2022-2023学年浙江省宁波市江北区八年级（上）期末数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市江北区八年级（上）期末数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ）
A．≌B．＞C．≤D．≠
2．（3分）若a＞b，则下列不等式不正确的是（ ）
A．a＞b﹣1B．3a＞3bC．﹣a＞﹣bD．a﹣1＞b﹣1
3．（3分）已知一个三角形的两边长为1，3，则第三边可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（3分）平面直角坐标系中，点P坐标是（﹣1，2），则点P关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）
5．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°．中线AD与角平分线CE交于点F，则∠CFD的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
6．（3分）如图，已知∠ABC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于P，D；作一条射线FE，以点F圆心，BD长为半径作弧l，交EF于点H；以H为圆心，PD长为半径作弧，交弧l于点Q；作射线FQ．这样可得∠QFE＝∠ABC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
7．（3分）在同一直角坐标系内作一次函数y1＝ax+b和y2＝﹣bx+a图象，可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，下列描述中不正确的是（ ）
A．AB两地相距240千米
B．乙车平均速度是90千米/小时
C．乙车在12：00到达A地
D．甲车与乙车在早上10点相遇
9．（3分）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10B．10≤a＜12C．10＜a≤12D．10≤a≤12
10．（3分）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC＝a，BD＝b．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB＝FD＝BD．连结AF，DE，当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，4），则这个正比例函数的表达式是 ．
12．（3分）若（2m+1，2）是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是 ．
13．（3分）若等腰三角形的一个内角为85°，则底角为 ．
14．（3分）如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为 ．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，点D为∠AOB平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA，OB分别于点P，Q，点E是OA上异于点P的一点，且DE＝OP＝6，则△ODE的面积为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，2），B是x轴上一点．以AB为腰，作等腰直角三角形ABC，∠ABC＝Rt∠，连结OC，则AC+OC的最小值为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共52分）
17．（6分）解不等式组：，并求出所有满足条件的整数之和．
18．（6分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．
19．（7分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（0，3）和（2，2）．
（1）求这个一次函数y＝kx+b的表达式．
（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都小于y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
20．（7分）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，要求只用一把无刻度的直尺作图．
（1）在图1中作一个以AB为腰的等腰三角形，其顶点都在格点上．
（2）在图2中作所有以AB为一边的直角三角形，其顶点都在格点上．
21．（8分）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．
①求∠E的度数；
②求证：CP＝CE．
22．（8分）某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾区安置点，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x的函数解析式；
（2）若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于6，则车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采取哪种安排方案？并求出最少运费．
23．（10分）定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．如图1在△ABC中，AB2+AC2﹣AB•AC＝BC2，则△ABC是“类勾股三角形”．
（1）等边三角形一定是“类勾股三角形”，是 命题（填真或假）．
（2）若Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若△ABC是“类勾股三角形”，求∠B的度数．
（3）如图2，在等边三角形ABC的边AC，BC上各取一点D，E，且AD＜CD，AE，BD相交于点F，BG是△BEF的高，若△BGF是“类勾股三角形”，且BG＞FG．
①求证：AD＝CE．
