2023届云南省玉溪市第一中学高三上学期开学考试数学试题含答案

2023届云南省玉溪市第一中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知全体实数集，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算＝{x|x≤﹣1或x≥4}，B＝{y|y≥1}，再计算交集得到答案.

【详解】由R为全体实数集，集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，得＝{x|x≤﹣1或x≥4}，

∵B＝{y|y＝x2+1，x∈R}＝{y|y≥1}，∴＝{x|x≥4}．

故选：C．

2．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（       ）

A．48种 B．36种 C．24种 D．12种

【答案】B

【解析】利用分步计数原理，分3步即可求出

【详解】解：由题意可知，分三步完成：

第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；

第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；

第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，

根据分步计数原理，共有不同的选取方法，

故选：B

3．已知直线在平面内，则“直线”是“直线”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的判定和性质分析判断.

【详解】当直线在平面内，时，直线有可能在平面内，直线有可能与平行，也有可能相交不垂直，

而当直线在平面内，时，一定成立，

所以“直线”是“直线”的必要不充分条件，

故选：B

4．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】变形得，代值计算即可.

【详解】.

故选：D.

5．方程－＝12的化简结果为（       ）

A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0)

【答案】C

【分析】设A(−10,0)，B(10,0)，，求出动点的轨迹方程即得解.

【详解】解：设A(−10,0)，B(10,0)，，

由于动点P(x,y)的轨迹方程为－＝12，

则|PA|−|PB|=12，故点P到定点A(−10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12，

则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，

由于2a=12，c=10，则，

故P的轨迹的标准方程为－＝1(x＞0).

所以原方程可以化简为－＝1(x＞0).

故选：C

6．先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】引出事件、，根据古典概型概率计算公式，分别计算事件和事件发生的概率，代入条件概率计算公式可得答案.

【详解】设事件表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数为奇数”，

事件表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，两次点数和不大于”，

则，,

所以.

故选：D.

7．当时，函数取得最小值，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出导函数，由题意，解得，即可计算.

【详解】当时，函数取得最小值，

所以，所以，得，

又，根据函数在处取得最值，

所以即得，

所以，.

故选：C.

8．已知数列中，，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据数列前项和求出数列的通项公式，根据定义判断其为等比数列，运用等比数列求和公式求解即可.

【详解】因为①，所以②，

①-②得，

当时，满足上式.

所以，∴，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴.

故选：A.

二、多选题

9．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区､超市､学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲､乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．甲同学体温的极差为

B．乙同学体温的众数为，中位数与平均数不相等

C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定

D．甲同学体温的第60百分位数为

【答案】ACD

【分析】利用折线图，对图中数据进行分析，依次分析各选项即可得答案.

【详解】对于A：甲同学体温的极差为-=，故A选项正确；

对于B：乙同学体温为36.4，36.3，36.5，36.4，36.4，36.3，36.5，其众数为，中位数、平均数均为，故B选项错误；

对于C：根据图中数据，甲同学的体温平均数为，与乙同学的体温平均数相同，但甲同学的体温极差为，大于乙同学的体温极差，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确；

对于D：甲同学的体温从小到大排序为36.2，36.2，36.4，36.4，36.5，36.5，36.6.

7×60%=4.2，故甲同学体温的第60百分位数为，故D选项正确.

故选：ACD

10．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．是偶函数 B．在（0，+∞）上单调递减

C．是周期函数 D．≥-1恒成立

【答案】AD

【分析】判定的奇偶性判断选项A；判定的单调性判断选项B；判定的周期性判断选项C；求得的最小值判断选项D.

【详解】的定义域为R

，

则为偶函数.故选项A判断正确；

时，

恒成立，则为上增函数.

故选项B判断错误；选项C判断错误；

又为偶函数，则为上减函数

又，则的最小值为.故选项D判断正确；

故选：AD

11．[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（       ）

A．点的坐标为

B．若直线过点，则

C．若，则的最小值为

D．若，则线段的中点到轴的距离为

【答案】BCD

【分析】根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.

【详解】易知点的坐标为，选项A错误；

根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；

若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，

为，即，选项C正确，

抛物线的焦点为，准线方程为，

过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，

所以，．

所以，

所以线段，

所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．

故选：BCD

12．设非零向量的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（       ）

A．若，则

B．（为任意非零向量）

C．设在中，，则

D．若，则

【答案】ACD

【分析】由已知，结合选项逐一判断即可，对于B，举反例证明其不恒成立

【详解】对于A，，，得或，，故A正确；

对于B，设，，分别是与、与，与的夹角，

则，，

不妨取，则，，此时不成立，故B错误．

对于C，在中，已知，则，

，故C正确；

对于D，，

当时，，当且仅当时取等，

，故D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．记为等差数列的前n项和．若，则__________．

【答案】

【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.

【详解】是等差数列，且，

设等差数列的公差

根据等差数列通项公式：

可得

即：

整理可得：

解得：

根据等差数列前项和公式：

可得：

.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

14．如图正方体的棱长为2，则平面与平面夹角的正切值为___________.

