数学八年级下册3 线段的垂直平分线教学课件ppt

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如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头P应建在什么位置？
作AB的线段垂直平分线
垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线
l ⊥AA′交于点D，AD=A′D
线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合
直线l是线段AB的垂直平分线，p是直线l的一点，线段AB沿直线l折叠
因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.
线段垂直平分线的性质定理
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
证明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC, PC=PC∴△APC≌△BPC(SAS)∴PA=PB (全等三角形的对应边相等)
已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C，且AC=BC, P是MN上任意一点.求证: PA=PB.
符号语言：∵如图, PC⊥AB, AC=BC, （P是线段AB垂直平分线上的一点）∴PA=PB.
应用：常用来证明两条线段相等
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．
命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
PA=PB，要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论
情况一：当点P在线段AB上时，
∴点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
情况二：当点P在线段AB外时，如图.
∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
（1）过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C
（2）取线段AB的中点C，连接PC
（3）过P点作∠APB的角平分线交AB于点C
直线PC是线段AB的垂直平分线
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
几何语言：∵　PA =PB，∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例1：如图，在△ABC中，∠C=90°，DE为AB的垂直平分线．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
知识点一：线段垂直平分线的性质
解：（1）∵DE为AB的垂直平分线， ∴DA＝DB，∴C△ACD＝AC+CD+DA ＝AC+CD+DB ＝AC+BC＝14（cm）；
（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x， ∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝2x， ∵∠C＝90°， ∴x+2x+2x＝90°， 解得 x＝18°，则∠B＝2x＝36°．
例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
知识点二：线段垂直平分线的判定
证明：∵AB=AC，OB=OC，OA=OA ∴△AOB≌△AOC (SSS) ∴∠BOA=∠COA. ∵AB=AC ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
思考：到线段AB两个端点距离相等点的位置有什么关系？
都在同一条直线上，这条直线是线段的垂直平分线.
1．如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知PA＝1，则PB ( )A．等于1 B．小于1C．大于1 D．不能确定
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( )A．50° B．70° C．75° D．80°
4．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( ) A．8 B．9 C．10 D．11
5.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC=16cm，则△BCE的周长是 cm.
7．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， 求证：直线AD是CE的垂直平分线．
证明：∵DE⊥AB，AC⊥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， 又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC， 在△AED和△ACD中， ∠AED＝∠ACB，∠DAE＝∠DAC，AD＝AD ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AC，DE＝DC ∴AD平分线段EC， 即直线AD是线段CE的垂直平分线．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，点D是BE的中点．（1）若∠C＝35°，求∠BAE的度数；（2）若CD＝4cm，CF＝3cm，求△ABC的周长．
解：（1）∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝35°， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝70°， ∵点D是BE的中点，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BE， ∴AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB＝70°， ∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝40°；
解：（2）∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE，∴AC＝2CF＝2×3＝6cm，CE＝AE＝AB，DB＝DE，∴C△ABC＝AC+CB+AB ＝AC+CD+DB+AB ＝AC+CD+（DE+CE） ＝AC+2CD ＝6+2×4＝14（cm）， 即△ABC的周长是14cm．
线段的垂直平分的性质和判定
完成课本P23习题1.7中第1、2、3、4题