2023-2024学年浙江省宁波市江北区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市江北区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若代数式 x−3有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≥3B. x>3C. x<3D. x≤3
2.下列用数学家命名的图形中，是中心对称图形的是( )
A. 笛卡尔心形线B. 谢尔宾斯基地毯
C. 赵爽弦图D. 斐波那契螺旋线
3.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2× 3= 6C. 3 3− 3=3D. 24÷ 6=4
4.用配方法解关于x的一元二次方程x2−2x−4=0，其变形后正确的结果是( )
A. (x−1)2=5B. (x+1)2=5C. (x−1)2=3D. (x+1)2=3
5.若点(−1,6)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则该函数图象必过点( )
A. (1,6)B. (−3,−2)C. (−2,−3)D. (−6,1)
6.某校801班全体同学参加学校“红五月”合唱大赛，根据所有评委老师的打分成绩进行数据统计，获得信息如表所示(10分制，单位：分)：
最后评分若要去掉一个最高分、去掉一个最低分，则下列统计量一定不发生变化的是( )
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
7.用反证法证明：“在锐角△ABC中，若∠C<∠B<∠A，则∠B>45°”，则应先假设( )
A. ∠B>45°B. ∠B≥45°C. ∠B<45°D. ∠B≤45°
8.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，OC长为半径画弧；②以点D为圆心，OD长为半径画弧；③两弧交于点E，连结DE，CE.则下列说法一定正确的是( )
A. 若AC⊥BD，则四边形OCED是矩形
B. 若AC=BD，则四边形OCED是菱形
C. 若AD⊥CD，则四边形OCED是矩形
D. 若AD=CD，则四边形OCED是菱形
9.公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为x的正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到面积为64的正方形AEGH.则能列出关于x的一元二次方程是( )
A. x2+10x=25
B. x2+10x=39
C. x2+10x=64
D. x2+10x=89
10.已知实数x，y满足4x2−x+4xy+y2=1，设M=x+y，则M的最大值是( )
A. 75B. 54C. 1916D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.任一凸多边形的外角和度数均为______．
12.当x=______时， x−2的值最小．
13.关于x的一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
14.如图1，对“三角形中位线定理”进行拓展思考，可以提出以下三个命题：
①若DE/​/BC，AD=BD，则AE=CE．
②若DE/​/BC，DE=12BC，则DE是△ABC的中位线．
③若AD=BD，DE=12BC，则AE=CE．
图2是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是______(选填①②③中其一)．
15.如图，正方形ABCD与正方形BEFG，其中点A，B，E三点共线，点C在边BG上，点O是BF与EG的交点.若正方形BEFG的面积是9，则△DEO的面积为______．
16.如图，点A、B是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的两点，直线AB交y轴正半轴于点C，连结AO并延长交反比例函数图象的另一支于点D，过点D作∠CAO的角平分线的垂线，垂足为点E，若点B是线段AC的中点且S△ABE=6，则k= ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)( 18− 8)× 2；
(2)( 3+1)2−( 3−1)( 3+1)．
18.(本小题8分)
用适当的方法解方程：
(1)x2+6x=0；
(2)2(x2−4)=x(x−2)．
19.(本小题8分)
如图是由含60°内角的菱形组成的一个5×5的网格图.请画出以AB为边的格点四边形ABCD，其中点A，B，C，D均在格点上.要求如下：
(1)在图1中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形ABCD．
(2)在图2中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形ABCD．
20.(本小题8分)
某校801班准备从甲，乙两名同学中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛.在相同条件下，分别对两名同学进行了8次一分钟跳绳测试，测试成绩如下(单位：个)：
