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2023-2024学年河南省南阳市方城县九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省南阳市方城县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二次根式 a−1中，字母a的取值范围是( )
A. a<1B. a≤1C. a≥1D. a>1
2.已知2是关于x的方程x2+ax−3a=0的根，则a的值为( )
A. −4B. 4C. 2D. 45
3.电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC=5，∠ACB=52°，则拉线AC的长为( )
A. 5tan52∘
B. 5cs52∘
C. 5⋅cs52°
D. 5sin52∘
4.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是( )
A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
5.关于x的一元二次方程kx2+4x−2=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥−2B. k>−2且k≠0C. k≥−2且k≠0D. k≤−2
6.如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′=3：1，△A′B′C′的面积为18，则△ABC面积为( )
A. 54
B. 32
C. 24
D. 916
7.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程( )
A. 50(1+x)2=175B. 50+50(1+x)2=175
C. 50(1+x)+50(1+x)2=175D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=175
8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点.若BG=3，CG=1，则线段MN的长度为( )
A. 5
B. 172
C. 2
D. 132
9.如图，已知点A(1,0)，B(4,m)，若将线段AB平移至CD，其中点C(−2,1)，D(a,n)，则m−n的值为( )
A. −3
B. −1
C. 1
D. 3
10.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC边的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x变化的函数关系如图②所示，则边BC的长是( )
A. 5B. 2 2C. 2 5511D. 4 5511
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. (−5)2= ______．
12.请写出一个两根分别是1，−2的一元二次方程______．
13.新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科.某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为______．
14.如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD=CE，分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N.若BN=CN，AM=4，BM=5，则AC的长为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A(1,0)，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) 30× 52+ 40÷ 5− 12；
(2)2sin30°+3cs60°−4tan45°．
17.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，过点M(4,0)的直线l//y轴，△ABC的顶点均在格点上．
(1)作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3；
(2)分别写出A1、A2、A3点的坐标为：
A1：______；
A2：______；
A3：______；
(3)△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
18.(本小题9分)
人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片(卡片背面完全相同)，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
(2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
19.(本小题9分)
如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG//BC，交CD于点G.求FG的长．
20.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程2x2−5x−m=0(m为常数)．
(1)当m=3时，求该方程的实数根；
(2)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
21.(本小题9分)
小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高.如图，AB的长为5m，高BC为3m.他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°.A，B，C，D，E在同一平面内．
你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由.(参考数据：sin38.7°≈0.625，cs38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数)
22.(本小题10分)
为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
23.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=n°，点D是平面内不与点A，B重合的任意一点，连结CD，将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，连结CE，BE，AD．
(1)观察猜想
如图①，当n=60°时，请直接写出线段BE与AD的数量关系：______；
(2)类比探究
如图②，当n=90°时，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题
当n=90°时，若BE//AC，AB=4 2，AD=1，请直接写出线段DC的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意得：a−1≥0，解得a≥1．
