2023-2024学年广东省江门市新会区东方红中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省江门市新会区东方红中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知三角形的两边长分别为6cm和14cm，则下列长度能作为第三边的是( )
A. 12cmB. 7cmC. 6cmD. 25cm
3.如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，则∠E的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
4.下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. b2⋅b3=b6
C. (−2ab2)3=−8a3b6D. (2x2)3=6x6
5.等腰三角形的两条边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为( )
A. 8或10B. 8C. 10D. 11
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E.若CD=9cm，则点D到AB的距离是( )
A. 9cm
B. 6cm
C. 4.5cm
D. 3cm
7.如果多项式x2−mx+16是一个完全平方式，则m的值是( )
A. 4B. ±4C. 8D. ±8
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD是高，则AD的长为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
9.如图，在Rt△ABC中，分别以B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE.若∠EBD=32°，则∠A的度数为( )
A. 50°
B. 58°
C. 60°
D. 64°
10.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为( )
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 8cm
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.平面直角坐标系中，点P(−3,1)关于x轴对称的点的坐标是 ．
12.因式分解：3m2+6m= ______ ．
13.如图，在一个三角形的纸片(△ABC)中，∠C=90°，则图中∠1+∠2的度数为______ °.
14.如图，已知△ABC是等边三角形，∠BCD=90°，BC=CD，则∠ABD=______．
15.如图，已知AD是△ABC中线，点E是AD的中点，若△BDE的面积为3cm2，则△ABC的面积为______ cm2．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)先化简，再求值：(x+1)2+(2+x)(2−x)，其中x=1．
(2)已知一个多边形的内角和是外角和的2倍多180°，则这个多边形的边数是多少？
17.(本小题7分)
已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC/​/DF．
求证：△ABC≌△DEF．
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)作△ABC的角平分线AD，交BC于D(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积等于______.(只写结果即可)
20.(本小题9分)
如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．
21.(本小题9分)
已知多项式x2−mx+n与x−2的乘积中不含x2项和x项，试求m和n的值．
22.(本小题12分)
如图所示，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，AE交CD于点M，BD交CE于点N，连接MN．
(1)试证明AE=BD；
(2)试证明CM=CN；
(3)△CMN是什么三角形？请说明理由．
23.(本小题12分)
如图所示，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，连接AM．
(1)AM是否平分∠BAD？请证明你的结论；
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：设三角形的第三边为xcm，由题意可得：
14−6即8满足条件的只有12cm，
故选：A．
根据三角形的三边关系可得14−6此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
3.【答案】C
【解析】解：∵△Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠B=∠E(全等三角形的对应角相等)，
∵∠B=60°，
∴∠E=60°．
故选：C．
利用全等三角形的对应角相等即可解决问题．
本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A：a2，a3不是同类项，故不能相加，故A错误；
B：b2⋅b3=b2+3=b5，故B错误；
C：(−2ab2)3=(−2)3a3b2×3=−8a3b6，故C正确；
D：(2x2)3=23x2×3=8x6，故D错误；
故选：C．
根据同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则即可求解．
本题考查同底数幂的乘法运算、积的乘方运算．掌握相关运算法则即可．
5.【答案】C
【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
综上所述，三角形的周长为10．
故选：C．
分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DC=9cm，
即点D到AB的距离DE是9cm．
故选：A．
直接利用角平分线的性质解决问题．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7.【答案】D
【解析】解：∵x2−mx+16=x2−mx+42，
∴−mx=±2⋅x⋅4，
解得m=±8．
故选D．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BC=6，
∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A=30°，
∴BD=12BC=12×6=3，AB=2BC=2×6=12，
∴AD=AB−BD=12−3=9．
故选：D．
求出∠BCD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=12BC=3，AB=2BC=12，再根据AD=AB−BD代入数据计算即可得解．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据作图可得PQ是BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠C=∠EBD=32°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A=90°−∠C=90°−32°=58°，
故选：B．
根据作图可得PQ是BC的垂直平分线，则EB=EC，根据等边对等角可得∠C=∠EBD=32°，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
本题考查了垂直平分线，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握基本作图是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+12BC=6+12×4=6+2=8cm．
故选：D．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】(−3,−1)
【解析】【分析】
本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y).关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得结论．
【解答】
解：∵关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点P(−3,1)关于x轴对称的点的坐标是(−3,−1)．
故答案为：(−3,−1)．
12.【答案】3m(m+2)
【解析】解：3m2+6m=3m(m+2)．
故答案为：3m(m+2)．
直接找出公因式进而提取公因式分解因式得出答案．
本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题关键．
13.【答案】270
【解析】解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°−90°=270°，
故答案为：270．
由三角形的内角和定理求解∠A+∠B=90°，再结合四边形的内角和定理可得答案．