甲：192，186，189，189，193，194，189，188；
乙：195，181，193，190，183，192，190，196．
请你根据以上统计表中的信息回答下列问题：
(1)a= ______，b= ______．
(2)有同学认为：“因为甲乙两人平均数相等，所以两人水平一致.”你同意这个观点吗？请结合相关数据及统计学知识进行说明．
21.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E是AB的中点，连结DE并延长交CB的延长线于点F，连结AF和BD．
(1)求证：四边形AFBD是平行四边形．
(2)若AB⊥DF，且AD=3，BE=1，求CD的长度．
22.(本小题10分)
如图，一次函数y1=−x+5的图象与反比例函数y2=kx(k≠0,x>0)的图象交于A(1,a)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标．
(2)根据图象，直接写出−x+5−kx<0时x的取值范围．
(3)过线段AB上的动点P，作x轴的垂线，垂足为点M，其交反比例函数y2=kx(k≠0,x>0)的图象于点Q，若PQQM=916，求△PMO的面积．
23.(本小题10分)
某校八年级开展社会实践活动，如表是某小组的活动记录表，请根据相关信息解决实际问题．
24.(本小题12分)
【问题背景】
如图1，在平行四边形ABCD中，AD=6，点E是边CD的中点，连结AE，点F、G是线段AE上的动点，连结BF，DG，且满足DG/​/BF．
【初步尝试】
(1)如图2，当四边形ABCD是正方形时，若BF⊥AE，则DG= ______，BF= ______．
【猜想验证】
(2)如图3，同学们在研究图形时发现，若取线段BF的中点H，可得DGBF始终为定值.请你猜想这个定值是多少？并说明理由．
【拓展应用】
(3)如图3，在(2)的基础上，若AB=4 5，FG=2，当四边形FHGD是菱形时，求菱形FHGD的边长．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：若根式有意义，则x−3≥0，
解得：x≥3．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：A、 2与 3不能合并，所以A选项错误；
B、原式= 2×3= 6，所以B选项正确．
C、原式=2 3，所以C选项错误；
D、原式=2，所以D选项错误；
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：∵x2−2x−4=0，
∴x2−2x=4，
则x2−2x+1=4+1，即(x−1)2=5，
故选：A．
5.【答案】D
【解析】解：∵点(−1,6)在y=kx上，
∴k=−1×6=−6，
D选项−6×1=−6=k，符合题意；
故选：D．
6.【答案】C
【解析】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数，
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：用反证法证明：“在锐角△ABC中，若∠C<∠B<∠A，则∠B>45°”，则应先假设∠B≤45°，
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：由作图知，OD=DE，OC=CE，
∴四边形OCED不一定是平行四边形，
∴若AC⊥BD，则四边形OCED不一定是矩形，故A不符合题意；
∵AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC，
∴OD=OC=DE=CE，
∴四边形OCED是菱形，故B符合题意；
∵AD⊥CD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC，
∴OD=OC=DE=CE，
∴四边形OCED是菱形，故C不符合题意；
∵AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
但证不出OD=OC，
∴四边形OCED不一定是菱形，故D不符合题意；
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形，
∴(x+5)2=64，
整理得：x2+10x=39，
故选：B．
10.【答案】B
【解析】解：∵4x2−x+4xy+y2=1，
∴(2x+y)2=x+1，
∴2x+y=± x+1，
∴x+y=± x+1−x，
设 x+1=a，则x=a2−1，
则x+y=±a−(a2−1)=−(a±12)2+54，
∴x+y的最大值为54，
即M的最大值为54，
故选：B．
11.【答案】360°
【解析】解：任一凸多边形的外角和度数均为360°，
故答案为：360°．
12.【答案】2
【解析】解：∵ x−2≥0，
∴当x=2时， x−2的值最小是0，
故答案为：2．
13.【答案】4
【解析】解：根据题意得Δ=42−4m=0，
解得m=4．
故答案为：4．
14.【答案】③
【解析】解：图2是③的反例示意图．
真命题为命题①和②，
命题①的证明：
证明：过点E作EM/​/AB交BC边于点M，连接DM，
又∵DE/​/BC，
