北师大版七年级数学下册尖子生培优必刷题 第2章相交线与平行线单元测试（基础过关卷）（原卷版+解析 ）

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专题第2章相交线与平行线单元测试（基础过关卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2023秋•射洪市期末）如图所示，下列结论中正确的是（　　）A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角 C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角2．（2023秋•上蔡县校级期末）如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（　　）A．60° B．90° C．120° D．150°3．（2022秋•中山市期末）下列说法中，正确的是（　　）A．两点之间，直线最短 B．如果∠α＝53°38′，那么∠α补角的度数为36.22° C．一个锐角的补角比这个角的余角大90° D．若∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线4．（2022秋•玉泉区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（　　）A．30° B．36° C．45° D．72°5．（2022•邹城市校级开学）如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB．若∠AOB＝130°，则∠COD＝（　　）A．65° B．25° C．35° D．20°6．（2022•蓬江区校级开学）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30'，则下列结论中不正确的是（　　）A．∠2＝45° B．∠1＝∠3 C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30'7．（2022秋•延庆区期末）如图，点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD四条线段，其中只有PC与l垂直，这四条线段中长度最短的是（　　）A．PA B．PB C．PC D．PD8．（2022秋•抚远市期末）如图，O是直线AC上的一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，．下列四个结论：①∠BOD＝30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（　　）A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④9．（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　）A．110° B．120° C．130° D．140°10．（2022•苏州模拟）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（　　）A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•九龙坡区期末）一个75°的角的补角是 　 　°．12．（2022秋•阳曲县期末）如图∠AOB＝∠COD＝90°．若∠BOD＝150°，则∠BOC＝　 　°．13．（2022•东阳市校级开学）如图所示，图中用数字标出的角中，∠2的内错角是 　 　．14．（2023秋•新兴区校级期末）如图，在图中标注的∠1、∠3、∠4、∠5中，当∠2＝∠　 　时，AE∥BF．15．（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为　 　．16．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　 　时，CD与AB平行．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•凌海市期中）看图填空：（请将不完整的解题过程及根据补充完整）已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝50°，求∠2的度数．解：因为AB∥CD，∠1＝50°，根据 　 　所以∠ABC＝∠1＝50°．又因为BC平分∠ABD，∠ABC＝50°所以 　 　＝∠ABC＝50°．根据“两直线平行，同旁内角互补”．所以∠ABD+　 　＝180°所以∠CDB＝180°﹣∠ABD＝80°．根据 　 　，所以∠2＝∠CDB＝80°18．（2022春•松江区校级期中）如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，MC⊥NC，∠B＝70°，求∠BCN的度数．19．（2022秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．20．（2022春•山阳县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．（1）求证：∠FAB＝∠BDC；（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．21．（2022春•岳麓区校级期末）如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．（1）探究：①若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BMD＝　 　°；②若∠B＝α，∠D＝β，则∠BMD＝　 　；（2）猜想：图中∠B，∠D与∠BMD之间的数量关系，并说明理由．22．（2022春•龙岗区校级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠C之间数量关系时，有如下发现：（1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝　 　；（2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝　 　；（3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．23．（2022秋•甘井子区校级期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC在平面内．（1）若∠AOC与∠BOC互补，则∠BOC　 　；（2）射线OC在直线OA的上方时，射线OA的反向延长线与射线OC形成的夹角是α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．