②连结CG，若∠GCB＝∠ABD，那么线段AG，EF，CD能否构成一个“类勾股三角形”？若能，请证明；若不能，请说明理由．
2022-2023学年浙江省宁波市江北区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ）
A．≌B．＞C．≤D．≠
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．
【解答】解：A、该数学符号不是轴对称图形，不符合题意；
B、该数学符号是轴对称图形，符合题意；
C、该数学符号不是轴对称图形，不符合题意；
D、该数学符号不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式不正确的是（ ）
A．a＞b﹣1B．3a＞3bC．﹣a＞﹣bD．a﹣1＞b﹣1
【分析】根据不等式的性质1对A选项、D选项进行判断；根据不等式的性质2对B选项进行判断；根据不等式的性质3对C选项进行判断．
【解答】解：A．因为a＞b，则a＞b﹣1，所以A选项不符合题意；
B．因为a＞b，则3a＞3b，所以B选项不符合题意；
C．因为a＞b，则﹣a＜﹣b，所以C选项符合题意；
D．因为a＞b，则a﹣1＞b﹣1，所以D选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）已知一个三角形的两边长为1，3，则第三边可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设第三边的长为x，再根据三角形的三边关系进行解答即可．
【解答】解：设第三边的长为x，则3﹣1＜x＜3+1，
即2＜x＜4，
所以只有3适合，
故选：B．
4．（3分）平面直角坐标系中，点P坐标是（﹣1，2），则点P关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）
【分析】平面直角坐标系中，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【解答】解：∵点P坐标是（﹣1，2），
∴点P关于y轴对称点的坐标是（1，2），
故选：B．
5．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°．中线AD与角平分线CE交于点F，则∠CFD的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ADC＝90°，∠ACB＝70°，根据角平分线的定义可得∠DCF＝35°，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，∠BAC＝40°，
∴AD⊥BC，∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣∠BAC）＝70°，
∴∠ADC＝90°，
∵CE是角平分线，
∴∠DCF＝∠ACB＝35°，
∴∠CFD＝90°﹣∠DCF＝90°﹣35°＝55°．
故选：D．
6．（3分）如图，已知∠ABC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于P，D；作一条射线FE，以点F圆心，BD长为半径作弧l，交EF于点H；以H为圆心，PD长为半径作弧，交弧l于点Q；作射线FQ．这样可得∠QFE＝∠ABC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】根据题意得出BP＝BD＝FQ＝FH，DP＝QH，利用SSS证明△PBD≌△QFH，根据全等三角形的性质即可得出∠QFE＝∠ABC．
【解答】解：如图，连接DP，QH，
根据题意得，BP＝BD＝FQ＝FH，DP＝QH，
在△PBD和△QFH中，
，
∴△PBD≌△QFH（SSS），
∴∠ABC＝∠QFE，
故选：A．
7．（3分）在同一直角坐标系内作一次函数y1＝ax+b和y2＝﹣bx+a图象，可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先由一次函数y1＝ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2＝﹣bx+a的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴一次函数y2＝﹣bx+a图象应该经过一、二、四象限，故不符合题意；
B、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴一次函数y2＝﹣bx+a图象应该经过二、三、四象限，故不符合题意；
C、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣b＞0；
∴一次函数y2＝﹣bx+a图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意；
D、∵一次函数y1＝ax+b的图象经过二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣b＞0，
∴一次函数y2＝﹣bx+a图象应该经过一、三、四象限，与函数图象一致，符合题意；
故选：D．
8．（3分）早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，下列描述中不正确的是（ ）
A．AB两地相距240千米
B．乙车平均速度是90千米/小时
C．乙车在12：00到达A地
D．甲车与乙车在早上10点相遇
【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
AB两地相距240千米，故选项A正确，不符合题意；
乙车的平均速度为：60÷（1﹣）＝90（千米/小时），故选项B正确，不符合题意；
乙车到达B地的时刻为：9++＝12，故选项C不正确，符合题意；
甲车与乙车在早上9+1＝10点相遇，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
9．（3分）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10B．10≤a＜12C．10＜a≤12D．10≤a≤12
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到结合不等式组的整数解，得出关于a的不等式解之即可．
