专题11.8 一元一次不等式全章六类必考压轴题-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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必考点1
不等式(组)的整数解问题
1.（2020春·重庆巴南·七年级统考期末）若整数a使关于x的不等式组x+12≤2x+56x−2>a至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是( )．
A．－3B．－4C．－10D．－14
【答案】D
【分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数得到a−2=−6或−12，从而确定所有满足条件的整数a的值的和．
【详解】解：x+12⩽2x+56x−2>a，
不等式组整理得：x⩽2x>a+2，
由不等式组至少有4个整数解，得到a+2<−1，
解得：a<−3，
解方程组ax+2y=0x+y=6，得x=−12a−2y=6aa−2，
又∵关于x，y的方程组ax+2y=0x+y=6的解为正整数，
∴a−2=−6或−12，
解得a=−4或a=−10，
∴所有满足条件的整数a的值的和是−14．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出a的范围，本题属于中等题型．
2.（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的不等式组3x+m<0x>−5的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围为_________
【答案】3⩽m<6或−6⩽m<−3．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据所有整数解的和为﹣9可以确定有哪些整数解，再根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
【详解】解：∵ 3x+m<0①x>−5②，
由①得，x<−m3，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为−5∵不等式组的所有整数解的和为−9，
∴不等式组的整数解为−4、−3、−2或−4、−3、−2、−1、0、1．
I.当不等式组的整数解为−4、−3、−2时，有−2<−m3⩽−1，
∴m的取值范围为3⩽m<6；
II.当不等式组的整数解为−4、−3、−2、−1、0、1时，有1<−m3⩽2，
∴m的取值范围为−6⩽m<−3．
故答案为：3⩽m<6或−6⩽m<−3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式组的解集，并会根据整数解的情况确定m的取值范围是解决本题的关键．
3.（2018春·湖北荆州·七年级统考期末）如果不等式组3x−a≥02x−b<0的整数解仅为2，且a、b均为整数，则代数式2a2+b的最大值＝______．
【答案】78
【分析】解不等式组后依据整数解仅为2可得1＜a3≤22＜b2≤3，解之得到a、b的范围，再进一步利用a、b均为整数求解可得．
【详解】解不等式3x-a≥0，得：x≥a3，
解不等式2x-b＜0，得：x＜b2，
∵整数解仅为2，
∴1＜a3≤22＜b2≤3，
解得：3＜a≤6，4＜b≤6，
∵a、b均为整数，
∴当a=6、b=6时，2a2+b取得最大值，最大值为2×62+6=78，
故答案为78．
【点睛】考查了一元一次不等式组的整数解，注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解的，所以要找出在这范围内的整数．
4.（2021春·全国·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）已知不等式组3x+a<2x,−13x<53x+2,有解但没有整数解，则a的取值范围为________．
【答案】0≤a<1
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可
【详解】∵3x+a<2x,①−13x<53x+2,②，
∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，
∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，
∵不等式组3x+a<2x,−13x<53x+2,有解但没有整数解，
∴−a≤0−1<−a，
∴0≤a<1，
故答案为：0≤a<1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键．
5.（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知关于x的不等式3x−a≥1只有两个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A．−10【答案】B
【分析】先解不等式得出x≥a+13，根据不等式只有2个负整数解知其负整数解为−1 和−2，据此得出−3【详解】解∶∵3x−a≥1，
∴x≥a+13，
∵不等式只有2个负整数解，
∴不等式的负整数解为−1 和−2，
则−3解得∶−10故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．
6.（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组3x−5≥12x−a<8的最大整数解为3，则符合条件的所有整数a的和为________．
【答案】−1
【分析】先求出不等式组的解集为2≤x【详解】解：由3x−5≥1得x≥2，
由2x−a<8得x∴不等式组的解集为2≤x∵关于x的不等式组3x−5≥12x−a<8的最大整数解为3，
∴3解得−2∴整数a可以取−1，0，
∴a的所有整数解的和为−1+0=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查求不等式组中字母的值，解题的关键是能够确定字母的取值范围．
必考点2
不等式组的有解或无解问题
1.（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）不等式组x≥m−2x≤3m+4有解，则m的取值范围是______．
【答案】m≥−3
【分析】首先解不等式，利用m表示出两个不等式的解集，根据不等式组有解即可得到关于m的不等式，从而求解．
【详解】解：∵不等式组x≥m−2x≤3m+4有解，
∴m−2≤3m+4，
解得m≥−3
故答案为：m≥−3
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2.（2022春·贵州黔南·七年级统考期末）已知关于x、y的二元一次方程组x−y=a+32x+y=5a的解满足x>y，且关于x的不等式组2x+1<2a2x−114≥37无解，那么所有符合条件的整数a的个数为________．
【答案】7
【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出a的范围，最后得出答案即可．
【详解】解方程组x−y=a+32x+y=5a得：x=2a+1y=a-2
∵方程组的解满足x>y
∴2a+1>a-2，解得a>−3
解不等式组2x+1<2a2x−114≥37得：x∵关于x的不等式组2x+1<2a2x−114≥37无解
∴a−12≤72，解得a≤4
∴−3∴所有符合条件的整数a为-2，-1,0,1,2,3,4，共7个
故答案为7
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键．
3.（2019春·河南商丘·七年级统考期末）关于x的方程k−2x=3(k−2)的解为非负数，且关于x的不等式组x−2(x−1)≤32k+x3≥x有解，则符合条件的整数k的值的和为__________．
【答案】5
【分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求求出相应的k的值即可解答本题．