故选C．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求a的取值范围．
主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】B
【解析】解：∵2是关于x的方程x2+ax−3a=0的一个根，
∴把x=2代入得：22+2a−3a=0，
解得：a=4．
故选：B．
根据题意把x=2代入方程，即可求出a的值，从而选出选项．
本题主要考查了对一元二次方程的解，一元一次方程解法的理解和掌握，把x=2代入方程，求出关于a的方程的解是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=52°，BC=5，
∴cs52°=BCAC=5AC，
∴AC=5cs52∘
故选：B．
直接利用锐角三角函数关系得出cs52°=BCAC，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为23，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为16，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为13，不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为12，不符合题意；
故选：B．
分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意；
本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=42−4k×(−2)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得k≠0且Δ=42−4k×(−2)≥0，
解得k≥−2且k≠0．
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：∵OC′：CC′=3：1，
∴OC′：OC=3：4，
∵△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△A′B′C′，A′C′//AC，
∴△A′OC′∽△AOC，
∴A′C′AC=OC′OC=34，
∴S△A′B′C′S△ABC=(34)2=916，
∵△A′B′C′的面积为18，
∴△ABC面积为32，
故选：B．
根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，A′C′//AC，得到△A′OC′∽△AOC，根据相似三角形的性质得到A′C′AC=OC′OC=34，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：二月份的产值为：50(1+x)，
三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，
故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．
故选：D．
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
本题主要考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几月的产值，再根据题意列出方程即可．
8.【答案】B
【解析】解：连接DG，EF，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴四边形AEFD是矩形，
∴M是ED的中点，
在正方形ABCD中，BG=3，CG=1，
∴BC=DC=4，
在Rt△DGC中，由勾股定理得，
DG= DC2+CG2= 42+12= 17，
在三角形EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点，
∴MN是三角形EDG的中位线，
∴MN=12DG= 172．
故选：B．
根据条件得到正方形的边长为4，由勾股定理求出线段DG的长，利用中位线得到MN的长即可．
本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵线段CD由线段AB平移得到，
且A(1,0)，C(−2,1)，B(4,m)，D(a,n)，
∴m−n=0−1=−1．
故选：B．
根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
本题考查坐标与图象的变化，熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵图中第一个点的坐标为(0,2)，
∴点P在点D处，CD=2．
∵点D为AC边的中点，
∴AD=2，AC=4．
∵图中第二个点的横坐标为2+ 11，此时CP最小，P的速度为每秒1个单位长度，
∴CP⊥AB，AP= 11．
作CP⊥AB于点P．
∴∠APC=90°．
∴PC= AC2−AP2= 5．
∴tan∠A=PCAP= 5 11= 5511．
∵∠ACB=90°，
∴tanA=BCAC=BC4．
∴BC4= 5511，
∴BC=4 5511．
故选D．
图中第一个点的坐标为(0,2)，表示点P未出发时，CP长2，此时点P在点D处，那么CD=2，也就得到了AD=2，那么AC为4.图中第二个点的横坐标为2+ 11，此时CP最小，那么CP⊥AB，AP= 11.根据勾股定理可得PC长，即可得到∠A的正切值，根据∠A的正切值即可得到BC的长．
本题考查动点问题的函数图象．得到关键点表示的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：tanA=∠A的对边邻边．
11.【答案】5
【解析】解：原式= 25=5．
故答案为：5．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
12.【答案】为x2+x−2=0
【解析】解：∵1+(−2)=−1，1×(−2)=−2，
∴两根分别是1，−2的一元二次方程可为x2+x−2=0．
故答案为x2+x−2=0．
先计算出两个数的和、两个数的积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一个一元二次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
13.【答案】16
【解析】解：画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果，其中该同学恰好选中地理和化学两科的有2种结果，
所以该同学恰好选中化学、生物两科的概率为212=16．
故答案为：16．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好选中地理和化学两科的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
14.【答案】6
【解析】解：由题中作图可知：CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM，
