH+EH+FG=3，∴AC+BD=3，故选：A．【点拨】本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．6．D【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．【点拨】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．7．D【分析】过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，根据三角形中位线的定理可得CG＝EG，通过△DGF≅△AEF，可得AF=DF，再利用三角形的面积可求解．解：过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，∵D为BC的中点，∴DG为△BCE的中位线，∴BE＝2GD，CG＝EG，∵，∴AE=GD，∵DG∥AB，∴∠AEF=∠DGF，∠EAF=∠GDF，∴△DGF≅△AEF，∴AF=DF，∵，∴S△ABD＝30，S△AED＝10，∴S△AEF＝5，∴S四边形DCEF＝S△ABD−S△AEF＝30−5＝25，故选：D．【点拨】本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．8．A【分析】根据三角形中位线的性质可知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作，∴的周长的周长．∵以各边的中点为顶点作，∴的周长的周长，…，∴的周长故选：A．【点拨】本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．9．C分析：根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN的度数．解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC． ∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．∵∠MPN=130°，∴∠PMN==25°． 故选C．【点拨】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．10．B【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出S△AEP=S△CPF，求出S四边形AEPF=S△APC=S△ABC，EF不是△ABC的中位线，故EF≠AP，即可得出答案．解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，∴∠APE=∠CPF，在△APE和△CPF中，∴△APE≌△CPF（ASA），∴AE=CF，EP=PF，∴△EPF是等腰直角三角形，∴①正确；②正确；∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，∴AP=BC，∵EF不是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故③错误；∵△APE≌△CPF，∴S△AEP=S△CPF，∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，∴④正确；∴正确的有①②④，故选：B．【点拨】本题考查了等腰三角形性质，三角形中位线的性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．11．10【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答．解：∵E、F分别为BC、AC的中点，∴AB＝2EF＝20，∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴，故答案为：10．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．12．【分析】过点M作于N，则，可得MN是的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=AC=3，BN=CN=BC=4，设CF=x，则NF=4-x，由折叠的性质可得MF=CF，在中，利用勾股定理即可求解．解：过点M作于N，∵，，∴，∵是的中点，∴MN是的中位线，∴MN=AC=3，BN=CN=BC=4，设CF=x，则NF=4-x，∵将沿翻折，使与的中点重合，∴MF=CF=x，在中，，∴，解得，∴CF=．故答案为：．【点拨】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．13．8【解析】略14．【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，平行四边形的顶点C在等边的边上，，是等边三角形，．在平行四边形中，，，又是等边三角形， ，． G为的中点，，是的中点，且是的中位线，．故答案为：．【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．15．【分析】为等边三角形，点A为BF的中点，可得，求得，再证明出点E为AD的中点，得到，可求出面积．解：折叠至处，AB=AF=2cm，BC=BF=CF=4cm，为等边三角形，，，又四边形ABCD为平行四边形，，，cm，CD=AB=2cm，=，点A为BF的中点，，AE为的中位线，，点E为AD的中点，==为折叠重合部分的面积，故答案为：．【点拨】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键．16．【分析】连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长．解：连接DE，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE=AC．∵ΔABC是等边三角形，且BC=4，∴∠DEB=60°，DE=2． ∵EF⊥AC，∠C=60°，EC=2，∴∠FEC=30°，EF=．∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．∵G是EF的中点，∴EG=．在RtΔDEG中，DG=． 故答案为．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键．17．##【分析】依据勾股定理可得AB的长，由△DEF与△ABE面积关系推出F为BE中点，再根据三角形中位线定理以及勾股定理即可得出CE的长，进而得到BF的长．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴，∵点D是AB的中点，∴S△BDE＝S△ABE，又∵△DEF的面积占△ABE面积的，∴S△FDE＝S△ABE＝S△DBE，∴F是BE的中点，又∵D是AB的中点，∴DF是△ABE的中位线，∴DF∥AE，∴∠2＝∠3，又∵∠2＝∠1，∴∠1＝∠3，∴AE＝AD＝AB＝，Rt△ACE中，，∴BE＝2﹣＝，∴BF＝BE＝，故答案为：．【点拨】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、折叠图形的特征等知识点，将题目中三角形面积关系转化为线段间的关系是解题关键．18．【分析】取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，根据平移的性质得到PP′＝7，B1C1＝BC＝4，再利用P′Q为△A1B1C1的中位线得到P′Q=2，利用三角形三边的关系得到PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），从而得到PQ的最小值．