2023-2024学年广东省江门市新会区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省江门市新会区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0是一元二次方程，则m的取值范围是( )
A. m≠2B. m=2C. m≥2D. m≠0
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程x2−3x+3=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个相等的实数根D. 没有实数根
4.把抛物线y=−x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为( )
A. y=−(x−1)2+3B. y=(x−1)2+3
C. y=−(x+1)2+3D. y=(x+1)2+3
5.⊙O的半径为5，点P(−3,4)与⊙O的位置关系是( )
A. 在⊙O内B. 在⊙O上C. 在⊙O外D. 不能确定
6.下列成语所描述的事件是必然发生的是( )
A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待兔D. 瓮中捉鳖
7.广州南站到江门站距约84.3km，则动车由广州南站行驶到江门站所用时间y(小时)与行驶速度x(千米/时)之间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A(2,3)，B(m,−2)，则不等式ax+b>kx的解是( )
A. −32B. x<−3或0C. −22D. −33
9.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点.若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是( )
A. 13
B. 5
C. 3
D. 2
10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(−32,y1)，(103,y2)是抛物线上两点，则y1A. ①②B. ②③C. ②④D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.写出以x1=4为一个根的一个一元二次方程______．
12.若反比例函数y=k+3x的图象经过点(3,−2)，则k的值为______．
13.二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，成本便宜等特性.如图是一张边长为5cm的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为______cm2．
14.若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是______cm．
15.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是______步．
16.对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a,b}表示a，b中较大的数，如：max{−1,3}=3．
(1)方程x2+2x=max{0,−1}的解为______；
(2)方程max{2x−1,x}=x2的解为______．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解方程：3x(x−2)=4(2−x)
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)(每个方格的边长均为1个单位长度).将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1．
19.(本小题6分)
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=55°，求∠ABP和∠P的度数．
20.(本小题6分)
如图，把一个直角三角形ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
(1)三角形旋转了多少度？
(2)连接CD，求∠BDC的度数．
21.(本小题8分)
共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是______；
(2)小沈从中随机抽取一张卡片(不放回)，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．(这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示)
22.(本小题10分)
已知关于x的方程x2+ax+a−2=0．
(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
23.(本小题10分)
如图，已知A(−4,n)，B(2,−4)是一次函数y=ax+b的图象和反比例函数y=kx的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)求不等式ax+b−kx<0的解集(请直接写出答案)．
24.(本小题12分)
用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
25.(本小题12分)
如图，抛物线y=−12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(−1,0)，C(0,2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意，得m−2≠0，
m≠2，
故选：A．
本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0的整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可作出判断．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，正确把握相关定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵△=b2−4ac=(−3)2−4×1×3=−3<0，
∴方程没有实数根，
故选：D．
求出一元二次方程根的判别式；根据根的判别式即可判断根的情况．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
4.【答案】A
【解析】解：抛物线y=−x2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为(1,3)，
所以平移后的抛物线解析式为y=−(x−1)2+3．
故选：A．
先确定抛物线y=−x2的顶点坐标为(0,0)，再根据点的平移规律得到点(0,0)向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为(1,3)，然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5.【答案】B
【解析】解：∵圆心在原点O，点P(−3,4)，
∴OP= 32+42=5，
∵5=5，
∴点P在圆上．
故选：B．