【详解】解：解方程k−2x=3(k−2)，得：x=3−k，
由题意得3−k⩾0，
解得：k⩽3，
解不等式x−2(x−1)⩽3，得：x⩾−1，
解不等式2k+x3⩾x，得：x⩽k，
∵不等式组有解，
∴k⩾−1，
则−1⩽k⩽3，
∴符合条件的整数k的值的和为−1+0+1+2+3=5，
故答案为5．
【点睛】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4.（2021春·山东滨州·七年级统考期末）某班数学兴趣小组对不等式组x>3,x≤a讨论得到以下结论：①若a=5，则不等式组的解集为3A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】根据解不等式组的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，找到参数的取值范围解决问题．
【详解】解：①a=5时，x比小的大，比大的小，取中间，即解集为3②a=2时，x比小的小，比大的大，无处取解，即无解，故②正确；
③要使不等式组无解，则要求x比小的小，比大的大，即a要小于3，当a=3时，a>3a≤3仍然无解，故a的取值范围为a≤3，故③错误；
④要使不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为5≤a<6，则a的值可以为5.3，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式组的含参问题，解决本题的关键是熟记解不等式组的口诀，注意临界值是否取等．
5.（2022春·河北衡水·七年级校考期末）已知题目：解关于x的不等式组5x+2≤3x−55−x<□，其中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处不可以是（ ）
A．172B．152C．8D．9
【答案】D
【分析】设“□”处是a，根据题意可得：5x+2≤3x−5①5−x【详解】解：设“□”处是a，
由题意得：
5x+2≤3x−5①5−x解不等式①得：x≤−3.5，
解不等式②得：x>5−a，
∵不等式组无解，
∴5−a≥−3.5，
∴a≤8.5，
∴“□”处不可以是9，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
6.（2021·浙江·九年级自主招生）已知不等式组x>12a−1A．a≠0B．a<2C．a<0D．0【答案】A
【分析】首先解出不等式组中两个不等式的解集，然后根据不等式组有解，确定a的范围即可．
【详解】解：x>12a−1解x>1得：x>1或x<−1
解2a−1如果不等式有解，则2a−1<−1a+1>1
解得a<0a>0
即：a≠0
故选A
【点睛】本题考查了不等式组的解法与解集的确定，熟练确定不等式的解集是解题关键．
7．（2023春·七年级课时练习）关于x的不等式组a−x>32x+8>4a有解且每一个x的值均不在−2≤x≤6的范围中，则a的取值范围是（ ）
A．a<1B．a≤1C．1【答案】A
【分析】求出不等式组a−x>32x+8>4a的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．
【详解】解：由a−x>32x+8>4a，
解得：2a−4由x的不等式组a−x>32x+8>4a的解集中每一个值均不在−2≤x≤6的范围中，
得：2a−4≥6或a−3≤−2，
解得：a≥5或a≤1，
∵不等式组a−x>32x+8>4a有解，
∴2a−4解得：a<1，
综上分析可知，a<1，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点．
必考点3
利用不等式求最值
1.（2020春·湖南长沙·七年级校联考期中）已知非负实数x、y、z满足x−12=2−y3=z−34，记M=x+2y+3z．则M的最大值减去最小值的差为________．
【答案】283．
【分析】设x−12=2−y3=z−34=k，将x、y、z用k表示出来，由x、y、z均为非负实数得关于k的不等式组，求出k取值范围，再将M=x+2y+3z转化为k的代数式，由k的范围即可确定M的最大值和最小值，从而即可求差．
【详解】设x−12=2−y3=z−34=k，
∴x=2k+1，y=2−3k，z=4k+3，
∵x≥0，y≥0，z≥0，
∴2k+1≥02−3k≥04k+3≥0，
解不等式组得−12≤k≤23，
∵M=x+2y+3z，
∴M=2k+1+22−3k+34k+3=8k+14，
∵10≤8k+14≤583,即10≤M≤583，
M的最大值为583，最小值为10，
M的最大值减去最小值的差=583−10=283，
故答案为：283．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，解题关键是设比例式值为k，通过已知确定k的取值范围．
2.（2019春·湖北武汉·七年级统考期末）已知x+y+z=15−3x−y+z=−25，x、y、z为非负数，且N=5x+4y+z，则N的取值范围是__________.
【答案】55≤N≤65
【分析】由x+y+z=15−3x−y+z=−25，可得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并将N转化为关于x的表达式，将x的最大值和最小值代入解析式即可得到N的最大值和最小值．
【详解】解：∵x+y+z=15−3x−y+z=−25，
∴解关于y，z的方程可得：y=20−2xz=x−5，
∵x、y、z为非负数，
∴y=20−2x≥0z=x−5≥0x≥0，
解得5≤x≤10，
∴N=5x+4y+z=5x+4(20−2x)+(x−5) =−2x+75，
∵-2＜0，∴N随x增大而减小，
∴故当x=5时，N有最大值65；
当x=10时，N有最小值55．
∴55≤N≤65．
故答案为55≤N≤65．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质的知识，解决本题的关键是根据题目方程组，求得用N表示的x、y、z表达式，进而根据x、y、z皆为非负数，求得N的取值范围．
3.（2020春·北京大兴·七年级统考期末）我们定义acbd=ad−bc，例如1324=1×4−2×3=4−6=−2．若x,y，是整数，且满足1<2yx3<3，则x+y的最小值是__________．
【答案】-5
【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解．
【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3，
则3＜xy＜5，
又∵x、y均为整数，
∴x=1，y=4；此时，x+y=5；
x=2，y=2；此时，x+y=4；
x=-1，y=-4；此时，x+y=-5；
x=-2，y=-2；此时，x+y=-4；
故x+y的最小值是-5，
故答案为-5．
【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．
4.（2022春·福建福州·七年级统考期末）已知a、b、c满足3a+2b−4c=6，2a+b−3c=1，且a、b、c都为正数．设y=3a+b−2c，则y的取值范围为（ ）
A．3【答案】A
【分析】把c当作常数解方程组，再代入y，根据a、b、c都为正数，求出c的取值范围，从而求解．
【详解】解：∵3a+2b−4c=6，2a+b−3c=1，
∴a=2c−4，b=9−c，
∴y=3a+b−2c
=3(2c−4)+9−c+2c
=3c−3，
∵a、b、c都为正数，
∴2c−4>09−c>0，
∴2∴3<3c−3<24，
∴3故选：A．
【点睛】本题是不定方程和不等式组的综合题是一道难度不小的综合题，求出c的取值范围是解题的关键．
5.（2022春·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）已知x，y同时满足x+3y=4−m，x−5y=3m，若y>1−a，3x−5≥a，且x只能取两个整数，则a的取值范围是_____．
【答案】2【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解．