∴四边形EDBM是平行四边形，
∴BD=EM，DE=BM，
又∵DE=12BC，
∴DE=BM=CM，
∴四边形DECM是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴DM=CE，DM/​/CE，
∴DM//AE，
又∵EM/​/AD，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴AD=EM，DM=AE，
∴AD=BD，AE=CE，
命题②的证明如下：
证明：如图，延长ED至点F，
使DF=DE，连接BF，
∵D是AB边的中点，
∴AD=BD．
又∵∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE=BF，∠AED=∠BFD，
∴AC//BF，
∵EF//BC，
∴四边形BCEF是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∴BF=CE，
∴CE=AE，
∴E是AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
故答案为：③．
15.【答案】94
【解析】解：连接DB，
∵正方形ABCD，正方形BEFG的面积是9，
∴∠DBA=45°=∠GEA，
∴DB//GE，
∴△DEO的面积=△BEO的面积=正方形BEFG的面积×14=94．
故答案为：94．
16.【答案】−8
【解析】解：连接OE，OB，过点A作AF⊥y轴于F，过点B作DH⊥y轴于H，
∵过原点的直线与反比例函数y=kx(k≠0)图象交于A，D两点，
∴A与D关于原点对称，
∴O是AD的中点，
∵DE⊥AE，
∴OE=OA，
∴∠OAE=∠AEO，
∵AE为∠CAO的角平分线，
∴∠BAE=∠AEO，
∴AB/​/OE，
∴S△ABE=S△AOB，
∵S△ABE=6，
∴S△ABE=S△AOB=6，
设点A(m,km)，
∵B是AC的中点，DH/​/AF，
∴BH=12AF，
∴B(12m,2km)，
∵S△AOB=S△AOF+S梯形AFHB−S△OHB=12k+12(BH+AF)×FH−12k
=12(−m−12m)(2km−km)=−34k，
∴−34k=6，
∴k=−8；
故答案为：−8．
17.【答案】解：(1)原式=(3 2−2 2)× 2
= 2× 2
=2；
(2)原式=3+2 3+1−(3−1)
=2 3+2．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
18.【答案】解：(1)∵x2+6x=0，
∴x(x+6)=0，
∴x=0或x+6=0，
∴x1=0，x2=−6；
(2)∵2(x2−4)=x(x−2)，
∴2(x−2)(x+2)=x(x−2)，
∴2(x−2)(x+2)−x(x−2)=0，
∴(x−2)(2x+4−x)=0，
∴x−2=0或2x+4−x=0，
∴x1=2，x2=−4．
【解析】(1)用因式分解法求解即可；
(2)用因式分解法求解即可．
19.【答案】解：(1)如图1，四边形ABCD即为所求(答案不唯一)．
(2)如图2，四边形ABCD即为所求(答案不唯一)．

【解析】(1)根据题意，画平行四边形ABCD即可．
(2)根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可．
20.【答案】189 191
【解析】解：(1)∵甲的测试成绩中189出现的次数最多，
∴众数a=189，
乙的测试成绩排序：181，183，190，190，192，193，195，196，
∵处于中间的两个数据我190和192，
∴中位数b=190+1922=191．
故答案为：189，191；
(2)我不同意这个同学的观点，乙同学的水平高．
理由：虽然甲乙两位同学成绩的平均数相等，但是甲同学成绩的众数和中位数均小于乙同学，故乙同学的水平高．
(1)根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)根据平均数、众数、中位数以及方差的意义分析即可．
21.【答案】(1)证明：∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵∠C=∠ADC=90°，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠EBF，∠ADE=∠EFB，
在△ADE和△BFE中，
∠DAE=∠EBF∠ADE=∠EFBAE=BE，
∴△ADE≌△BFE(AAS)，
∴DE=FE，
∵AE=BE，
∴四边形AFBD是平行四边形；
(2)解：∵四边形AFBD是平行四边形，AB⊥DF，
∴四边形AFBD是菱形，
∴BD=BF=AD=3，AB=2BE=2，
∴DE= 32−12=2 2，
∴DF=2DE=4 2，
∵S菱形AFBD=BF⋅CD=12AB⋅DF，
∴3CD=12×2×4 2，
∴CD=4 23．
【解析】(1)证明△ADE≌△BFE(AAS)，可得DE=FE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题；
(1)结合(1)证明四边形AFBD是菱形，根据S菱形AFBD=BF⋅CD=12AB⋅DF，即可解决问题．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y1=−x+5的图象与反比例函数y2=kx(k≠0,x>0)的图象交于A(1,a)，B两点，