【答案】

【分析】连接交于点，连接，即可得到，，从而即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.

【详解】连接交于点，连接，在正方体中，为的中点，

所以，，所以即为二面角的平面角，

又，，

所以，

即二面角的正切值为.

故答案为：

15．新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的大头，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：

根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为，则表中______．

【答案】

【分析】根据残差的定义用观测值减去预测值，列方程求参数a，再根据样本中心在回归方程上求m值.

【详解】由题设，，可得.

又，，

所以，可得.

故答案为：

四、解答题

16．的内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）证明：是等腰三角形；

（2）若，且的面积为，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）或.

【分析】（1）对切化弦，再根据角度的范围，即可得到结论；

（2）根据（1）中所求，可以求得，再根据面积公式，即可求得，再结合余弦定理，即可求得.

【详解】（1）由正弦定理及，

得，即.

因为，所以，

所以是等腰三角形.

（2）由（1）知，所以.

因为，

所以.

又，

所以.

若，则，

即，解得；

若，则，

即，解得.

所以或.

【点睛】本题考查三角形形状的判断，以及余弦定理的应用，属综合基础题.

17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点.

（1）求直线与平面的夹角余弦值；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）；（2）.

【分析】由于底面是矩形，平面，所以可得两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可

【详解】因为平面，平面，平面，

所以,

因为四边形为矩形，所以，

所以两两垂直，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所以示，

因为，，是中点，

所以，,

所以，

设平面的法向量为，则

，令，则，

（1），设直线与平面的夹角为，

则，

因为

所以，

（2）因为，面的法向量为，

所以点到平面的距离为

18．数列的前项和为，且.

(1)证明：数列为等差数列；

(2)求数列的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）将代入等式，即可化简出，即可得出结论；

（2）由（1）可求出，再由，即可求出数列的通项公式.

【详解】(1)由，

得，

，且，

故数列为以2位首项，2为公差的等差数列.

(2)由（1）知数列的首项为，公差，则数列，

即，

则.

19．某农发企业计划开展“认领一分地，邀你来当农场主”活动.该企业把农场以微田园形式对外租赁，让人们认领.认领的田地由企业的专业人员打理，认领者可以随时前往体验农耕文化，所有收获归认领者所有.某咨询公司做了关于活动意愿情况的调查，随机抽取了100份有效问卷，部分统计数据如下表：

(1)请将上述列联表补充完整，试依据小概率值的独立性检验，分析男性是否比女性更愿意参与活动；

(2)为了更详细的了解情况，在100份有效问卷中抽取不愿意参与活动的人员若干人组成观摩小组，观摩小组恰有男性4名，女性3名.从观摩小组中选取3人为免费体验者，设免费体验者中男性人数为X，求X的分布列及数学期望.

附：，.

下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

【答案】(1)列联表答案见解析，认为男性比女性更愿意参与活动

(2)分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）根据数据完善列联表，再计算卡方进行独立性检验即可；

（2）根据超几何分布的分布列求解概率与分布列，再根据数学期望公式求解即可

【详解】(1)列联表补充完整如下

零假设为：参与意愿与性别无关联，

根据列联表的数据可得，

对照附表，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以认为参与意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01.

(2)X的可能取值为0，1，2，3，

，，

，.

所以X的分布列为：

根据超几何分步的数学期望有.

20．已知函数，其中.

(1)当时，求函数在内的极值点；

(2)若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围.

【答案】(1)极大值点为，无极小值点

(2)

【分析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；

（2）求得函数的解析式，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数的取值范围.

【详解】(1)解：由题意得：

当时，，

则，

令得，，

列表如下：

故在内的极大值点为，无极小值点.

(2)

①当时，，

函数在区间单调递增

所以

即（舍）；

②当时，，

函数在区间单调递减

所以，符合题意；

③当时

当时，，区间在单调递减

当时，，区间在单调递减

所以

化简得：，即

所以或（都舍）；注：也可令，

则

则在单调递减

所以，不符合题意；

综上所述：实数k取值范围为.

21．已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)若点H的坐标为(2，0)，点、()是椭圆E上的两点，点A，B，H不共线，且∠OHA=∠OHB，证明：直线AB过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据长轴长与焦点坐标即可求解，从而求出方程；

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，由得，结合韦达定理即可证明结论．

【详解】(1)∵抛物线的焦点为，∴的焦点为，即，焦点在轴

又，∴，

∴椭圆的方程为

(2)设直线的方程为，则，，

由得，．

即

则，            

∵，     ∴          

∴，即

∴，∴满足题意             

∴直线恒过定点．

五、双空题

22．如图，，，是全等的等腰直角三角形（，处为直角顶点），且，，，四点共线.若点，，分别是边，，上的动点（包含端点）， 则________，的取值范围为_______.

【答案】         

【分析】如图：以为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而可得直线，，的方程，设出，，的坐标，结合横坐标的范围以及数量积的坐标表示即可求解.

【详解】如图：以为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，

则，，，，，，，

直线的方程为：，设，且，

直线的方程为：，设，且，

直线的方程为：，设，且，

所以，，，

，，所以，

故答案为：；.