湖南省娄底市新化县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份湖南省娄底市新化县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．要使分式的值总是存在，则的取值范围应为（ ）
A． B．C．D．
2．“准知盘中餐，粒粒皆辛苦”．已知一粒米的质量约千克，则数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．5，5，10
4．在，，0.2121121112…，等五个数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
6．使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
7．如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， ED//BC，已知AB＝3， AD＝1，则△AED的周长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DFB．∠A=∠DC．AC=DFD．∠ACB=∠F
10．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
二、填空题
11．若分式的值等于，则的值为 ．
12．计算：＝ ．
13．“等边对等角”的逆命题是 ．
14．现定义一种新的运算：，例如：，则不等式的解集为
15．有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的等于 ．
16．如图，求 ．
三、解答题
17．计算：
18．化简求值：，其中．
19．已知的平方根为，的立方根为，求的值．
20．解不等式组，并在数轴上表示解集，然后写出不等式组的非负整数解．
21．如图，在中，，，BD平分交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
22．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．

(1)判断正负，用“＞”“＜”填空：________0，________0
(2)化简．
23．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．
(1)求每辆型汽车进价是多少万元？
(2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？
24．规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
；（S1是△OA1A2的面积）
；（S2是△OA2A3的面积）
；（S3是△OA3A4的面积）……
（1）请用含有n（n为正整数）的等式 ；
（2）推算出 ；
（3）求出的值．
25．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】要使分式的值总是存在，即要使分式有意义，即，求得的取值范围．
【详解】解：∵ 分式的值总是存在
∴分式有意义
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
2．D
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：D．
3．C
【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．
【详解】解：A、，不能组成三角形，此项不符题意；
B、，不能组成三角形，此项不符题意；
C、，能组成三角形，此项符合题意；
D、，不能组成三角形，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
4．C
【分析】本题考查实数分类及无理数定义，熟记实数分为有理数和无理数，无限不循环小数称为无理数是解决问题的关键．根据实数分类：有理数和无理数，以及无理数定义：无限不循环小数称为无理数逐个分析即可得到答案．
【详解】解：，是有理数，
，0.2121121112…是无理数，
故选：C．
5．C
【分析】根据不等式的基本性质求解即可．
【详解】∵关于的不等式的解集是，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．
6．C
【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件、分式的分母不能为零列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，
解得且．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式的分母不能为零，解题的关键是熟知二次根式具有非负性．
7．B
【分析】先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到．
【详解】解：∵在等腰中，，，
∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．C
【详解】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵ED∥BC，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，
∵AB=3，AD=1，
∴△AED的周长=3+1=4．
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
9．C
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出．
【详解】∵AB=DE，∠B=∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；
添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；
添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确．
故选C．
10．D
【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴ ，
∴，
又∵是增根，当时，
，即，
∴，
∵有意义，
∴，
∴，
因此 且，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D．
【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义．
11．1
【分析】根据分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件，知道分子等于0分母不能等于0是解题关键．
12．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
13．等角对等边
【分析】本题考查了命题与定理，交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
【详解】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；
故答案为：等角对等边．
14．
【分析】根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可得．
【详解】根据题意知：（﹣2）2﹣2x≥0，
﹣2x≥﹣4，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式．
15．
【分析】根据数值转换器，输入x=16，进行计算，一直到是无理数则输出即可．
【详解】】解：第1次计算得，=4，而4是有理数，
因此第2次计算得，=2，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，则输出．
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．