根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径相比较即可．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念逐个分析即可．
【解答】
解：A，B选项为不可能事件，故不符合题意；
C选项为可能性较小的事件，是随机事件；
D选项项瓮中捉鳖是必然发生的．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：y=84.3x且x>0，
得双曲线为第一象限的一支；
故选：B．
由y=84.3x且x>0，得双曲线为第一象限的一支即可．
本题主要考查反比例函数的性质，解题关键是注意函数自变量的范围．
8.【答案】A
【解析】解：∵A(2,3)在反比例函数上，
∴k=6．
又B(m,−2)在反比例函数上，
∴m=−3．
∴B(−3,−2)．
结合图象，
∴当ax+b>kx时，−32．
故选：A．
依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质，通过图象直接得出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
9.【答案】B
【解析】解：连接OB，作OP′⊥l于P′如图，OP′=3，
∵PB切⊙O于点B，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
∴PB= OP2−OB2= OP2−22，
当点P运动到点P′的位置时，OP最小时，则PB最小，此时OP=3，
∴PB的最小值为 32−22= 5．
故选：B．
连接OB，如图，根据切线的性质得∠PBO=90°，则利用勾股定理有PB= OP2−OB2= OP2−22，所以当点P运动到点P′的位置时，OP最小时，则PB最小，此时OP=3，然后计算此时的PB即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，如何确定PB最小时点P的位置是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．由抛物线开口方向得到a<0，有对称轴方程得到b=−2a>0，由∵抛物线与y轴的交点位置得到c>0，则可对①进行判断；由b=−2a可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，则可判断当x=2时，y>0，于是可对③进行判断；通过比较点(−32,y1)与点(103,y2)到对称轴的距离可对④进行判断．
【解答】
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以①错误；
∵b=−2a，
∴2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(−1,0)，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，
∴当x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，所以③错误；
∵点(−32,y1)到对称轴的距离比点(103,y2)对称轴的距离远，
∴y1故选：C．
11.【答案】x2−4x=0(答案不唯一)
【解析】解：依题意得x2−4x=0，
解得x1=4，x2=0，
故答案为：x2−4x=0(答案不唯一)．
根据一元二次方程解的定义，以及一元二次方程的定义即可求解．
本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12.【答案】−9
【解析】解：把点(3,−2)的坐标代入反比例函数y=k+3x得，k+3=−6，
解得k=−9，
故答案为：−9．
把点(3,−2)的坐标代入反比例函数y=k+3x的关系式可求出k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，代入是常用的方法．
13.【答案】17.5
【解析】解：边长为5cm的正方形的面积=25cm2，
根据题意，据此可估计黑色部分的面积约为25×0.7=17.5(cm2)，
故答案为：17.5．
用总面积乘以落入黑色部分的频率即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14.【答案】9
【解析】【分析】
此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．
【解答】解：设母线长为l，则120π×l180=2π×3
解得：l=9cm.
故答案为9．
15.【答案】6
【解析】解：根据勾股定理得斜边长为 82+152=17，
则该直角三角形内切圆的半径r=8+15−172=3，
即直径为6步．
故答案为6．
根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，即可得到直径．
本题考查三角形的内切圆与内心．
16.【答案】x1=0，x2=−2 x=0
【解析】解：(1)∵x2+2x=max{0,−1}=0，
∴x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
解得：x1=0，x2=−2，
∴方程x2+2x=max{0,−1}的解为x1=0，x2=−2，
故答案为：x1=0，x2=−2；
(2)当2x−1>x时，即x>1时，max{2x−1,x}=2x−1=x2，
即2x−1=x2，
解得：x1=x2=1，不符合题意；
当2x−1即x=x2，
解得：x1=1，x2=0，
∵x<1，
∴x=0，
故答案为：x=0．
(1)由题意得出x2+2x=0，再解一元二次方程即可得到答案；
(2)分两种情况：当2x−1>x时，即x>1时，max{2x−1,x}=2x−1=x2；当2x−1本题考查了解一元二次方程，新定义下的实数的运算，理解题意，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键．
17.【答案】解：∵3x(x−2)+4(x−2)=0，
∴(x−2)(3x+4)=0，
则x−2=0或3x+4=0，
解得：x=2或x=−43．
【解析】利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】解：如图△A1B1C1即为所求：
；
【解析】根据旋转的性质，可得答案．
本题考查了作图，利用旋转的性质是解题关键．
19.【答案】解：∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP=∠ACB=55°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∠P=180°−2∠PBA=180°−110°=70°．
【解析】根据弦切角的性质即可求得∠ABP=55°，根据切线的性质求得PA=PB，进而求得∠PAB=∠PBA，然后根据三角形内角和定理就可求得∠P的度数．
本题考查了切线的性质，弦切角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质和弦切角的性质是关键．
20.【答案】解：(1)∵∠ACB=30°，
∴∠ABE=180°−∠ABC=150°，
∴三角形旋转了150°；
(2)如图，
∵△BDE是由△BCA旋转得到，
∴BC=BD，∠CBD=∠ABE=150°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BDE=12(180°−150°)=15°．
【解析】(1)先利用邻补角的定义计算出∠ABE=180°−∠ABC=150°，然后根据旋转的性质即可得到旋转角的度数；