①若∠BOC＝90°，求∠MOB的度数为 　 　；②是否存在α的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由．专题第2章相交线与平行线单元测试（基础过关卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2023秋•射洪市期末）如图所示，下列结论中正确的是（　　）A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角 C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角【分析】根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．【解答】解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误；B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确；C、∠1和∠4是同位角，故本选项错误；D、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；故选：B．2．（2023秋•上蔡县校级期末）如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（　　）A．60° B．90° C．120° D．150°【分析】因为平行，所以有∠1＝∠3，又∠3和∠2为邻补角互补，且∠2＝2∠1＝2∠3，所以可求出∠2．【解答】解：如图所示，∵AC∥BD，∴∠3＝∠1，∵∠2是∠1的2倍，∴设∠1＝∠3＝x，则∠2＝2x，又∵∠3与∠2互补，∴∠3+∠2＝180°，即x+2x＝180°，∴x＝60°，即∠2＝2x＝2×60°＝120°．故选：C．3．（2022秋•中山市期末）下列说法中，正确的是（　　）A．两点之间，直线最短 B．如果∠α＝53°38′，那么∠α补角的度数为36.22° C．一个锐角的补角比这个角的余角大90° D．若∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线【分析】根据线段的性质，余角和补角的定义及角平分线的性质分别判断即可．【解答】解：A．两点之间，线段最短，选项A错误；B．如果∠α＝53°38′，那么∠α补角的度数为126.22°，选项B错误；C．一个锐角的补角比这个角的余角大90°，选项C正确；D．若射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，选项D错误；故选：C．4．（2022秋•玉泉区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝1：2，则∠BOD等于（　　）A．30° B．36° C．45° D．72°【分析】根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝1：2，∴∠EOC＝180°×＝60°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×60°＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°．故选：A．5．（2022•邹城市校级开学）如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB．若∠AOB＝130°，则∠COD＝（　　）A．65° B．25° C．35° D．20°【分析】由角平分线的定义可求∠BOD，由垂直的定义得到∠BOC＝90°，即可求出∠COD．【解答】解：∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOB＝×130°＝65°，∵OC⊥OB，∴∠BOC＝90°，∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．6．（2022•蓬江区校级开学）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30'，则下列结论中不正确的是（　　）A．∠2＝45° B．∠1＝∠3 C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30'【分析】由余角，补角的定义，对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，即可判断．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵OF平分∠AOE，∴∠2＝∠AOE＝45°，∵∠1和∠3是对顶角，∴∠1＝∠3，∵∠AOD与∠1是邻补角，∴∠AOD与∠1互为补角，∵∠1的余角等于90°﹣∠1，∴∠1的余角等于90°﹣15°30′＝74°30′，故选：D．7．（2022秋•延庆区期末）如图，点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD四条线段，其中只有PC与l垂直，这四条线段中长度最短的是（　　）A．PA B．PB C．PC D．PD【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．【解答】解：点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD四条线段，其中只有PC与l垂直，这四条线段中长度最短的是PC．故选：C．8．（2022秋•抚远市期末）如图，O是直线AC上的一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，．下列四个结论：①∠BOD＝30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（　　）A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④【分析】首先利用已知得出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．【解答】解：∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠BOE＝∠EOC，∴设∠BOE＝x，则∠COE＝3x，∵∠DOE＝60°，∴∠BOD＝∠AOD＝60°﹣x，∴2（60°﹣x）+x+3x＝180°，解得：x＝30°，∴∠AOD＝∠BOD＝30°，故①正确；∵∠BOD＝∠AOD＝30°，∠DOE＝60°，∴∠AOD+∠DOE＝90°，则∠EOC＝∠AOE＝90°，∴射线OE平分∠AOC，故②正确；∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；∵∠AOE＝∠EOC＝90°，∴∠AOE+∠EOC＝180°，∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，∴图中互补的角有6对，故④正确；正确的有4个．