【详解】解：由x+3y=4−m①与x−5y=3m②进行如下运算：
①×3+②得到：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴y=3−x，
∵y>1−a，3x−5≥a，
∴3−x>1−a3x−5≥a，
故x∵x只能取两个整数，
故令整数的值为n，n+1，
则n−1故n−1∴n−1<3n−5，且3n−8∴2∴n=3，
∴2∴2【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式组的解集，能够熟练地进行等量代换是解决本题的关键．
6.（2022秋·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）当三个非负实数x，y，z满足关系式x+3y+2z=3与3x+3y+z=4时，M=3x−2y+4z的最小值和最大值分别是多少？
【答案】M=3x−2y+4z的最小值为−16，最大值为7
【分析】根据关系式x+3y+2z=3与3x+3y+z=4求出y和z与x的关系式，又因x，y，z均为非负实数，求出x的取值范围，于是可以求出M的最大值和最小值．
【详解】解：∵x+3y+2z=33x+3y+z=4，
解得：y=531−xz=2x−1，
∴M=3x−2y+4z
=3x−1031−x+42x−1
=3x−1031−x+42x−1
=433x−223，
又∵x，y，z均为非负实数，
∴x≥0531−x≥02x−1≥0，
解得：12≤x≤1，
当x=12时，M有最小值为：433×12−223=−16，
当x=1时，M有最大值为：433×1−223=7．
∴M=3x−2y+4z的最小值为−16，最大值为7．
【点睛】本题考查函数最值问题，涉及三元一次方程组，一元一次不等式组，非负数等知识点．解题的关键是用x表示出y和z．
必考点4
不等式中的新定义问题
1.（2017秋·山东潍坊·九年级统考期末）设x为非负实数，将x“四舍五入”到整数的值记为＜x＞（可读作尖括号x），即当非负实数x满足n﹣12≤x＜n+12时，其中n为整数，则＜x＞=n．如＜0.48＞=0，＜5.5＞=6，＜3.49＞=3．如果＜x﹣2.2＞=5，那么x的取值范围是_____．
【答案】6.7≤x＜7.7
【分析】利用对非负实数x“四舍五入”到整数的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围..
【详解】∵＜x-2.2＞=5，
∴4.5≤x-2.2＜5.5
∴6.7≤x＜7.7．
故答案为6.7≤x＜7.7．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．
2.（2022春·江苏南通·七年级校考期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>1x−2<3的解集为21x−2<3的“相依方程”．
(1)在方程①6(x+2)−(x+4)=23；②9x−3=0；③2x−3=0中，不等式组{2x−1>x+13(x−2)−x≤4的“相依方程”是________；（填序号）
(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>xx−12≥2x+13−1的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x−3m2=−2是关于x的不等式组{x+1>mx−m≤2m+1的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)①
(2)−9(3)32【分析】（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组−1（3）先解不等式组可得m−132, 从而可得答案．
【详解】（1）解：①6(x+2)−(x+4)=23，
整理得：5x=15, 解得：x=3,
②9x−3=0，
解得：x=13,
③2x−3=0，
解得：x=32.
{2x−1>x+13(x−2)−x≤4
解不等式2x−1>x+1可得：x>2,
解不等式3(x−2)−x≤4可得：x≤5,
所以不等式组的解集为：2根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①
（2）解：{3x+12>x①x−12≥2x+13−1②
由①得：x>−1,
由②得：x≤1,
所以不等式组的解集为：−1∵ 3x−k=6，
∴x=k+63
根据“相依方程”的含义可得：
−1∴−3解得：−9（3）解：{x+1>m①x−m≤2m+1②
由①得：x>m−1,
由②得：x≤3m+1,
∴不等式组的解集为：m−1此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为：n,n+1,n+2,n+3,n+4,
∴{n−1≤m−1∴{n≤m则{n解得：0∴{1≤m<243≤m<53,
∴43≤m<53,
因为x−3m2=−2，
解得：x=3m−4,
根据“相依方程”的含义可得：{m−1<3m−43m−4≤3m+1,
解m−1<3m−4可得：m>32,
而3m−4≤3m+1恒成立，
所以不等式组的解集为：m>32,
综上：32【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．
3.（2021春·江苏常州·七年级统考期末）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①2x−4=05x−2＜3；
②x−53=2−3−x2x+32−1＜3−x4．
（2）若关于x的组合5x+15=03x−a2＞a是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合5a−x2−3=2x−3ax−a2+1≤x+a是“无缘组合”；求a的取值范围．
【答案】（1）①组合是“无缘组合”，②组合是“有缘组合”；（2）a＜-3；（3）a<813
【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可；
（2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围；
（3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围．
【详解】解：（1）①∵2x-4＝0，
∴x=2，
∵5x-2＜3，
∴x＜1，
∵2不在x＜1范围内，
∴①组合是“无缘组合”；
②x−53=2−3−x2，
去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x），
去括号，得：2x-10＝12-9+3x，
移项，合并同类项，得：x＝-13．
解不等式x+32−1<3−x4，
去分母，得：2（x+3）-4＜3-x，
去括号，得：2x+6-4＜3-x，
移项，合并同类项，得：3x＜1，
化系数为1，得：x＜13．
∵-13在x＜13范围内，
∴②组合是“有缘组合”；
（2）解方程5x+15＝0得，
x＝-3，
解不等式3x−a2>a，得：
x＞a，
∵关于x的组合5x+15=03x−a2>a是“有缘组合”，
∴-3在x＞a范围内，
∴a＜-3；
（3）解方程5a−x2−3=2x−3a，
去分母，得5a-x-6＝4x-6a，
移项，合并同类项，得：5x＝11a-6，
化系数为1得：x＝11a−65，
解不等式x−a2+1≤x+a，
去分母，得：x-a+2≤2x+2a，
移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，
∵关于x的组合5a−x2−3=2x−3ax−a2+1≤x+a是“无缘组合，
∴11a−65<-3a+2，
解得：a<813．
【点睛】本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解．
4.（2021春·辽宁葫芦岛·七年级校考期中）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即：当为非负整数时，如果n−12≤x=n，则n−12≤x例如：<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<3>=3,<3.5>=<4.12>=4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅
试解决下列问题：
(1)填空：①<π>=_________（π为圆周率）；②如果=3，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组2x−43≤x−1〈a〉−x>0的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足〈x〉=43x的所有非负实数x的值．
【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5；
(2)1.5≤a＜2.5；
(3)0，34，32．
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；
②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用＜x＞=43x设43x=k，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．
【详解】（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
（2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
（3）∵x≥0，43x为整数，
设43x=k，k为整数，则x=34k，
∴＜34k＞=k，
∴k-12≤34k＜k+12，k≥0，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0，34，32．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．
5.（2022春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期中）将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为M，将不等式（组)的解集记为N，给出定义：若M中的数都在N内，则称M被N包含；若M中至少有一个数不在N内，则称M不能被N包含．如，方程组x=0x+y=2的解为x=0y=2，记A:{0，2}，方程组x=0x+y=4的解为x=0y=4，记B:{0，4}，不等式x−3<0的解集为x<3，记H:x<3．因为0，2都在H内，所以A被H包含；因为4不在H内，所以B不能被H包含．
(1)将方程组2x−y=53x+4y=2的解中的所有数的全体记为C，将不等式x+1⩾0的解集记为D，请问C能否被D包含？说明理由；
(2)将关于x，y的方程组2x+3y−5a=−1x−2y+a=3的解中的所有数的全体记为E，将不等式组3(x−2)⩾x−42x+13>x−1的解集记为F，若E不能被F包含，求实数a的取值范围．
【答案】(1)C能被D包含．理由见解析
(2)实数a的取值范围是a<2或a⩾3
【分析】（1）解方程组求得方程组的解为x=2y=−1，不等式x+1≥0的解集为x≥﹣1，2和﹣1都在D内，即可证得C能被D包含；
（2）解关于x，y的方程组2x+3y−5a=−1x−2y+a=3得到它的解为x=a+1y=a−1，得到E：{a+1，a﹣l}，解不等式组3(x−2)⩾x−42x+13>x−1得它的解集为1≤x＜4，根据题意得出a﹣1＜1或a+1≥4，解得a＜2或a≥3．
（1）
C能被D包含．理由如下：
解方程组2x−y=53x+4y=2得到它的解为x=2y=−1，
∴C:{2，−1}，
∵不等式x+1⩾0的解集为x⩾−1，
∴D:x⩾−1，
∵2和−1都在D内，
∴C能被D包含；
（2）
解关于x，y的方程组2x+3y−5a=−1x−2y+a=3得到它的解为x=a+1y=a−1，
∴E:{a+1，a−l}，
解不等式组3(x−2)⩾x−42x+13>x−1得它的解集为1⩽x<4，
∴F: 1⩽x<4，
∵E不能被F包含，且a−1∴a−1<1或a+1⩾4，
∴a<2或a⩾3，
所以实数a的取值范围是a<2或a⩾3．
【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组和一元一次不等式（组），理解被包含的定义是解题关键，属于中档题．
6.（2022春·重庆·九年级校联考期中）若一个四位自然数满足千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大3，我们称这个数为“多多数”．将一个“多多数”m各个数位上的数字倒序排列可得到一个新的四位数m′，记Fm=m−m′−540909．
例如：m=4512，∴m′=2154，则F4512=4512−2154−540909=2
(1)判断7643和4631是否为“多多数”？请说明理由；
(2)若A为一个能被13整除的“多多数”，且FA≥0，求满足条件的“多多数”A．
【答案】(1)7643是“多多数”， 4631不是“多多数”，
(2)5421或6734
【分析】（1）根据新定义，即可判断；
（2）设A的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为x+3，千位数字为y+3，根据新定义，分别表示出A、F（A），根据A为一个能被13整除的“多多数”，且FA≥0，，列出关系式，进而求解．
【详解】（1）在7643中，7-4=3，6-3=3，
∴7643是“多多数”，
在4631中，3-3=1，6-1=5，
∴4631不是“多多数”，
（2）设A的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为x+3，千位数字为y+3，
∴A表示的数为1000(y+3)+100(x+3)+10y+x=1010y+101x+3300
A′=1000x+100y+10(x+3)+(y+3)=1010x+101y+33
∴A−A′=909y−909x+3267
∴FA=A−A′−540909=909y−909x+3267−540909=y−x+3
∵FA≥0
∴y−x+3≥0
∴y≥x−3
∵个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为x+3，千位数字为y+3，
∴1≤x≤90≤y≤90≤x+3≤91≤y+3≤9，解得1≤x≤60≤y≤6
∴x、y的范围为1≤x≤60≤y≤6y≥x−3，且x、y为整数
∵若A为一个能被13整除的“多多数”，
∴ A=1010y+101x+3300
=(13×77+9)y+(13×7+10)x+13×253+11
=13(77y+7x+253)+9y+10x+11
当x=1时，9y+10x+11=9y+21=9y+8+13，0≤y≤6，
y的值可以为0、1、2、3、4、5、6，分别代入9y+8+13后结果是13的倍数的是y=2
同理，当x=2时，9y+10x+11=9y+31=9y+5+26，0≤y≤6，没有符合条件的y；
当x=3时，9y+10x+11=9y+41=9y+2+39，0≤y≤6，没有符合条件的y；
当x=4时，9y+10x+11=9y+51=9y+12+39，1≤y≤6，符合条件的y=3；
当x=5时，9y+10x+11=9y+61=9y+9+52，2≤y≤6，没有符合条件的y；
当x=6时，9y+10x+11=9y+71=9y+6+65，3≤y≤6，没有符合条件的y；
综上符合条件的是x=1y=2、x=4y=3
当x=1y=2时A为5421，
当x=4y=3时A为6734
综上足条件的“多多数”A为5421或6734．
【点睛】本题考查整式运算的应用、解不等式，是一道新定义题目，解题的关键是能够根据定义列出关系式并确定个位和十位数的取值范围，进而求解．
必考点5
解绝对值不等式
1.（2021秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）若关于x的不等式a≥x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5有解，则a的取值范围是__________.