∵MN⊥BC，BN=CN，
∴MB=MC，
∴∠B=∠BCM，
∴∠ACM=∠B，
∵∠CAM=∠CAB，
∴△ACM∽△ABC，
∴AC：AB=AM：AC，
∵AM=4，BM=5，
∴AB=AM+BM=9，
∴AC：9=4：AC，
∴AC=6．
故答案为：6．
由线段垂直平分线的性质定理得到MB=MC，因此∠B=∠BCM，由角平分线定义推出∠ACM=∠B，又∠CAM=∠CAB，推△ACM∽△ABC，得到AC：AB=AM：AC，代入有关数据，即可求出AC的长．
本题考查尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明△ACM∽△ABC，得到AC：AB=AM：AC，从而求出AC的长．
15.【答案】(1− 3,3)或(1+ 3,−3)
【解析】解：如图所示：
∵菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A(1,0)，∠DAB=60°，
∴AD=AB=BC=CD=2，AB边的高是 3，
∴点C′的纵坐标为±3，横坐标为1± 3，
∴点C′的坐标为(1− 3,3)或(1+ 3,−3)，
故答案为：(1− 3,3)或(1+ 3,−3)．
根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质得出AD=AB=BC=CD解答．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答．
16.【答案】解：(1)原式= 30×52+ 40÷5−2 3
= 25×3+ 8−2 3
=5 3+2 2−2 3
=3 3+2 2；
(2)原式=2×12+3×12−4×1
=1+32−4
=−32．
【解析】(1)先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；
(2)先根据特殊角的三角函数值得到原式=2×12+3×12−4×1，然后进行有理数的混合运算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
17.【答案】(1,1) (1,−1) (7,1) 180° 8
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3即为所求．
(2)由图可得，A1(1,1)，A2(1,−1)，A3(7,1)．
故答案为：(1,1)；(1,−1)；(7,1)．
(3)连接AA2，BB2，CC2，
由图可知，△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180°．
△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为8个单位长度．
故答案为：180°；8．
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
(3)连接AA2，BB2，CC2，由图可知，△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转180°得到的；由平移的性质可知，△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移8个单位长度得到的．
本题考查作图−轴对称变换、平移变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
18.【答案】14
【解析】解：(1)∵共有4张卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为14；
故答案为：14；
(2)解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，
所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为416=14．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠CBF=∠AEF，∠BCF=∠EAF，
∴△CBF∽△AEF，
∴CFAF=BCAE=43，
∴CFCA=47，
∵FG//BC，AD//BC，
∴FG//AD，
∴FGAD=CFCA=47，
∴FG=47×4=167．
【解析】利用正方形性质，找到△CBF∽△AEF，即可利用对应边成比例，几何平行线性质即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定等，灵活运用所学知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵m=3，
∴原方程可化为2x2−5x−3=0，
∵Δ=(−5)2−4×2×(−3)=49，
∴x=5±72×2=5±74，
∴x1=−12，x2=3，
∴当m=3时，该方程的实数根为x1=−12，x2=3；
(2)∵关于x的一元二次方程2x2−5x−m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−5)2−4×2×(−m)>0，
解得：m>−258，
∴m的取值范围为m>−258．
【解析】(1)将m=3代入方程，利用因式分解法可求出方程的实数根；
(2)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程，牢记“当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
21.【答案】解：能，过B作BF⊥DE于F，
则EF=BC=3m，BF=CE，
在Rt△ABC中，∵AB=5m，BC=3m，
∴AC= AB2−BC2=4(m)，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=45°，
∴AE=DE，
设AE=DE=xm，
∴BF=(4+x)m，DF=(x−3)m，
在Rt△BDF中，tan38.7°=DFBF=x−34+x≈0.80，
解得x=31，
∴DE=31m，
答：信号塔DE的高为31m．
【解析】过B作BF⊥DE于F，于是得到EF=BC=3m，BF=CE，根据勾股定理得到AC= AB2−BC2=4(m)，根据等腰直角三角形的性质得到AE=DE，设AE=DE=x m，于是得到BF=(4+x)m，DF=(x−3)m，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．
22.【答案】解：(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(35,550)、(40,500)代入y=kx+b，得
35k+b=55040k+b=500．
解得：k=−10b=900，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=−10x+900；
(2)设此设备的销售单价为x万元/台，
则每台设备的利润为(x−30)万元，销售数量为(−10x+900)台，
根据题意得：(x−30)(−10x+900)=8000．
整理，得：x2−120x+3500=0，
解得：x1=50，x2=70．