【解答】解：由6﹣3x＜0得：x＞2，
由2x≤a得：x≤，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴5≤＜6，
解得10≤a＜12，
故选：B．
10．（3分）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC＝a，BD＝b．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB＝FD＝BD．连结AF，DE，当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点F作FH⊥AD于点H．过点E作EG⊥AD于G，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出EG和FH，然后设BC＝x，分别表示出△CDE与△ABF的面积，再将二者相减得到关于x的代数式，因为x变化时，S不变，所以x的系数为0，则可得到a与b的关系式．
【解答】解：过点F作FH⊥AD于点H，过点E作EG⊥AD于G，
∵△ACE是等腰直角三角形，AC＝a，
∴EG＝AC＝，
∵BD＝b，FB＝FD＝b，FH⊥AD，
∴BH＝BD＝，
在Rt△BHF中，
FH＝＝，
设BC＝x，
则S△ABF＝AB•FH＝（a﹣x）×b，
S△CDE＝CD•EG＝（b﹣x）×，
∴S＝S△CDE﹣S△ABF＝（b﹣x）×﹣（a﹣x）×b＝（﹣）x﹣，
∵当BC的长度变化时，S始终保持不变，
∴﹣＝0，
∴a＝．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，4），则这个正比例函数的表达式是 y＝﹣2x ．
【分析】本题可设该正比例函数的解析式为y＝kx，然后根据该函数图象过点（﹣2，4），由此可利用方程求出k的值，进而解决问题．
【解答】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx，根据题意，得
﹣2k＝4，
k＝﹣2．
则这个正比例函数的表达式是y＝﹣2x．
故答案为y＝﹣2x．
12．（3分）若（2m+1，2）是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是 ＜m＜﹣． ．
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解答】解：P（2m+1，2）向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到（2m+1+2，2﹣3），
∵该点运动到第四象限，
∴2m+1+2＞0，
∴m＞﹣，
∵（2m+1，2）是第二象限内一点，
∴2m+1＜0，
∴m，
∴＜m＜﹣．
故答案为：＜m＜﹣．
13．（3分）若等腰三角形的一个内角为85°，则底角为 85°或47.5° ．
【分析】已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解答】解：由题意知，分两种情况：
当这个85°的角为底角时，则另一底角也为85°；
当这个85°的角为顶角时，则底角＝（180°﹣85°）÷2＝47.5°．
故答案为：85°或47.5°．
14．（3分）如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为 ．
【分析】解法一：先根据勾股定理求得BC的长，再根据折叠的性质得到CE＝DE，AC＝AD，∠C＝∠EDA＝90°，则BD＝AB﹣AD，∠EDB＝90°，设CE＝DE＝x，在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程，求解即可．
解法二：先根据勾股定理求得BC的长，再根据折叠的性质可推出∠EDB＝90°，以此可得△BDE∽△BCA，设CE＝DE＝x，根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：解法一：在Rt△ABC中，
由勾股定理得BC＝＝4，
根据折叠的性质可知CE＝DE，AC＝AD＝3，∠C＝∠EDA＝90°，
∴∠EDB＝90°，BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，
Rt△BDE中，
DE2+BD2＝BE2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：，
∴CE＝．
故答案为：．
解法二：在Rt△ABC中，
由勾股定理得BC＝＝4，
根据折叠的性质可知CE＝DE，∠C＝∠EDA＝90°，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
∵∠B为公共角，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，
∴，
∴x＝，
∴CE＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，点D为∠AOB平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA，OB分别于点P，Q，点E是OA上异于点P的一点，且DE＝OP＝6，则△ODE的面积为 9+9 ．
【分析】连接PD，过点D作DF⊥OA，垂足为F，根据线段垂直平分线的性质可得OP＝PD，从而可得∠POD＝∠PDO，再利用角平分线的定义可得∠POD＝∠DOQ，从而可得∠PDO＝∠DOQ，进而可得PD∥OQ，然后利用平行线的性质可得∠FPD＝∠AOB＝30°，再在Rt△PDF中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DF＝PD＝3，PF＝DF＝3，最后再利用等腰三角形的三线合一性质可得EP＝2PF＝6，从而可得OE＝6+6，进而利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：连接PD，过点D作DF⊥OA，垂足为F，
∵PQ是OD的垂直平分线，
∴OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO，
∵OD平分∠AOB，
∴∠POD＝∠DOQ，
∴∠PDO＝∠DOQ，