∴a=−1+5=4，
∴A(1,4)，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的表达式为y2=4x(x>0)，
解y=−x+5y=4x得x=4y=1或x=1y=4，
∴B(4,1)；
(2)观察图象得，−x+5−kx<0时x的取值范围为04；
(3)设P(a,−a+5)，
∵PM⊥x轴，
∴M(a,0)，Q(a,4a)，
∵PQQM=916，
∴−a+5−4a4a=916，
解得，a=52，
∴P(52,52)，
∴S△PMO=12OM⋅PM=12×52×52=258．
【解析】(1)把A(1,a)代入y1=−x+5得到A(1,4)，求得k=1×4=4，得到反比例函数的表达式为y2=4x(x>0)，解方程组得到B(4,1)；
(2)根据函数的图形即可得到结论；
(3)设P(a,−a+5)，得到M(a,0)，Q(a,4a)，根据题意列方程得到a=52，求得P(52,52)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
23.【答案】解：问题1：当销售单价定为每箱55元时，月销售量是500−(55−50)×10=450(箱)；
问题2：设销售单价为每箱x(x≥50)元，则月销售量为500−(x−50)×10=(1000−10x)(箱)，每箱的销售利润为(x−40)元，
∴月销售利润=(1000−10x)(x−40)=(−10x2+1400x−40000)(元)；
问题3：提出问题：若该超市将当月的获利目标定为8000元，且尽可能的让利顾客，那么销售单价应定为每千克多少元？
解答如下：
由题意得：(1000−10x)(x−40)=8000，
整理得：x2−140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80(不符合题意，舍去)，
答：销售单价应定为每千克60元．
【解析】问题1：由题意列式计算即可；
问题2：设销售单价为每箱x(x≥50)元，则月销售量为(1000−10x)箱，每箱的销售利润为(x−40)元，即可解决问题；
问题3：由题意提出问题，再解答即可．
24.【答案】6 55 12 55
【解析】解：【初步尝试】(1)如图1，在正方形ABCD中，AD=CD=AB=6，∠ADC=∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠GAD=90°，
∵点E是边CD的中点，
∴DE=CE=3，
∴AE= AD2+DE2=3 5，
∵BF⊥AE，DG/​/BF，
∴∠BFG=∠AGD=∠AFB=90°，
∴DG⊥AE，∠BAF+∠ABF=90°，
∴△ABF≌△DAG(AAS)，
∴BF=AG，
∵S△ADE=12AE⋅DG=12AD⋅DE，
∴DG=AD⋅DEAE=6 55，
∴BF=AG=12 55，
故答案为：6 55，12 55；
【猜想验证】(2)DGBF=12，
理由如下：如图，取线段BF和AF的中点H、M，连结MH，
则MH是△ABF的中位线，
∴MH=AB，MH//AB，
在▱ABCD中，CD=AB，CD/​/AB，
∵点E是边CD的中点，
∴DE/​/AB，DE=12AB，
∴DE//MH，DE=MH，
∴∠FMH=∠DEG，
∵DG//BF，
∴∠HFG=∠DGF，
∴∠HFM=∠DGE，
∴△HFM≌△DGE(AAS)，
∴FH=DG，
∴DGBF=12；
【拓展应用】(3)情况1：如图，取AF中点M，连结MH，HD，
∵菱形FHGD，
∴HD⊥FG，OF=OG，
由(2)得△MFH≌△EGD，
∴MF=GE=AM=а，得62−(2a+1)2=(2 5)2−(a+1)2，
解得a1=−83(舍去)，a2=2，
∴AO=5，
在Rt△ADO中，DO= AD2−AO2= 36−25= 11，
在Rt△FDO中，DF= OF2−OD2= 1+11=2 3，
情况2：如图，取AF中点M，连结MH，HD，
∵菱形FHGD，
∴HD⊥FG，OF=OG，
由(2)得△MGH≌△EFD，
∴MG=FE=a，AM=FM=а+2，
得62−(2а+3)2=(2 5)2−(а+1)2，
解得a1=−4(舍去)，a2=23，
∴AO=133，
在Rt△ADO中，DO= AD2−AO2= 362−(133)2= 1553，
在RI△FDO中，DF= OF2+OD2= 1+1559=2 413，
∴菱形FHGD的边长为2 3或2 413．平均数
众数
中位数
方差
9.5
9.3
9.5
0.05
平均数
众数
中位数
方差
甲
190
a
189
6.5
乙
190
190
b
25.5
社会实践活动记录表
小组名称
×××
活动时间
2024.6
小组成员
×××
地点
北岸果蔬超市
实践内容
调查杨梅销售行情；帮助超市解决销售问题；同时思考民生获益等事宜．
调研信息
杨梅进价为40元/箱．
当杨梅售价为50元/箱时，每月可销售500箱．
若每箱售价每上涨1元，则月销售量将减少10箱．
解决问题
问题1
当销售单价定为每箱55元时，月销售量是多少？
问题2
设销售单价为每箱x(x≥50)元，请用x的代数式表示月销售利润，
问题3
请自行提出一个实际问题，并尝试解决之．