16．225°/225度
【分析】连接AD，BC，根据三角形内角和、四边形内角和求解即可．
【详解】解：连接AD，BC，
四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，
∵∠DEA＋∠EAD＋∠ADE＝180°，∠DEA＝105°，
∴∠EAD＋∠ADE＝180°−105°＝75°，
∵∠CFB＋∠FCB＋∠FBC＝180°，∠CFB＝120°，
∴∠FCB十∠FBC＝180°−120°＝60°，
∴∠DCF＋∠ABF＋∠EAB＋∠EDC＝360°−（∠EAD＋∠ADE）−（∠FCB＋∠FBC）＝360°−75°−60°＝225°，
故答案为：225°．
【点睛】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了乘方、绝对值、负整数指数幂、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、最简二次根式的的性质．根据乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、最简二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：
．
18．﹣x2﹣x；
【分析】原式括号中两边通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
=
=﹣x(x+1)
=﹣x2﹣x
当x=时，原式=﹣2﹣．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握化简方法是解题关键．
19．
【分析】本题考查了平方根和立方根定义的应用，根据题意得出算式和求解是解题的关键．
【详解】解∶∵的平方根为，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴，
∴．
20．不等式组的解集为﹣1≤x＜3；数轴表示见解析；非负整数解为0、1、2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式3（x+2）≥x+4，得：x≥﹣1，
解不等式＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的非负整数解为0、1、2．
【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的解法．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，进而根据等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵BD平分
∴，
∴
即是等腰三角形；
（2）解：∵点E是AB的中点
∴
∵是等腰三角形
∴
∴
【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是据等腰三角形的性质和三角形内角和得出解答．
22．(1)>，>；
(2)
【分析】（1）根据数轴得到且，结合有理数运算法则直接计算即可得到答案；
（2）根据根式的性质及绝对值的性质直接化简求值即可得到答案；
【详解】（1）解：由数轴得，
，，
，，故答案为：>，>；
（2）解：原式
；
【点睛】本题考查根式的化简求值及根据数轴判断式子的值，解题的关键是熟练掌握根式的性质及根据数轴得到且．
23．(1)B型汽车的进价为每辆10万元
(2)最多可以购买36辆A型汽车
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可；（2）根据题意，列出不等式，求解即可．正确列出方程和不等式是解决本题的关键．
【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
答： B型汽车的进价为每辆10万元；
（2）解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，
A型车每辆进价：（万元），
依题意得：，
解得：，
答：最多可以购买36辆A型汽车．
24．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）通过观察规律可得；（Sn是△OAnAn+1的面积）；
（2）根据求解即可得到答案；
（3）先分别算出，，，，，即可得到
，然后进行分母有理化即可.
【详解】解：（1）；（S1是△OA1A2的面积）
；（S2是△OA2A3的面积）
；（S3是△OA3A4的面积）……
∴可得；（Sn是△OAnAn+1的面积）,
故答案为：；
（2）由（1）得，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，，，，
∴
，
.
【点睛】本题主要考查了规律，分母有理化，解题的关键在于能够根据题意准确找到规律进行求解.
25．(1)BD＝AC，BD⊥AC，理由见解析
(2)不发生变化．理由见解析
(3)①BD＝AC；②能，BD与AC所成的角的度数为60°或120°
【分析】（1）可以证明△BDE≅△ACE，推出BD=AC ，BD⊥AC；
（2）如图2中，不发生变化，只要证明△BED ≅△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE ，由∠DEC＝90°，推出∠ACE+∠EOC＝90°，因为∠EOC＝∠DOF，则∠BDE+∠DOF＝90°，可知∠DFO＝180°-90°＝90°，即可証明 ；
（3）①如图3中，结论：BD＝AC，只要证明 △BED≅△AEC即可；
②能；由△BED≅△AEC可知，∠BDE＝∠ACE，推出 ∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（60°+60°）＝60°，
即可解决问题．
【详解】（1）解：BD＝AC，BD⊥AC，理由如下，
延长BD交AC于F，如图所示，

∵AE⊥BC，
∴∠BED ＝∠AEC＝90°，
在△BED和△AEC中，
∵，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，
∵∠BED＝90°，
∴∠EBD+∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE＝90°，
∴∠AFD＝180°-90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）不发生变化，理由如下：如图所示，DE与AC交于点O，BD与AC交于点F，
，
∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
∵，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°-90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）①如图3中，结论：BD＝AC，
理由如下：
∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
∵，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC．
②能，∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
∵，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴∠BDE＝∠ACE，
∴∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）
＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）
＝180°-（60°+60°）
＝60°，
即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．
【点睛】本题考查几何变换综合题，等腰直角三角形的性 质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和 性质，学会利用“8字型”证明角相等．