∴PD∥OQ，
∴∠FPD＝∠AOB＝30°，
∵DE＝OP＝6，
∴OP＝PD＝DE＝6，
在Rt△PDF中，∠FPD＝30°，
∴DF＝PD＝3，PF＝DF＝3，
∵DP＝DE，DF⊥PE，
∴EP＝2PF＝6，
∴OE＝OP+PE＝6+6，
∴△ODE的面积＝OE•DF
＝×（6+6）×3
＝9+9，
故答案为：9+9．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，2），B是x轴上一点．以AB为腰，作等腰直角三角形ABC，∠ABC＝Rt∠，连结OC，则AC+OC的最小值为 2 ．
【分析】作CD⊥x轴于点D，可证明△BDC≌△AOB，得DB＝OA＝2，DC＝OB，设B（m，0），则C（m+2，m），可证明点C在直线y＝x﹣2上运动，作点O关于直线y＝x﹣2的对称点H，连接OH交EF于点G，则G（1，﹣1），H（2，﹣2），连接AH交EF于点L，连接OL、HC，则OL＝HL，OC＝HC，因为AC+OC＝AC+HC≥AH，所以当点C与点L重合时，AC+OC＝AH，此时AC+OC的值最小，因为AH＝2，AC+OC的最小值为2．
【解答】解：如图，作CD⊥x轴于点D，则∠BDC＝∠AOB＝90°，
∵BC＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝∠OAB＝90°﹣∠ABO，
在△BDC和△AOB中，
，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∵A（0，2），
∴DB＝OA＝2，DC＝OB，
设B（m，0），则D（m+2，0），
∴C（m+2，m），
当x＝m+2时，则y＝m＝x﹣2，
∴C（x，x﹣2），
∴点C在直线y＝x﹣2上运动，
设直线y＝x﹣2交x轴于点F，交y轴于点E，
当x＝0时，y＝﹣2，
当y＝0时，则x﹣2＝0，解得x＝2，
∴E（0，﹣2），F（2，0），
∴OE＝OF＝2，
作点O关于直线y＝x﹣2的对称点H，连接OH交EF于点G，
∵直线EF垂直平分OH，
∴G为线段EF的中点，
∴G（1，﹣1），H（2，﹣2），
连接AH交EF于点L，连接OL、HC，则OL＝HL，OC＝HC，
∴AL+OL＝AH，AC+OC＝AC+HC，
∵AC+OC＝AC+HC≥AH，
∴当点C与点L重合时，AC+OC＝AC+HC＝AL+OL＝AH，此时AC+OC的值最小，
∵AH＝＝2，
∴AC+OC的最小值为2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题有8小题，共52分）
17．（6分）解不等式组：，并求出所有满足条件的整数之和．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣4＜2x，得x＞﹣4，
由x+≤1，得：x≤﹣1，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤﹣1，
不等式组的整数解的和为﹣3﹣2﹣1＝﹣6．
18．（6分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，求m的值．
【分析】（1）根据坐标系的特点得出不等式组解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，4﹣5a）位于第二象限，点B（﹣4，﹣a﹣1）位于第三象限，且a为整数，
∴，
∴﹣1＜a＜，
∵a为整数，
∴a＝0，
∴A（﹣4，4），B（﹣4，﹣1）；
（2）∵A（﹣4，4），B（﹣4，﹣1），
∴AB＝5，
∵点C（m，0）为x轴上一点，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，
∴AC＝AB＝5，
∵AC＝，
∴（m+4）2+16＝25，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣7．
∴m的值为﹣1或﹣7．
19．（7分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（0，3）和（2，2）．
（1）求这个一次函数y＝kx+b的表达式．
（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都小于y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据一次函数的性质即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）将（0，3）和（2，2）．代入y＝kx+b得，
解得
∴所求一次函数解析式为：y＝﹣x+3；
（2）把x＝﹣3代入y＝﹣x+3得，y＝，
把点（﹣3，）代入y＝mx得，＝﹣3m，解得m＝﹣，
∵x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都小于y＝kx+b的值，
∴m的取值范围是：﹣≤m≤﹣．
20．（7分）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，要求只用一把无刻度的直尺作图．
（1）在图1中作一个以AB为腰的等腰三角形，其顶点都在格点上．
（2）在图2中作所有以AB为一边的直角三角形，其顶点都在格点上．
【分析】（1）根据网格线的特点作图；
（2）根据网格线的特点作直角即可．
【解答】解：如下图：
（1）△ABC即为所求；
（2）△ABE，△ABF即为所求．
21．（8分）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．
①求∠E的度数；
②求证：CP＝CE．
【分析】（1）证明△BAC≌△DAE（ASA），由全等三角形的性质得出结论；
（2）①由三角形外角的性质求出∠CAE＝40°，由全等三角形的性质得出AC＝AE，由等腰三角形的性质可求出答案；
②证明△ACP≌△ACE（AAS），由全等三角形的性质得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴BC＝DE；
（2）①解：∵∠B＝30°，∠APC＝70°，
∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°，
∴∠CAE＝40°，