【答案】a≥15
【分析】根据绝对值的几何意义，可把x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5取得最小值15，即可求出a的取值范围．
【详解】解：由绝对值的几何意义可得，
把x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，
∴当x位于第8个点时，即当x=-4时，
x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5的最小值为15，
∵a≥x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5，
∴当关于x的不等式a≥x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5有解时，
a的取值范围是a≥15．
故答案为：a≥15．
【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5的最小值．
2.（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）已知不等式12x−2−5−1>12ax−2+2的解是x<12，则a＝_______．
【答案】−5
【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据x<12列方程求解即可．
【详解】∵12x−2−5−1>12ax−2+2
x−2−5−2>ax−2+2
x−2−ax−2>2+2+5
1−ax−2>9
∴1−a>0，即a<1，
∴x−2>91−a
∴x−2<−91−a或x−2>91−a
∴x<−91−a+2或x>91−a+2
∵不等式的解是x<12，
∴x>91−a+2应舍去，
∴−91−a+2=12，解得a=−5，
经检验，a=−5是方程的解．
故答案为：−5．
【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解．
3.（2021春·浙江·七年级期中）能够使不等式x−x1+x<0成立的x的取值范围_______．
【答案】x＜-1
【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围．
【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0，
于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0；
当x＜0时，|x|-x=-2x＞0，
x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1，
所以x的取值范围是x＜-1．
故答案为：x＜-1．
【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度．
4.（2020秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）解不等式：|x|−4+2x+3>8
【答案】x＜-5或x＞1
【分析】根据相应的x的特殊值进行分段，从而去绝对值化简，再分别求解，最后将解集合并．
【详解】解：令|x|−4=0，解得：x=±4，
令2x+3=0，解得：x=−32，
∴当x＜-4时，−x−4−2x+3>8，
解得：x＜-5，
∴此时x＜-5；
当-4≤x＜−32时，x+4−2x+3>8，
解得：x＜-7，
∴此时无解；
当−32≤x＜0时，x+4+2x+3>8，
解得：x＞13，
∴此时无解；
当0≤x＜4时，−x+4+2x+3>8，
解得：x＞1，
∴此时1＜x＜4；
当x≥4时，x−4+2x+3>8，
解得：x＞3，
∴此时x≥4；
综上：不等式的解集为：x＜-5或x＞1．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，解题时要结合绝对值的意义进行分段，分别求解，注意最后要合并解集．
5.（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式x−2的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为x+1=x−−1，所以x+1的几何意义就是数轴上x所对应的点与−1所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式x+1+x−2的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点A,B,P分别表示的是−1, 2, x ，AB=3．
∵x+1+x−2的几何意义是线段PA与PB的长度之和
∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3;当点点P在点A的左侧或点B的右侧时 PA+PB>3
∴x+1+x−2的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.x−4+x+2的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：x+3+x−1>4
③.当a为何值时，代数式x+a+x−3的最小值是2．
【答案】①6；②x<−3或x>1；③a=−1或a=−5
【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；
②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，
∴|x−4|表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
|x+2|=|x−(−2)|表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，
∴|x−4|+|x+2|的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，
且线段AB的长度为6，
∴|x−4|+|x+2|的最小值为6.
故答案为：6.
②设A表示-3，B表示1，P表示x，
∴线段AB的长度为4，则，
|x+3|+|x−1|的几何意义表示为PA+PB，
∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，
∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，
即不等式的解集为x<−3或x>1．
故答案为：x<−3或x>1．
③设A表示-a，B表示3，P表示x，
则线段AB的长度为|−a−3|，
|x+a|+|x−3|的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，
∴|−a−3|=2
∴a+3=2或a+3=−2，
即a=−1或a=−5；
故答案为：a=−1或a=−5.
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键．
必考点6
方程与不等式（组）的实际应用