∵此设备的销售单价不得高于60万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【解析】(1)根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x−30)万元，销售数量为(−10x+900)台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】BE=AD
【解析】解：(1)如图：
∵将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，
∴∠CDE=n°，DC=DE，
∵n=60°，
∴∠CDE=∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD；
故答案为：BE=AD；
(2)BE= 2AD，理由如下：
如图：
∵将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，
∴∠CDE=n°，DC=DE，
∵n=90°，
∴∠CDE=∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CE= 2CD，BC= 2AC，∠ACB=∠DCE=45°，
∴CECD= 2=BCAC，∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴BEAD=CECD= 2，
∴BE= 2AD；
(3)过E作EH⊥AC交CA延长线于H，
当D在A上方时，如图：
由(2)知，BE= 2AD，CE= 2CD，
∵AD=1，
∴BE= 2，
∵n=90°，
∴∠BAC=∠HAB=90°，
∵BE//AC，
∴∠ABE=∠BAC=90°，
∵EH⊥AC，
∴∠H=90°，
∴四边形ABEH是矩形，
∴AH=BE= 2，EH=AB，
∵AB=AC=4 2，
∴CH=AC+AH=5 2，EH=AB=4 2，
∴CE= CH2+EH2= (5 2)2+(4 2)2= 82，
∴ 82= 2CD，
解得CD= 41；
当D在A下方时，如图：
同理可得EH=AB=AC=4 2，AH=BE= 2AD= 2，
∴CH=AC−AH=4 2− 2=3 2，
∴CE= EH2+CH2= (4 2)2+(3 2)2=5 2，
∵CE= 2CD，
∴5 2= 2CD，
∴CD=5；
综上所述，CD的长为 41或5．
(1)根据将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，n=60°，可知△ABC和△DCE都是等边三角形，故BC=AC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，有∠BCE=∠ACD，从而△BCE≌△ACD(SAS)，即得BE=AD；
(2)根据将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，n=90°，可得△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，有CECD= 2=BCAC，∠BCE=∠ACD，可得△BCE∽△ACD，即知BEAD=CECD= 2，BE= 2AD；
(3)过E作EH⊥AC交CA延长线于H，分两种情况：当D在A上方时，由(2)知，BE= 2AD知BE= 2，证明四边形ABEH是矩形，可得CH=AC+AH=5 2，EH=AB=4 2，可求出CE= CH2+EH2= 82，故 82= 2CD，CD= 41；当D在A下方时，同理可得CD=5．
本题考查几何变换综合应用，设计三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质等，解题的关键是掌握等腰直角三角形三边的关系．
1.二次根式 a−1中，字母a的取值范围是( )
A. a<1B. a≤1C. a≥1D. a>1
2.已知2是关于x的方程x2+ax−3a=0的根，则a的值为( )
A. −4B. 4C. 2D. 45
3.电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC=5，∠ACB=52°，则拉线AC的长为( )
A. 5tan52∘
B. 5cs52∘
C. 5⋅cs52°
D. 5sin52∘
4.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是( )
A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
5.关于x的一元二次方程kx2+4x−2=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥−2B. k>−2且k≠0C. k≥−2且k≠0D. k≤−2
6.如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′=3：1，△A′B′C′的面积为18，则△ABC面积为( )
A. 54
B. 32
C. 24
D. 916
7.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程( )
A. 50(1+x)2=175B. 50+50(1+x)2=175
C. 50(1+x)+50(1+x)2=175D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=175
8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点.若BG=3，CG=1，则线段MN的长度为( )
A. 5
B. 172
C. 2
D. 132
9.如图，已知点A(1,0)，B(4,m)，若将线段AB平移至CD，其中点C(−2,1)，D(a,n)，则m−n的值为( )
A. −3
B. −1
C. 1
D. 3
10.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC边的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x变化的函数关系如图②所示，则边BC的长是( )
A. 5B. 2 2C. 2 5511D. 4 5511
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. (−5)2= ______．
12.请写出一个两根分别是1，−2的一元二次方程______．
13.新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科.某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为______．
14.如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD=CE，分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N.若BN=CN，AM=4，BM=5，则AC的长为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A(1,0)，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) 30× 52+ 40÷ 5− 12；
