云南省玉溪第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷

这是一份云南省玉溪第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：黄 旭 审题人：康皓岚
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知复数，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．定义在上的函数是偶函数的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
4．若数列是等差数列，且，则（ ）
A．48B．50C．52D．54
5．已知双曲线，过其左焦点的直线l交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为 （ ）
A．8B．9C．16D．20
6．若，，，，则
A．B．C．D．
7．定义在上的函数满足：对任意，有（为非零常数），则下列说法一定正确的是
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
8．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17
D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16
10．设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．已知圆O：和圆C：.现给出如下结论，其中正确的是（ ）
A．圆O与圆C有四条公切线
B．过C且与圆O相切的直线方程为
C．过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为为或
D．P､Q分别为圆O和圆C上的动点，则的最大值为
12．如图所示，三棱锥中，， ，为线段上的动点（不与重合），且，则（ ）
A.
B．
C．存在点，使得
D．三棱锥 的体积有最大值
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知平面向量，则 .
14．已知，，直线：，：，且，则的最小值为 ．
15．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角的正弦值为，则高等于 .
16．已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为 ．
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18-22题，每题12分，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）某校为了增强学生的安全意识，为学生进行了安全知识讲座，讲座后从全校学生中随机抽取了300名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图．
(1)求这部分学生成绩的众数与平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)为了更好的了解学生对安全知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第4、5组中用等比例分层抽样的方法抽取6名学生，进行第二轮比赛，最终从这6名学生中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．
18．（12分）在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
问题：已知为等差数列的前n项和，若 .
(1)求数列的通项公式；
(2)设 ，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（12分）如图，在中，，，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值.
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，为等边三角形，，为的中点，为上的一点，且．
(1)求四棱锥的体积；
(2)求二面角的大小．
21．（12分）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
22．（12分）已知椭圆（）的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程
(2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点
①求证：； ②求证：定值.
玉溪一中2023-2024学年下学期高二年级开学考
参考答案
1．D 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7. C 8．B
9．AD 10．BC 11．ACD 12．BD
13． 14． 15．或 16．
17．(1)众数：75 平均数： (2)
解：（1）众数为：75
平均数为：.
（2）根据等比例分层抽样的方法抽取的名学生，有人，有人，
设四人编号为，两人编号为.
则所有抽取结果：，，共个结果.
其中“分（包括分）以上的同学恰有人”所包含结果有：
，共种结果.
所以“分（包括分）以上的同学恰有人”的概率为.
18．(1) (2)
解：（1）若选①：在等差数列中，，
当时，，
也符合，∴；
若选②：在等差数列中，
，，解得
；
若选③：在等差数列中，
，解得
；
（2）由（1）得 ，
所以
19．（1）； （2）.
解：（1）在三角形中，∵，∴
在中，由正弦定理得，
又，，∴.
（2）∵，∴，，
又，∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
在中，由余弦定理得.
∴，
∴.
20．(1)； (2).
解：（1）在四棱锥中，连接，由是边长为1的菱形，且，
得是正三角形，而是正三角形，且为的中点，则，
，于是，即，则，
而平面，因此平面，
所以四棱锥的体积.
（2）由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为建立空间直角坐标系，
则，，，
由，得，于是，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然平面的一个法向量为，二面角的平面角为锐角，设大小为，
因此，则，
所以二面角的大小为
21．（I），； （II）
解：（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，得，解得，
故，，
所以，的通项公式为，的通项公式为；
（II）
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
22．(1) (2)①证明过程见解析；②证明过程见解析.
解：（1）椭圆的的离心率为，所以，
椭圆过点，所以，即，
因此椭圆的标准方程为；
（2）①当直线和中有一条没有斜率时，另一条的斜率为零，此时点是或者是，显然成立，
当直线存在斜率且不为零时，设为，所以直线的斜率为，
因为，坐标原点是线段的中点，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（不包括两焦点），
综上所述：点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，因此，
显然，显然成立，
②当直线和中有一条没有斜率时，由于椭圆的对称性，不妨设直线不存在，因此直线的斜率为零，
，把时，，所以，
显然，所以定值；
当直线存在斜率且不为零时，设为，所以直线的斜率为，
直线的方程为：，于是有，设，
，
，同理可得：，
于是定值，
综上所述：定值.