故选：D．9．（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．10．（2022•苏州模拟）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（　　）A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α，∵∠β＝∠2+∠γ，∴∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•九龙坡区期末）一个75°的角的补角是 　75　°．【分析】利用补角的定义进行运算即可．【解答】解：一个75°的角的补角是：180°﹣75°＝105°．故答案为：75．12．（2022秋•阳曲县期末）如图∠AOB＝∠COD＝90°．若∠BOD＝150°，则∠BOC＝　120　°．【分析】1周角＝360°，把∠BOD和∠COD的度数代入∠BOC＝360°﹣∠BOD﹣∠COD，即可求出答案．【解答】解：∵∠BOD＝150°，∠DOC＝90°，∴∠BOC＝360°﹣∠BOD﹣∠COD＝360°﹣150°﹣90°＝120°，故答案为：120．13．（2022•东阳市校级开学）如图所示，图中用数字标出的角中，∠2的内错角是 　∠6　．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．【解答】解：图中用数字标出的角中，∠2的内错角是∠6．故答案为：∠6．14．（2023秋•新兴区校级期末）如图，在图中标注的∠1、∠3、∠4、∠5中，当∠2＝∠　4　时，AE∥BF．【分析】根据同位角相等，两直线平行即可求解．【解答】解：∵∠2＝∠4，∴AE∥BF．故答案为：4．15．（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为　40°或140°　．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．16．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　4秒或40秒　时，CD与AB平行．【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．【解答】解：分三种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°，解得t＝4；此时（180°﹣60°）÷6＝20，∴0＜t＜20；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°，解得t＝40，此时（360°﹣60°）÷6＝50，∴20＜t＜50；③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°，解得t＝40，此时t＞50，∵40＜50，∴此情况不存在．综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．故答案为：4秒或40秒．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•凌海市期中）看图填空：（请将不完整的解题过程及根据补充完整）已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝50°，求∠2的度数．解：因为AB∥CD，∠1＝50°，根据 　两直线平行，同位角相等　所以∠ABC＝∠1＝50°．又因为BC平分∠ABD，∠ABC＝50°所以 　∠CBD　＝∠ABC＝50°．根据“两直线平行，同旁内角互补”．所以∠ABD+　∠CDB　＝180°所以∠CDB＝180°﹣∠ABD＝80°．根据 　对顶角相等　，所以∠2＝∠CDB＝80°【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可．【解答】解：因为AB∥CD，∠1＝50°，所以∠ABC＝∠1＝50°（两直线平行，同位角相等），又因为BC平分∠ABD，∠ABC＝50°，所以∠CBD＝∠ABC＝50°（角平分线的定义），又因为AB∥CD，所以∠ABD+∠CDB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），所以∠CDB＝180°﹣∠ABD＝80°，所以∠2＝∠CDB＝80°（对顶角相等）．故答案为：两直线平行，同位角相等；∠CBD，∠CDB；对顶角相等．18．（2022春•松江区校级期中）如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，MC⊥NC，∠B＝70°，求∠BCN的度数．【分析】由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∴∠B+∠BCE＝180°，即可算出∠BCE的度数，根据角平分线的定义可得，∠BCM＝，再由垂线的性质可得∠MCN＝90°，根据∠BCN＝∠MCN﹣∠BCM计算即可得出答案．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B+∠BCE＝180°，∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°，∵CM平分∠BCE，∴∠BCM＝＝＝55°，∵MC⊥NC，∴∠MCN＝90°，∴∠BCN＝∠MCN﹣∠BCM＝90°﹣55°＝35°．19．（2022秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．【分析】设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由邻补角的性质，求出x的值，再根据角平分线，计算出∠COE的度数，计算即可．【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由题意得：x+4x＝180，解得：x＝36，∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，∵OE是∠BOC的平分线，∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC＝36°＝18°．20．（2022春•山阳县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．（1）求证：∠FAB＝∠BDC；（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．