(2)2sin30°+3cs60°−4tan45°．
17.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，过点M(4,0)的直线l//y轴，△ABC的顶点均在格点上．
(1)作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3；
(2)分别写出A1、A2、A3点的坐标为：
A1：______；
A2：______；
A3：______；
(3)△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
18.(本小题9分)
人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片(卡片背面完全相同)，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
(2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
19.(本小题9分)
如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG//BC，交CD于点G.求FG的长．
20.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程2x2−5x−m=0(m为常数)．
(1)当m=3时，求该方程的实数根；
(2)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
21.(本小题9分)
小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高.如图，AB的长为5m，高BC为3m.他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°.A，B，C，D，E在同一平面内．
你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由.(参考数据：sin38.7°≈0.625，cs38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数)
22.(本小题10分)
为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
23.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=n°，点D是平面内不与点A，B重合的任意一点，连结CD，将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，连结CE，BE，AD．
(1)观察猜想
如图①，当n=60°时，请直接写出线段BE与AD的数量关系：______；
(2)类比探究
如图②，当n=90°时，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题
当n=90°时，若BE//AC，AB=4 2，AD=1，请直接写出线段DC的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意得：a−1≥0，解得a≥1．
故选C．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求a的取值范围．
主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】B
【解析】解：∵2是关于x的方程x2+ax−3a=0的一个根，
∴把x=2代入得：22+2a−3a=0，
解得：a=4．
故选：B．
根据题意把x=2代入方程，即可求出a的值，从而选出选项．
本题主要考查了对一元二次方程的解，一元一次方程解法的理解和掌握，把x=2代入方程，求出关于a的方程的解是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=52°，BC=5，
∴cs52°=BCAC=5AC，
∴AC=5cs52∘
故选：B．
直接利用锐角三角函数关系得出cs52°=BCAC，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为23，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为16，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为13，不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为12，不符合题意；
故选：B．
分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意；
本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=42−4k×(−2)≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得k≠0且Δ=42−4k×(−2)≥0，
解得k≥−2且k≠0．
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：∵OC′：CC′=3：1，
∴OC′：OC=3：4，
∵△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△A′B′C′，A′C′//AC，
∴△A′OC′∽△AOC，
∴A′C′AC=OC′OC=34，
∴S△A′B′C′S△ABC=(34)2=916，
∵△A′B′C′的面积为18，
∴△ABC面积为32，
故选：B．
根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，A′C′//AC，得到△A′OC′∽△AOC，根据相似三角形的性质得到A′C′AC=OC′OC=34，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：二月份的产值为：50(1+x)，
三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，
故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．
故选：D．
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
本题主要考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几月的产值，再根据题意列出方程即可．
8.【答案】B
【解析】解：连接DG，EF，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴四边形AEFD是矩形，
∴M是ED的中点，
在正方形ABCD中，BG=3，CG=1，
∴BC=DC=4，
在Rt△DGC中，由勾股定理得，