1.（2022秋·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）小李和小张一起承包36亩的土地作为果园基地，他们将36亩土地分成一号、二号、三号区域，三个区域的土地面积均为整数亩，分别用于种植苹果树、桃树、梨树其中的一种（每块区域可任意选择三种果树的一种，同一块区域只能种同一种果树）．小李和小张提出两种种植方案，小李的方案为：在一号区域种苹果、二号区域种桃树、三号区域种梨树；小张的方案为：在一号区域种苹果、在二号区域种梨树、在三号区域种桃树，每种树苗按亩计价，且单价为整数，苹果树苗每亩100元，桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，小李方案中，桃树和梨树共花费1590元，小张的方案比小李的方案少花30元．应如何安排三个区域种植树苗的类型，可以使花费最少，最少花费为___________元．
【答案】2980
【分析】设小李方案中桃树为x亩，则梨树为36−36×512−x=21−x亩，每亩桃树为a元，每亩梨树为b元，然后根据小李和小张的花费求得a+b=150，再根据桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，求得8≤a−b≤14，则79≤a≤82，再根据每亩桃树的花费为整数，结合小李方案的花费求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：设小李方案中桃树为x亩，则梨树为36−36×512−x=21−x亩，每亩桃树为a元，每亩梨树为b元，
由题意得：ax+b21−x=1590bx+a21−x=1590−30，
∴a+b=150，
又∵桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，
∴8≤a−b≤14，
∴8≤a−150−a≤14，
∴158≤2a≤164，
∴79≤a≤82，
∵每亩桃树的花费为整数，
∴当a=79时，b=71，
∴79x+7121−x=1590，
解得x=998（不是整数，舍去），
同理当a=80时，b=70，求得x=12（符合题意）；
同理当a=81时，b=69，求得x=474（不是整数，舍去）；
同理当a=82时，b=68，求得x=827（不是整数，舍去）；
∴只有当a=80，b=70符合题意；
∵桃树的价格比梨树的贵，
∴要使花费最少，则种植的桃树面积要最少，
∵x>021−x>0，
∴0∴当x=1时，花费最少，最少为100×36×512+80×1+70×21−1=2980元
∴应该种植苹果树15亩，桃树1亩，梨树20亩时，可以使得花费最少，最少花费为2980元，
故答案为：2980．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程与不等式实际应用，解题的关键在于能够正确理解题意，设出未知数得到相应的方程和不等式．
2.（2022秋·重庆合川·九年级校考期中）冬季运动越野滑雪的路段分为上坡、平地、下坡三种类型，滑雪者在同种路段中滑行速度保持不变．运动爱好者小明上坡滑雪3分钟与平地滑雪2分钟的路程相等．第一次训练中，他上坡、平地、下坡滑雪的时间分别是2分钟、2分钟、3分钟．第二次训练中，他上坡、平地、下坡滑雪的时间分别比第一次多了50%、50%、20%，总路程比第一次多32%．第三次训练所用时间为第一次的3倍，其中上坡、平地、下坡滑雪的时间依次减少，且总路程是第二次的2倍．设第三次训练中平地滑雪时间为b分钟，若b为整数，则b的值为 _____．
【答案】7
【分析】设小明上坡滑雪的速度为2v，平地滑雪的速度为3v，下坡滑雪的速度为v下坡，第一次的路程为S1，则可得第一次训练时S1=2×2v+2×3v+3×v下坡；表示出第二次训练的时间，则可得第二次训练时S1×1+32％=1.32S1；1.32S1=3×2v+3×3v+3.6×v下坡；设第三次训练时间为：上坡滑雪a分钟，平地滑雪b分钟，下坡滑雪c分钟，则由题意可得a+b+c=3×2+2+3=21，其中a>b>c，a×2v+b×3v+c×v下坡=2.64S1，消元整理后得到a+b+c=212a+3b+5c=66，解得a=13−2b3c=8−b3，根据a>b>c求出b的整数解即可．
【详解】解：设小明上坡滑雪的速度为2v，平地滑雪的速度为3v，下坡滑雪的速度为v下坡，第一次的路程为S1
则由题意可得S1=2×2v+2×3v+3×v下坡
第二次的训练时间为：上坡滑雪2×1+50％=3分钟，平地滑雪2×(1+50％)=3分钟，下坡滑雪3×(1+20％)=3.6分钟
第二次路程为S1×1+32％=1.32S1
则由题意可得1.32S1=3×2v+3×3v+3.6×v下坡
设第三次训练时间为：上坡滑雪a分钟，平地滑雪b分钟，下坡滑雪c分钟
则由题意可得a+b+c=3×2+2+3=21，其中a>b>c
a×2v+b×3v+c×v下坡=2.64S1
解S1=2×2v+2×3v+3×v下坡得：v下坡=S1−10v3
将v下坡=S1−10v3代入1.32S1=3×2v+3×3v+3.6×v下坡得1.32S1=3×2v+3×3v+3.6×S1−10v3
解得v=0.04S1
将v=0.04S1，v下坡=S1−10v3代入a×2v+b×3v+c×v下坡=2.64S1得a×2×0.04S1+b×3×0.04S1+c×S1−10×0.04S13=2.64S1
解得2a+3b+5c=66
∴a+b+c=212a+3b+5c=66
解得a=13−2b3c=8−b3
∴a=13−2b3>b
解得b<395，
c=8−b3解得b>6
∴6∵b是整数
∴b的值为7
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组．解题的关键在于理解题意，正确的列方程求解．
3.（2022春·上海崇明·六年级校考期中）“无体育，不巴蜀”，在即将开始的中考体育测试中，初三学生正在全力以赴做最后的冲刺训练．若年级所有班级中人数最少的有61人，最多的有77人，在一次体育测试中，某班男生的平均分比女生多了0.25分，小莹抱怨道：“我们女生就是15分的小佳拖了后腿，要是没有她，我们女生的平均分会比男生还多1分．”小峰反驳说：“我们男生要是不算得了9分的小友，平均分也会再多1分．”班长小伟听到他们的对话后说：“让我们一起帮助他们，如果小佳和小友的体育成绩都能提高到_________分，那么男生和女生的平均分就一样了．”
【答案】50
【分析】设该班女生有x人，男生有y人，女生的平均分为a分，则男生的平均分为（a+0.25）分，小佳和小友的体育成绩都能提高到m分，那么男生和女生的平均分就一样了；根据小莹、小峰及小伟的言论，即可得出关于a，x，y的方程组，由①②变形后代入③可得a=m-1.25⑥，分别将⑥代入①②可得出x=45m-12，y=m-9，结合x为正整数且61≤x+y≤77，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再由m为正整数且m为5的倍数，即可求出m的值．
【详解】解：设该班女生有x人，男生有y人，女生的平均分为a分，则男生的平均分为（a+0.25）分，
依题意，得：ax−15x−1−a+0.25+1①(a+0.25)y−9y−1=a+0.25+1②ax−15+mx=(a+0.25)y−9+my③，
由①，得：ax-15=（a+1.25）（x-1）④；
由②，得：（a+0.25）y=（a+1.25）（y-1）+9⑤．
将④⑤代入③，得：(a+1.25)(x−1)+mx=(a+1.25)(y−1)+my，
∴（a+1.25）[（x-1）y-（y-1）x]=m（x-y），
∴m=a+1.25，
∴a=m-1.25⑥．
将⑥代入①，得：(m−1.25)x−15x−1=m；
∴x=45m−12；
将⑥代入②，得：(m−1.25+0.25)y−9y−1=m，
∴y=m-9．
∵x为正整数，
∴m＞15，m为5的倍数．
∵x+y≥61x+y≤77，即45m−12+m−9≥6145m−12+m−9≤77，
∴4619≤m≤5449．
又∵m为正整数，且m为5的倍数，