【分析】（1）根据AC∥EF，证得∠1+∠FAC＝180°，已知∠1+∠2＝180°，等量代换∠2＝∠FAC，从而证得FA∥CD，得出∠FAB＝∠BDC；（2）根据角平分线的定义得∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，得出∠FAD＝2∠2，根据已知求出∠2的度数，根据EF⊥BE，AC∥EF，证得AC⊥BE，得出∠ACB＝90°，进一步求出∠BCD的度数．【解答】（1）证明：∵AC∥EF，∴∠1+∠FAC＝180°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠FAC，∴FA∥CD，∴∠FAB＝∠BDC；（2）解：∵AC平分∠FAD，∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，由（1）知∠2＝∠FAC，∴∠FAD＝2∠2，∴∠2＝∠FAD，∵∠FAD＝80°，∴∠2＝×80°＝40°，∵EF⊥BE，AC∥EF，∴AC⊥BE，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．21．（2022春•岳麓区校级期末）如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．（1）探究：①若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BMD＝　65　°；②若∠B＝α，∠D＝β，则∠BMD＝　α+β　；（2）猜想：图中∠B，∠D与∠BMD之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）过M点作MN∥AB即可．得到∠BMD＝∠B+∠D．（2）运用（1）的结论．（3）运用（1）的结论．【解答】解：（1）如图，过M点作MN∥AB，∴MN∥AB∥CD，∴∠BMN＝∠B，∠DMN＝∠D，∴∠BMD＝∠BMN+∠DMN＝∠B+∠D＝25°+40°＝65°，故答案为：65．（2）同理，∠B＝α，∠D＝β，∴∠BMD＝∠B+∠D＝α+β，故答案为：α+β．（3）同理，∠BMD＝∠B+∠D．22．（2022春•龙岗区校级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠C之间数量关系时，有如下发现：（1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝　65°　；（2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝　150°　；（3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，进而根据平行线的性质得到∠APD＝∠A+∠D即可解答；（2）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，进而得到∠A+∠APQ＝180°，∠D+∠DPQ＝180°，求出∠DPQ＝30°，进一步求出∠D即可；（3）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到α+∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ，进而得出β＝∠BPQ+γ，进一步求出α+β﹣γ＝180°．【解答】解：（1）过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠A＝∠APQ，∠D＝∠DPQ，∵∠A＝30°，∠D＝35°，∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝∠A+∠D＝30°+35°＝65°．故答案为：65°；（2）过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠A+∠APQ＝180°，∠D+∠DPQ＝180°，∵∠A＝150°，∴∠APQ＝30°，∵∠APD＝60°，∴∠DPQ＝30°，∴∠D＝180°﹣∠DPQ＝180°﹣30°＝150°．故答案为：150°；（3）过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴α+∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ，∴∠BPQ＝180°﹣α，∵β＝∠BPQ+∠DPQ，∴β＝∠BPQ+γ，∴β＝180°﹣α+γ，即α+β﹣γ＝180°．23．（2022秋•甘井子区校级期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC在平面内．（1）若∠AOC与∠BOC互补，则∠BOC　30°或150°　；（2）射线OC在直线OA的上方时，射线OA的反向延长线与射线OC形成的夹角是α（0°＜α＜180°），OM平分∠AOC．①若∠BOC＝90°，求∠MOB的度数为 　105°　；②是否存在α的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意可知OC的位置有两种情况，分情况讨论计算∠BOC 的值；（2）①读懂题意，确定OC，OM 的位置，根据角平分线定义，角的和差，计算∠MOB的度数；②读懂题意，根据OC的两种位置，分情况计算α的值．【解答】解：（1）如图，∵∠AOB＝120°，∠AOC与∠BOC互补，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOB+∠BOC+∠BOC＝180°，∴120°+2∠BOC＝180°，∴∠BOC＝30°；如图，∵∠AOB＝120°，∠AOC与∠BOC互补，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC﹣∠AOB+∠BOC＝180°，∴2∠BOC﹣∠AOB＝180°，∴2∠BOC﹣120＝180°∴∠BOC＝150°；∴∠BOC的值为 30°或150°；故答案为：30°或150°；（2）①∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∴∠AOC＝30°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM＝∠AOC＝×30°＝15°，∴∠MOB＝∠COM+∠BOC＝15°+90°＝105°，故答案为：105°；②存在，理由如下：∵∠MOC与∠BOC互余，∴∠MOC+∠BOC＝90°，∵∠MOC＝（180°﹣α），∠BOC＝180°﹣120°﹣α，∴（180°﹣α）+180°﹣120°﹣α＝90°，∴α＝40°；∵∠MOC与∠BOC互余，∴∠MOC+∠BOC＝90°，∵∠MOC＝（180°﹣α），∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝∠AOB﹣2∠MOC＝120°﹣2×（180°﹣α）＝α﹣60°，∴（180°﹣α）+α﹣60°＝90°，∴α＝120°，∴α的值为40°或120°．