DG= DC2+CG2= 42+12= 17，
在三角形EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点，
∴MN是三角形EDG的中位线，
∴MN=12DG= 172．
故选：B．
根据条件得到正方形的边长为4，由勾股定理求出线段DG的长，利用中位线得到MN的长即可．
本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵线段CD由线段AB平移得到，
且A(1,0)，C(−2,1)，B(4,m)，D(a,n)，
∴m−n=0−1=−1．
故选：B．
根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
本题考查坐标与图象的变化，熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵图中第一个点的坐标为(0,2)，
∴点P在点D处，CD=2．
∵点D为AC边的中点，
∴AD=2，AC=4．
∵图中第二个点的横坐标为2+ 11，此时CP最小，P的速度为每秒1个单位长度，
∴CP⊥AB，AP= 11．
作CP⊥AB于点P．
∴∠APC=90°．
∴PC= AC2−AP2= 5．
∴tan∠A=PCAP= 5 11= 5511．
∵∠ACB=90°，
∴tanA=BCAC=BC4．
∴BC4= 5511，
∴BC=4 5511．
故选D．
图中第一个点的坐标为(0,2)，表示点P未出发时，CP长2，此时点P在点D处，那么CD=2，也就得到了AD=2，那么AC为4.图中第二个点的横坐标为2+ 11，此时CP最小，那么CP⊥AB，AP= 11.根据勾股定理可得PC长，即可得到∠A的正切值，根据∠A的正切值即可得到BC的长．
本题考查动点问题的函数图象．得到关键点表示的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：tanA=∠A的对边邻边．
11.【答案】5
【解析】解：原式= 25=5．
故答案为：5．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
12.【答案】为x2+x−2=0
【解析】解：∵1+(−2)=−1，1×(−2)=−2，
∴两根分别是1，−2的一元二次方程可为x2+x−2=0．
故答案为x2+x−2=0．
先计算出两个数的和、两个数的积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一个一元二次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
13.【答案】16
【解析】解：画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果，其中该同学恰好选中地理和化学两科的有2种结果，
所以该同学恰好选中化学、生物两科的概率为212=16．
故答案为：16．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好选中地理和化学两科的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
14.【答案】6
【解析】解：由题中作图可知：CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM，
∵MN⊥BC，BN=CN，
∴MB=MC，
∴∠B=∠BCM，
∴∠ACM=∠B，
∵∠CAM=∠CAB，
∴△ACM∽△ABC，
∴AC：AB=AM：AC，
∵AM=4，BM=5，
∴AB=AM+BM=9，
∴AC：9=4：AC，
∴AC=6．
故答案为：6．
由线段垂直平分线的性质定理得到MB=MC，因此∠B=∠BCM，由角平分线定义推出∠ACM=∠B，又∠CAM=∠CAB，推△ACM∽△ABC，得到AC：AB=AM：AC，代入有关数据，即可求出AC的长．
本题考查尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明△ACM∽△ABC，得到AC：AB=AM：AC，从而求出AC的长．
15.【答案】(1− 3,3)或(1+ 3,−3)
【解析】解：如图所示：
∵菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A(1,0)，∠DAB=60°，
∴AD=AB=BC=CD=2，AB边的高是 3，
∴点C′的纵坐标为±3，横坐标为1± 3，
∴点C′的坐标为(1− 3,3)或(1+ 3,−3)，
故答案为：(1− 3,3)或(1+ 3,−3)．
根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质得出AD=AB=BC=CD解答．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答．
16.【答案】解：(1)原式= 30×52+ 40÷5−2 3
= 25×3+ 8−2 3
=5 3+2 2−2 3
=3 3+2 2；
(2)原式=2×12+3×12−4×1
=1+32−4
=−32．
【解析】(1)先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；
(2)先根据特殊角的三角函数值得到原式=2×12+3×12−4×1，然后进行有理数的混合运算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
17.【答案】(1,1) (1,−1) (7,1) 180° 8
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3即为所求．
(2)由图可得，A1(1,1)，A2(1,−1)，A3(7,1)．
故答案为：(1,1)；(1,−1)；(7,1)．
(3)连接AA2，BB2，CC2，
由图可知，△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180°．
△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为8个单位长度．
故答案为：180°；8．
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)由图可得答案．
(3)连接AA2，BB2，CC2，由图可知，△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转180°得到的；由平移的性质可知，△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移8个单位长度得到的．
本题考查作图−轴对称变换、平移变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
18.【答案】14
【解析】解：(1)∵共有4张卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为14；
故答案为：14；
(2)解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，