本题考查的是三角形的内角和定理与四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的内角和与四边形的内角和是解本题的关键．
14.【答案】15°
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=15°，
故答案为：15°．
根据等边三角形的性质可得∠ABC=60°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠CBD=45°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及等边三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：∵点E是AD的中点，△BDE的面积为3cm2，
∴S△ABD=2S△BDE=6cm2，
∵AD是△ABC中线，
∴S△ABC=2S△BAD=12(cm2)；
故答案为：12．
三角形的中线分三角形成面积相等的两部分，据此解答．
本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线分三角形成面积相等的两部分是解题关键．
16.【答案】解：(1)(x+1)2+(2+x)(2−x)
=x2+2x+1+4−x2
=2x+5，
当x=1时，原式=2×1+5=7；
(2)设这个多边形的边数为n，
由题意得，180°×(n−2)=360°×2+180°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数为7．
【解析】(1)先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后代值计算即可；
(2)设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和为180°×(n−2)，外角和为360°建立方程求解即可．
本题主要考查了整式的化简求值，多边形内角和定理和外角和定理，熟知乘法公式和n边形内角和为180°×(n−2)是解题的关键．
17.【答案】证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=FE，
∵AC/​/DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠DFEBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
【解析】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出全等即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
18.【答案】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AC=2AE=10cm，
∵△ABD的周长为17cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=27cm．
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AC=2AE=10cm，根据三角形的周长公式计算．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
19.【答案】解：(1)作图如下：
(2)15．
【解析】解：(1)见答案；
(2)过D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积=12AB⋅DE=12×10×3=15．
(1)根据角平分线的作图步骤画出图形即可；
(2)根据角平分线的定义和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用参数构建方程解决问题．
20.【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°−90°−70°=20°，
∵∠BAC=50°，∠C=70°，
∴∠ABC=60°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAO=12∠BAC=25°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO=12∠ABC=30°，
∴∠BOA=180°−∠BAO−∠ABO=180°−25°−30°=125°．
【解析】因为AD是高，所以∠ADC=90°，又因为∠C=70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC=50°，∠C=70°，所以∠BAO=25°，∠ABC=60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=30°，故∠BOA的度数可求．
本题考查了同学们利用角平分线的定义解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
21.【答案】解：(x−2)(x2−mx−n)，
=x3−mx2−nx−2x2+2mx+2n，
=x3−(m+2)x2+(2m−n)x+2n，
∵不含x2项和x项，
∴−(m+2)=0，2m−n=0，
解得：m=−2，n=−4．
【解析】根据多项式与多项式的乘法法则展开，再利用不含的项系数等于0列式即可求出m、n的值即可．
本题主要考查多项式的乘法，运用不含某一项就是该项的系数等于0是解本题的关键，熟练掌握运算法则也很重要．
22.【答案】(1)证明：∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
AC=DC∠ACE=∠DCBCE=BC，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=BD；
(2)证明：由(1)可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
即∠CAM=∠CDN，
∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，
又点A、C、B在同一条直线上，
∴∠DCE=180°−∠ACD−∠BCE=180°−60°−60°=60°，
即∠DCN=60°，
∴∠ACM=∠DCN，
在△ACM和△DCN中，
∠MAC=∠NDCAC=DC∠ACM=∠DCN，
∴△ACM≌△DCN(ASA)，
∴CM=CN；
(3)解：△CMN为等边三角形，理由如下：
由(2)可知CM=CN，∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)．
【解析】(1)根据等边三角形的性质得出AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，求出∠ACE=∠DCB，根据SAS推出△ACE≌△DCB即可；
(2)根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CDB，根据等边三角形的性质得出AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，求出∠DCE=60°，推出∠ACM=∠DCN，根据ASA推出△ACM≌△DCN即可；
(3)根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形推出△CMN为等边三角形，推出∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，求出∠CMN=∠ACM=60°，即可得出答案；
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
23.【答案】解：(1)AM平分∠DAB，理由为：
过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC，
∴∠1=∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME=MC(角平分线上的点到角两边的距离相等)，
又∵MC=MB，
∴ME=MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)．
(2)AM⊥DM，理由如下：
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD/​/AB(垂直于同一条直线的两条直线平行)，
∴∠CDA+∠DAB=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠1=12∠CDA，∠3=12∠DAB(角平分线定义)，
∴2∠1+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°，
∴∠AMD=90度．即AM⊥DM．
【解析】(1)过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，从而证明AM平分∠DAB；
(2)利用两直线平行同旁内角互补可得∠1+∠3=90°，所以两直线垂直．
本题主要考查了垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质和它的逆定理，及平行线的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键．