(2)根据旋转的性质得BC=BD，∠CBD=∠ABE=150°，则根据等腰三角形的性质得∠BDC=∠BCD，然后根据三角形内角和定理计算∠BDC的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
21.【答案】解：(1)14；
(2)画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为212=16．
【解析】本题考查了用树状图法求概率．
(1)根据概率公式直接得出答案；
(2)根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
解：(1)∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，共享服务只有一张，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是14，
故答案为14；
(2)见答案；
22.【答案】解：(1)设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1=−a，x×1=a−2，
解得：x=−32，a=12，
即a=12，方程的另一个根为−32；
(2)∵Δ=a2−4(a−2)=a2−4a+8=a2−4a+4+4=(a−2)2+4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】(1)设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1=−a，x×1=a−2，求出即可；
(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两个根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，要记牢公式，灵活运用．
23.【答案】解：(1)∵B(2,−4)在函数y=mx的图象上，
∴m=−8．
∴反比例函数的关系式为：y=−8x．
∵点A(−4,n)在函数y=−8x的图象上，
∴n=2，
∴A(−4,2)，
∵y=kx+b经过A(−4,2)，B(2,−4)，
∴−4a+b=2 2a+b=−4 ，
解之得a=−1b=−2，
∴一次函数的关系式为：y=−x−2．
(2)由ax+b−kx<0
移项得：ax+b即一次函数值小于反比例函数值，
由图可知，−42．
【解析】(1)将B(2,−4)代入y=mx即可求出m的值，再将A点坐标代入所得反比例函数解析式，求出n的值，然后将A、B点坐标分别代入y=ax+b，组成方程组，即可得到k、b的值；
(2)由ax+b−kx<0，得出ax+b本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，(1)要理解函数图象的交点坐标同时符合两个函数的解析式；(2)利用数形结合，直接写出不等式的解集．
24.【答案】解：(1)设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2−x.依题意得
y=x(32÷2−x)=−x2+16x．
则y关于x的函数关系式是y=−x2+16x；
(2)由(1)知，y=−x2+16x．
当y=60时，−x2+16x=60，即(x−6)(x−10)=0．
解得x1=6，x2=10，
即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；
(3)不能围成面积为70平方米的养鸡场．
理由如下：
由(1)知，y=−x2+16x．
当y=70时，−x2+16x=70，即x2−16x+70=0
因为△=(−16)2−4×1×70=−24<0，
所以该方程无解．
即不能围成面积为70平方米的养鸡场．
【解析】本题考查了根据实际列二次函数的解析式和一元二次方程的应用．解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式．
(1)根据矩形的面积公式进行列式；
(2)、(3)把y的值代入(1)中的函数关系，求得相应的x值即可．
25.【答案】解：(1)把A(−1,0)，C(0,2)代入y=−12x2+mx+n，
得−12−m+n=0n=2，解得m=32n=2，
∴抛物线解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)存在．
抛物线的对称轴为直线x=−322×(−12)=32，
则D(32,0)，
∴CD= OD2+OC2= (32)2+22=52，
如图1，当CP=CD时，则P1(32,4)；
当DP=DC时，则P2(32,52)，P3(32,−52)，
综上所述，满足条件的P点坐标为(32,4)或(32,52)或(32,−52)；
(3)当y=0时，−12x2+32x+2=0，解得x1=−1，x2=4，
则B(4,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(4,0)，C(0,2)代入得4k+b=0b=2，
解得k=−12b=2，
∴直线BC的解析式为y=−12x+2，
设E(x,−12x+2)(0≤x≤4)，则F(x,−12x2+32x+2)，
∴FE=−12x2+32x+2−(−12x+2)=−12x2+2x，
∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=12⋅4⋅EF=2(−12x2+2x)=−x2+4x，
而S△BCD=12×2×(4−32)=52，
∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD
=−x2+4x+52，
=−(x−2)2+132(0≤x≤4)，
当x=2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为132，此时E点坐标为(2,1)．
【解析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
(1)直接把A点和C点坐标代入y=−12x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；
(2)先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=−32，则D(32,0)，则利用勾股定理计算出CD=52，然后分类讨论：如图1，当CP=CD时，利用等腰三角形的性质易得P1(32,4)；当DP=DC时，易得P2(32,52)，P3(32,−52)；
(3)先根据抛物线与x轴的交点问题求出B(4,0)，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=−12x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E(x,−12x+2)(0≤x≤4)，则F(x,−12x2+32x+2)，则FE=−12x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF=S△BEF+S△CEF=12⋅4⋅EF=−x2+4x，加上S△BCD=52，所以S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=−x2+4x+52(0≤x≤4)，然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．