∵△BAC≌△DAE，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝＝＝70°；
②证明：∵△BAC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E＝70°，
∴∠ACB＝∠ACE，∠APC＝∠E，
在△ACP和△ACE中，
，
∴△ACP≌△ACE（AAS），
∴CP＝CE．
22．（8分）某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾区安置点，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x的函数解析式；
（2）若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于6，则车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采取哪种安排方案？并求出最少运费．
【分析】（1）装运生活用品的车辆数为（20﹣x﹣y），根据三种救灾物资共100吨列出关系式；
（2）根据题意求出x的取值范围并取整数值从而确定方案；
（3）分别表示装运三种物质的费用，求出表示总运费的表达式，运用函数性质解答．
【解答】解：（1）根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，
那么装运生活用品的车辆数为（20﹣x﹣y），
则有6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100，
整理得，y＝﹣2x+20；
（2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，20﹣2x，x，
由题意，得，
解这个不等式组，得5≤x≤7，
因为x为整数，所以x的值为5，6，7．
所以安排方案有3种：
方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；
方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；
方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；
（3）设总运费为W（元），
则W＝6x×120+5（20﹣2x）×160+4x×100
＝16000﹣480x，
因为k＝﹣480＜0，所以W的值随x的增大而减小．
要使总运费最少，需x最大，则x＝7．
故选方案3．
W最小＝16000﹣480×7＝12640（元）．
最少总运费为12640元．
23．（10分）定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”．如图1在△ABC中，AB2+AC2﹣AB•AC＝BC2，则△ABC是“类勾股三角形”．
（1）等边三角形一定是“类勾股三角形”，是 真 命题（填真或假）．
（2）若Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若△ABC是“类勾股三角形”，求∠B的度数．
（3）如图2，在等边三角形ABC的边AC，BC上各取一点D，E，且AD＜CD，AE，BD相交于点F，BG是△BEF的高，若△BGF是“类勾股三角形”，且BG＞FG．
①求证：AD＝CE．
②连结CG，若∠GCB＝∠ABD，那么线段AG，EF，CD能否构成一个“类勾股三角形”？若能，请证明；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质、“类勾三角形”的定义判断；
（2）根据勾股定理得到a2+b2＝c2，分三种情况，根据“类勾三角形”的定义解答；
（3）①根据“和谐三角形”的定义得到∠BFG＝60°，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论；
②证明△ABF≌△CAG，得到AG＝BF，设FG＝x，EG＝y，分别用x、y表示出AG2、EF2、CD2，根据“类勾三角形”的定义判断即可．
【解答】（1）解：当△ABC为等边三角形时，AB＝AC＝BC，
∴AB2+AC2﹣AB•AC＝BC2+BC2﹣BC•BC＝BC2，
∴等边三角形一定是“类勾三角形”，
故答案为：真；
（2）解：∵∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∴a2+b2＝c2，
当a2+b2﹣ab＝c2时，则﹣ab＝0（舍去）；
当a2+c2﹣ac＝b2时，则a2+c2﹣ac＝c2﹣a2，
∴ac＝2a2，
∴c＝2a．
∴a：b：c＝1：：2；
当b2+c2﹣bc＝a2时，则b2+c2﹣bc＝c2﹣b2，
∴bc＝2b2，得c＝2b．
∴a：b：c＝：1：2；（舍去），
综上可知，△ABC是“类勾三角形”时，a：b：c＝1：：2；
（3）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵BG是△BEF的高，△BGF是“类勾三角形”，
∴FG：BG：BF＝1：：2，
∴∠BFG＝60°，
∴FAB+∠FBA＝∠BFG＝60°，
∵∠FAB+∠EAC＝∠BAC＝60°，
∴∠FBA＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD＝CE；
②解：∵∠GCB＝∠ABD，AB＝AC，
∴∠FAB＝60°﹣∠ABD＝60°﹣∠GCB＝∠ACG，
在△ABF和△CAG中，
，
∴△ABF≌△CAG（ASA）
∴AG＝BF，
∵AB＝BC，AD＝CE，
∴BE＝CD，
设FG＝x，EG＝y，则BG＝x，BF＝2x，
∴AG2＝BF2＝4x2，EF2＝（x+y）2＝x2+2xy+y2，CD2＝（x）2+y2＝3x2+y2，
∴AG2+EF2﹣AG•EF＝4x2+x2+2xy+y2﹣2x（x+y）＝3x2+y2，
∴AG2+EF2﹣AG•EF＝CD2，
∴线段AG，FE，CD能组成一个类勾三角形．
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨所需运费/元
120
160
100
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨所需运费/元
120
160
100