所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为416=14．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠CBF=∠AEF，∠BCF=∠EAF，
∴△CBF∽△AEF，
∴CFAF=BCAE=43，
∴CFCA=47，
∵FG//BC，AD//BC，
∴FG//AD，
∴FGAD=CFCA=47，
∴FG=47×4=167．
【解析】利用正方形性质，找到△CBF∽△AEF，即可利用对应边成比例，几何平行线性质即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定等，灵活运用所学知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵m=3，
∴原方程可化为2x2−5x−3=0，
∵Δ=(−5)2−4×2×(−3)=49，
∴x=5±72×2=5±74，
∴x1=−12，x2=3，
∴当m=3时，该方程的实数根为x1=−12，x2=3；
(2)∵关于x的一元二次方程2x2−5x−m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−5)2−4×2×(−m)>0，
解得：m>−258，
∴m的取值范围为m>−258．
【解析】(1)将m=3代入方程，利用因式分解法可求出方程的实数根；
(2)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程，牢记“当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
21.【答案】解：能，过B作BF⊥DE于F，
则EF=BC=3m，BF=CE，
在Rt△ABC中，∵AB=5m，BC=3m，
∴AC= AB2−BC2=4(m)，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=45°，
∴AE=DE，
设AE=DE=xm，
∴BF=(4+x)m，DF=(x−3)m，
在Rt△BDF中，tan38.7°=DFBF=x−34+x≈0.80，
解得x=31，
∴DE=31m，
答：信号塔DE的高为31m．
【解析】过B作BF⊥DE于F，于是得到EF=BC=3m，BF=CE，根据勾股定理得到AC= AB2−BC2=4(m)，根据等腰直角三角形的性质得到AE=DE，设AE=DE=x m，于是得到BF=(4+x)m，DF=(x−3)m，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．
22.【答案】解：(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(35,550)、(40,500)代入y=kx+b，得
35k+b=55040k+b=500．
解得：k=−10b=900，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=−10x+900；
(2)设此设备的销售单价为x万元/台，
则每台设备的利润为(x−30)万元，销售数量为(−10x+900)台，
根据题意得：(x−30)(−10x+900)=8000．
整理，得：x2−120x+3500=0，
解得：x1=50，x2=70．
∵此设备的销售单价不得高于60万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【解析】(1)根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为(x−30)万元，销售数量为(−10x+900)台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】BE=AD
【解析】解：(1)如图：
∵将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，
∴∠CDE=n°，DC=DE，
∵n=60°，
∴∠CDE=∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD；
故答案为：BE=AD；
(2)BE= 2AD，理由如下：
如图：
∵将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，
∴∠CDE=n°，DC=DE，
∵n=90°，
∴∠CDE=∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CE= 2CD，BC= 2AC，∠ACB=∠DCE=45°，
∴CECD= 2=BCAC，∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴BEAD=CECD= 2，
∴BE= 2AD；
(3)过E作EH⊥AC交CA延长线于H，
当D在A上方时，如图：
由(2)知，BE= 2AD，CE= 2CD，
∵AD=1，
∴BE= 2，
∵n=90°，
∴∠BAC=∠HAB=90°，
∵BE//AC，
∴∠ABE=∠BAC=90°，
∵EH⊥AC，
∴∠H=90°，
∴四边形ABEH是矩形，
∴AH=BE= 2，EH=AB，
∵AB=AC=4 2，
∴CH=AC+AH=5 2，EH=AB=4 2，
∴CE= CH2+EH2= (5 2)2+(4 2)2= 82，
∴ 82= 2CD，
解得CD= 41；
当D在A下方时，如图：
同理可得EH=AB=AC=4 2，AH=BE= 2AD= 2，
∴CH=AC−AH=4 2− 2=3 2，
∴CE= EH2+CH2= (4 2)2+(3 2)2=5 2，
∵CE= 2CD，
∴5 2= 2CD，
∴CD=5；
综上所述，CD的长为 41或5．
(1)根据将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，n=60°，可知△ABC和△DCE都是等边三角形，故BC=AC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，有∠BCE=∠ACD，从而△BCE≌△ACD(SAS)，即得BE=AD；
(2)根据将线段CD绕点D顺时针旋转n°得到线段ED，n=90°，可得△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，有CECD= 2=BCAC，∠BCE=∠ACD，可得△BCE∽△ACD，即知BEAD=CECD= 2，BE= 2AD；
(3)过E作EH⊥AC交CA延长线于H，分两种情况：当D在A上方时，由(2)知，BE= 2AD知BE= 2，证明四边形ABEH是矩形，可得CH=AC+AH=5 2，EH=AB=4 2，可求出CE= CH2+EH2= 82，故 82= 2CD，CD= 41；当D在A下方时，同理可得CD=5．
本题考查几何变换综合应用，设计三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质等，解题的关键是掌握等腰直角三角形三边的关系．
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