∴m=50．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了二元一次不定方程的应用，根据班级人数的要求，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
4.（2022春·重庆梁平·九年级校联考期中）新学期开始，某出版社计划出版销售A、B、C三种书籍，每种书箱均是整数本出售．第一个星期，该出版社三种书籍的售价均为整数，且C种书籍的售价是其余两种书籍售价之和的3倍，同时C种书籍的售价小于39元且不低于27元，三种书籍第一个星期内售出数量之比为3：2：1．第二个星期由于纸张价格迅速上涨，人工成本也在增加，该出版社决定把部分书籍涨价销售，其中A种书籍售价不变，B种书籍的售价比第一周售价增加1倍，C种书籍售价比第一周售价上升了13，且第二个星期内，A种和C种书籍销量之比是4：5，B种书籍比第一个星期的销量减少20%．出版社结算发现，第一个星期三种书籍的总销售额比第二个星期A、C两种书籍的总销售额多517元，第一个星期三种书籍的总销售量与第二个星期三种书籍的总销售量之差不低于87本且小于115本，则这两个星期C种书籍的总销售额是__________．
【答案】2025元
【分析】设第一个星期A、B、C三种书籍售价分别是x、y、z元，其数量分别是3a、2a、a本，得到总销售额为(6ax+5ay)元；设第二个星期A、B、C三种书籍售价分别是x、2y、43z元，设A、C两种书数量分别是4b、5b本，B种书数量是1.6a本，得到总销售额为24bx+(3.2a+20b)y元；然后再根据“第一个星期三种书籍的总销售额比第二个星期A、C两种书籍的总销售额多517元”及两个星期的销售数量差不低于87本且小于115本求解．
【详解】解：设第一个星期A、B、C三种书籍售价分别是x、y、z元，其数量分别是3a、2a、a本，
由题意知：x、y、z均是整数，且27≤z＜39，
∵C种书籍的售价是其余两种书籍售价之和的3倍，
∴z = 3(y+x)，
则第一个星期三种书的销售总额为3ax+2ay+az=3ax+2ay+a(3y+3x)=(6ax+5ay)元，
第二个星期A、B、C三种书籍售价分别是x、2y、43z元，设A、C两种书数量分别是4b、5b本，B种书数量是1.6a本，
则第二个星期三种书的销售总额为4bx+3.2ay+20b3z=4bx+3.2ay+20b(y+x)=24bx+(3.2a+20b)y元，
第二个星期A、C两种书籍的销售额为4bx+20b3z=4bx+20b(y+x)=24bx+20by元，
∵第一个星期三种书籍的总销售额比第二个星期A、C两种书籍的总销售额多517元，
∴6ax+5ay=24bx+20by+517，
整理得到：6x(a−4b)+5y(a−4b)=517，
即(a−4b)(6x+5y)=517，
∵27≤z＜39，
∴27≤3(x +y)<39，
∴9≤x +y <13，0＜x＜13，0＜y＜13，
∴45≤5(x +y)<65，
∴45＜6x+5y<78，
∵517的因数有1和517、11和47这两组，
∴{6x+5y=47a−4b=11，
由6x+5y=47得到：y=47−6x5，
∵x,y均为正整数，
∴{x=2y=7或{x=7y=1，
∵9≤x +y <13，
∴{x=2y=7，
则z=3(x+y)=27，
∵第一个星期三种书籍的总销售量与第二个星期三种书籍的总销售量之差不低于87本且小于115本，
∴87≤|6a−(9b+1.6a)|<115，
由上面的销售额分析得到：a−4b=11，代入上述不等式中：
解得：42143≤|b|<73243
又b为正整数，
∴b=5或b=6或b=7，
对应的a=31或a=35或a=39，
又第二周三种书籍的销售量必须是正整数，
∴9b+1.6a为正整数，
当b=5，a=31时9b+1.6a=94.6，舍去，
当b=6，a=35时9b+1.6a=110，符合题意，
当b=7，a=39时9b+1.6a=125.4，舍去，
∴第一周销售A、B、C三种书籍售价分别是2、7、27元，其数量分别是105、70、35本；
第二周销售A、B、C三种书籍售价分别是2、14、36元，其数量分别是20、56、30本；
∴这两个星期C种书籍的总销售额是：27×35+36×30=2025元，
故答案为：2025元．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及整除问题，难度较大，理清题中数量关系是解题的关键．
5.（2022春·重庆渝北·九年级校考期中）贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．春节期间，开州书法协会开展现场书写并赠送春联的公益活动，按计划，会员甲需书写五字春联，会员乙需书写七字春联，会员丙需书写十二字春联各若干副，且他们分别书写一副完整的五字、七字和十二字春联所需时间分别是10分钟，15分钟和20分钟，若按计划完成任务，甲与丙的时间之和不超过10小时，且是乙的两倍．实际开展活动时，甲帮丙写了1副横批，乙帮丙写了n副横批，活动结束后，协会统计员惊讶地发现三人书写的字数一样多．则原计划丙需书写十二字春联_______副．
【答案】8
【分析】由题意得每副五字春联有2×5+4=14（字）；每副七字春联有2×7+4=18（字）；每副十二字春联有2×12+4=28（字）；若设甲、乙、丙三人最终每人都写了x字，则由题意可得甲社员原计划用时为x−414×10分钟，乙社员原计划用时x−4n18×15分钟，丙社员原计划用时x+4+4n28×20分钟．然后根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设活动结束时每人都写了x个字，则甲社员计划用时为x−414×10分钟，乙社员计划用时为x−4n18×15分钟，丙社员计划用时为x+4+4n28×20分钟，
由题意列方程x−414×10+x+4+4n28×20=2×x−4n18×15
整理得6x+12n=7x−28n
解得x=40n
由x−414×10+x+4+4n28×20≤60×10，把x=40n代入解得n≤10
∵1014x−4=101440n−4=20710n−1
又∵20710n−1应为整数
∴式中10n−1应是7的倍数
∴n=5
∴x=40×5=200
∴原计划丙需书写十二字春联x+4+4n28=200+4+4×528=8（副）
故答案为：8．
【点睛】本题考查了方程与不等式的应用．解题的关键在于审清题意，根据等量关系列方程．
6.（2021秋·重庆·九年级字水中学校考期中）据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的23且小于230本，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为______元．
【答案】28.25
【分析】设《长津湖》的销售单价为m元，则《五个扑水的少年》销售单价为n元；《长津湖》的日销售量a本，《铁道英雄》日销售量为b本，则《我和我的父辈》销售单价为m元，《铁道英雄》的销售单价为3n元；《五个扑水的少年》的日销售量为a本，《我和我的父辈》的日销售量为3b元，根据题意，列出相应的方程和不等式，得出未知数的取值范围，最后根据当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，即可求解．
【详解】解：设《长津湖》的销售单价为m元，则《五个扑水的少年》销售单价为n元；《长津湖》的日销售量a本，《铁道英雄》日销售量为b本，则《我和我的父辈》销售单价为m元，《铁道英雄》的销售单价为3n元；《五个扑水的少年》的日销售量为a本，《我和我的父辈》的日销售量为3b元，
∵《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，
∴a+b=450，即b=450-a，