解：取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图：∵△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，∴PP′＝5，B1C1＝BC＝3，∵Q是A1C1的中点，P′为A1B1的中点，∴P′Q为△A1B1C1的中位线，∴P′Q＝B1C1＝，∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），即，，∴PQ的最小值为．故答案为【点拨】本题主要考查平移的性质和三角形三边关系，三角形的中位线的性质，掌握三角形三边关系是解题的关键．19．见分析【分析】连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出，从而得到四边形是平行四边形解：如图，连接．∵点E，H分别是线段的中点，∴是的中位线，∴EH∥BD，．同理，．∴，∴四边形是平行四边形．【点拨】此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大，解题的关键是正确的添加辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题．20．（1）见分析；（2）8【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出∠BAD=∠CAD，再结合平行线的性质推出∠BAD=∠ADE，从而得到∠ADE=∠EAD，即可根据“等角对等边”证明；（2）根据题意结合中位线定理可先推出AC=2DE，然后在Rt△ADC中利用勾股定理求解即可．解：（1）证：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵AD⊥BC于点D，∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB交AC于点E，∴∠BAD=∠ADE，∴∠CAD=∠ADE，即：∠ADE=∠EAD，∴AE=DE，∴△ADE是等腰三角形；（2）解：由“三线合一”知：BD=CD，∵BC=12，∴DC=6，∵E为AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE，∴AC=AB=2DE=10，在Rt△ADC中，，∴AD=8．【点拨】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理解三角形，以及三角形的中位线定理等，掌握等腰三角形的基本性质，熟练运用中位线定理和勾股定理计算是解题关键．21．（1）见分析；（2）平行四边形DEFB的周长＝【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．解：（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形；（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，∴BD＝EF，∵D是AC的中点，AC＝12cm，∴CD＝AC＝6（cm），∵∠ACB＝90°，∴BD＝＝10（cm），∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．22．（1）见分析；（2）；（3）.【分析】（1）由已知证明可得出=90°，即（2）根据已知由中垂线性质可得，即，由即可得出.(3)由已知可推出.解：（1）证明：平分，，在和中，，即；（2），由中垂线性质得：，在中，，又，（3）由已知可得：.【点拨】本题考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理的性质及判定是解题关键.23．（1）y=x-2；（2）（ ，）或（，− ）；（3）（，3）．【分析】（1）把点（3，-1），点B（6，0）代入直线l2，求出k、b的值即可；（2）设点P的坐标为（t， t-2），求出D点坐标，再由S△ABP=2S△ABD求出t的值即可；（3）作直线y=3，作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q（m，3）在直线A′B上求出m的值，进而可得出结论．解：（1）由题知： 解得：，故直线l2的函数关系式为：y=x-2；（2）由题及（1）可设点P的坐标为（t， t-2）．解方程组 ，得 ，∴点D的坐标为（，-）．∵S△ABP=2S△ABD，∴AB•|t-2|=2×AB•|-|，即|t-2|=，解得：t=或t=，∴点P的坐标为（ ，）或（，− ）；（3）作直线y=3（如图），再作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B．由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．∵点A（3，0），∴A′（3，6）∵点B（6，0），∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12．∵点Q（m，3）在直线A′B上，∴3=-2m+12解得：m=，故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（，3）．【点拨】此题考查一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，轴对称最短路线问题，三角形的面积公式，解题关键在于在解答（3）时要注意作出辅助线，利用轴对称的性质求解．24．（1）见分析；（2）4【分析】（1）连接AD，BC，可证得△APD≌△CPB，从而得到AD=CB．再由三角形中位线定理，可得EG=GF，即可求证；（2）连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，可证得△APD≌△CPB，从而得到AD=CB．∠ADP=∠CBP，再由∠CND=∠PNB，AD⊥BC，再由三角形中位线定理，可得△GEF为等腰直角三角形，从而得到，再由，即可求解．解：证明：（1） 如图，连接AD，BC，∵∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB．∵PA=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB， ∴AD=CB．∵E、G、F分别为AC、CD、DB的中点， ∴EG=AD，GF=BC， ∴EG=GF， ∴∠GEF=∠GFE． （2）如图，连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，∵∠APC=∠BPD=90°，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB，∵PA=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB（SAS），∴AD=CB，∠ADP=∠CBP，∵∠CND=∠PNB，∴∠DMN=∠BPD=90°，∴AD⊥BC，∵E、G、F分别为AC、CD、DB的中点，∴EG是△ACD的中位线，GF是△DCB的中位线，∴EG=AD，GF=BC， EGAD，GFBC，∴GE=GF，GE⊥GF，∴△GEF为等腰直角三角形，∴，∵EF=2，∴，∴．故答案为：4【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键．
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