∵《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的23且小于230本，
∴23b≤a<230 ，即23450−a≤a<230，
解得：180≤a<230 ，
∵《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元，
∴50∵《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，
∴ma+3nb−3mb+na=2205 ，
∵b=450-a，
∴ma+3n450−a−3m450−a+na=2205，
∴n1350−3a−m1350−3a+ma−na=2205 ，
∴m−n4a−1350=2205 ，
∵180≤a<230，
∴4a−1350<0，
∴m−n<0 ，即m∴当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，即ma+3nb=ma+3n450−a=ma+1350n−3na 最大，
∴此时3na的值最小，则m最大，
∵180≤a<230，
∴a的最小值为180，
将a=180代入m−n4a−1350=2205，
解得：m−n=−3.5 ，
即n=m+3.5 ，
∵50∴50∵m最大，
∴m=28.25 ，即当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为28.25元．
故答案为：28.25
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用等知识，根据题意设未知数，建立相应的方程和不等式求出未知数的值或取值范围是解决问题的关键．
7.（2022春·重庆梁平·九年级校联考期中）梁平百里竹海是国家4A级景区，位于重庆市梁平区西北部，景区内竹海绵延百里，风景迷人，其中“观音洞”、“寿海”、“竹海之门”景区最为出名，由于新冠疫情影响，景区特在去年12月12日对“寿海”和“竹海之门”两个景区的门票进行了线上限时秒杀销售和线下促销销售，当天销售结束后统计发现，线上限时秒杀销售的门票数量和线下促销销售的门票数量相同，线上限时秒杀销售的“竹海之门”的门票数量是线上限时秒杀销售门票总数量的23，线下促销销售的“寿海”和“竹海之门”的门票单价相同，均为线上限时秒杀销售的两个景区的门票单价之和，线上限时秒杀销售和线下促销销售总销售额为1974元，且线上限时秒杀销售和线下促销销售的门票总销售量不少于200张，不超过300张，线上限时秒杀销售和线下促销销售的两种门票单价均为整数，则线上限时秒杀销售“寿海”景区的门票的销售额最多为_________元．
【答案】141
【分析】根据线上秒杀销售的门票数量和线下促销的门票数量相同，设线上，线下门票销量均为x张，则线上“竹海之门”的销量为23x张，“寿海”的销量为13x张，线上“寿海”和“竹海之门”门票的单价分别为a元，b元，则线下“寿海”和“竹海之门”门票的单价均为（a+b）元，根据题意列出不等式200≤2x≤300，可得x的取值，根据线上和线下总销售额为1974元，列方程，并根据所有未知数是整数，可取a和b的整数解，从而得结论．
【详解】解：∵线上秒杀销售的门票数量和线下促销的门票数量相同，
∴设线上，线下门票销量均为x张，
则线上“竹海之门”的销量为23x张，“寿海”的销量为13x张，
设线上“寿海”和“竹海之门”门票的单价分别为a元，b元，
则线下“寿海”和“竹海之门”门票的单价均为（a+b）元，
由题意得：200≤2x≤300，∴100≤x≤150，
∴13ax+23bx+x(a+b)=1974，即x(43a+53b)=1974，
解得：x=1974×34a+5b，
∴100≤1974×34a+5b≤150，
解得：1974×3150≤4a+5b≤1974×3100，
∴391225≤4a+5b≤591150，
∵x，a，b是整数，
∴x是3的倍数，4a+5b是1974的约数，
∴当4a+5b=42时，a=3，b=6或a=8，b=2
当4a+5b=47时，
a=3，b=7或a=8，b=3
∴x1=1974×342=141，x2=1974×347=126，
此时，线上限时秒杀销售“寿海”景区的门票的销售额最多为：
13ax=13×3×141=141(元)．
故答案为：141．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式．
8.（2022春·上海崇明·六年级校考期中）四月下旬，世界卫生组织称中国已进入缓疫阶段，各地陆续发布开学通知．虽然疫情有所控制，但防控仍不可掉以轻心．重庆一中的教职工们在学校逐一检查、落实各项防疫措施，为迎接即将返校的初三学生做足准备．王老师用现金6820元为年级采购了额温枪和免洗洗手液两种防疫物品，额温枪每个125元，免洗洗手液每瓶55元，购买后剩余100元、10元、1元的钞票若干张（10元钞票和1元钞票剩余数量均不超过9张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量），若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的100元和10元的钞票张数恰好相反，但1元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为__________个．
【答案】39
【分析】设额温枪的数量为x，消毒酒精的数量为y，剩余100元钞票的数量为a， 10元为为b，1元的c，根据题意列出方程组，然后分别代入可能的a和b，即可求得.
【详解】解：设购买额温枪和免洗洗手液后剩余100元，10元，1元的钞票数量分别为a， b， c，
则a， b， c均为整数，且1≤b≤9， 1≤c≤9，购买额温枪和免洗洗手液后可列方程：
125x + 55y+ 100a+ 10b+c= 6820，①
如果把购买额温枪和免洗洗手液的数量交换可得方程：
125y+55x+100b+10a+c=6820，②
①-②得：70x-70y+ 100a + 10b-100b-10a= 0
所以70(x- y) + 90(a-b)= 0，则7(x- y)= 9(b- a)，
因为a，b均为整数，且1≤b≤9，
所以b-a=7， x-y=9，
则y=x-9，b=9， a=2
或b=8， a= 1
或b=7，a=0，
当b=9， a= 2时，代入①得
125x+55(x-9)+200+90+c=6820，
180x +c= 6820- 290 + 495 = 7025，
则c= 7025- 180x， 1≤7025-180x≤9，
所以38.98≤x≤39.02， x为整数，
所以x= 39，
故购买额温枪的数量为39个，
当b=8， a= 1时，代入①得
125x+ 55(x- 9)+ 100+ 80+c= 6820
180x +c= 6820- 180+ 495 = 7135，
c= 7135- 180x， 1≤7135- 180x≤9，180x +c= 6820- 180 + 495 = 7135，
则c= 7135- 180x， 1≤7135- 180x≤9，所以39.59≤x≤39.63， x为整数，即这种情况不存在，
当b=7， a= 0时，代入①得
125x + 55(x-9)+ 70 +c= 6820，
180x +c= 6820-70 + 495 = 7245，
则c= 7245- 180x， 1≤7245- 180x≤9，
所以40.2≤x≤40.24，x为整数，即这种情况不存在，
综上所述，购买额温枪的数量为39个．
故答案为：39．
【点睛】本题考查四元一次方程组与不等式的应用，找出题中数量关系，列出方程组，并整体得出两个未知数的方程是解题的关键，要注意钞票张数是整数．