云南省开远市第一中学校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份云南省开远市第一中学校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了02， 已知，，，则， 函数的零点所在的区间为， 已知向量，则下列结论正确的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

2024.02
考生注意：
1.本试满分150分，考试时间120分钟.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若点在角的终边上，则（ ）.
A. B. C. D.
3. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cs B＝（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的零点所在的区间为（ ）.
A. B. C. D.
7. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A. 是以4为周期周期函数
B
C. 函数有3个零点
D. 当时，
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）.
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 命题“，”是假命题
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的充分不必要条件
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则；
B. 若正数a、b满足，则；
C. 若，则的最大值是；
D. 若，，，则的最小值是9；
12. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）.

A. 函数最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 化简：______.
14. 若幂函数在上单调递增，则__________．
15. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为__________.
16. 某人在点C测得某塔底B在南偏西方向，塔顶A的仰角为，此人沿南偏东方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合.
（1）求；
（2）若集合，，求实数a的取值范围.
18 计算：
（1）；
（2）已知 ，求 的值.
19. 已知函数，.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的值域.
20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角B 的大小；
（2）若，的面积为，求的值．
21. 已知函数，.
（1）用单调性的定义证明在上是单调减函数；
（2）若关于x不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
22. 正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
设茶水温度从100℃经过后温度变为℃，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③．
（1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到）；
（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：）
开远市第一中学校2024年春季学期高一年级开学考试
数学
2024.02
考生注意：
1.本试满分150分，考试时间120分钟.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求解集合A,然后进行交集补集运算即可.
【详解】集合,
或,则
故选：C
2. 若点在角的终边上，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的定义与诱导公式即可得解.
【详解】因为点在角的终边上，所以，
则.
故选：A.
3. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分别判断的范围即可.
【详解】因为在上单调递减，且，所以；
因为在上单调递减，且，所以；
因为在上单调递减，且，所以；
所以，
故选：B.
4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】把变为就可以看出怎么平移.
【详解】∵，∴把函数的图象向右移个单位就可得到函数的图象.
故选D.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换，属于基础题.
5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cs B＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求即可.
【详解】由b2＝ac，
又c＝2a，
得，
由余弦定理，
得cs B＝＝.
故选：B.
6. 函数的零点所在的区间为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的单调性与零点存在性定理判断即可．
【详解】因为在上都单调递增，
所以在上单调递增，
又，，即，
故的零点所在区间为.
故选：B.
7. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值.
【详解】
，
所以，所以，
所以，
.
故选：D.
8. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A. 是以4为周期的周期函数
B.
C. 函数有3个零点
D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】因为，且为偶函数，
所以
，
故的周期为4，故A正确．
由的周期为4，则，，
所以，故B错误；
令，可得，
作函数和的图像如下图所示，
由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；
当时，，则，故D正确．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量平行与垂直的坐标表示，对选项逐一分析判断即可得解.
【详解】因，
对于AB，，则，故A正确，B错误；
对于C，，，
则，则，故C正确；
对于D，，显然，
则，故不成立，故D错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）.
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 命题“，”是假命题
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用量词命题的否定与真假性判断AB，利用充分与必要条件的定义判断CD，从而得解.
【详解】对于A，根据存在量词命题的否定形式可知A正确；
对于B，在中，，所以方程无解，故B正确；
对于C，取，满足，但，即充分性不成立，故C错误；
对于D，因为是的真子集，所以“”是“”的充分必要不条件，故D正确.
故选：ABD.
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则；
B. 若正数a、b满足，则；
C. 若，则的最大值是；
D. 若，，，则的最小值是9；
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项用作差法即可，B，C，D选项都是利用基本不等式判断.
【详解】对于选项A，，
因为，，所以，
,即，故，所以A错误；
对于选项B，因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于选项C，因为，，当且仅当即 时，等号成立，所以，故C正确；
对于选项D，因为，所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是8，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）.

A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过观察函数的图象，可得函数图象经过点，且半周期为，从而可得的解析式，再根据该正弦型函数在周期，对称性，单调性和给定区间上的值域分别判断即可得解.
【详解】因为，
由的图象知其经过点，故得，即，
因，则，故，
又图象经过点，则，
所以或，
解得或（*），
由三角函数图象的对称性可知，该函数的周期满足，
即得，解得，满足（*），故；
对于A，因周期，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，此时为增函数，故C正确；
对于D，令，则当时，，
则在上单调递减，
故有，此时有，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：已知部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
（1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出.
（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 化简：______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的线性运算求解.
【详解】，
故答案为：
14. 若幂函数在上单调递增，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用幂函数的定义求出或，再利用单调性检验即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，
解得或，
时在上单调递减，不合题意；
时在上单调递增，符合题意，
所以，
故答案为：.
15. 已知扇形圆心角为，弧长为，则扇形的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式求解.
【详解】由可知，，
所以扇形面积，
故答案为：
16. 某人在点C测得某塔底B在南偏西方向，塔顶A的仰角为，此人沿南偏东方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________.
【答案】10 m
【解析】
【分析】根据题意作出示意图，设出塔高，从而用表示出，再利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】由题意作出图形，如下图所示，设塔高为，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，
由余弦定理得，
即，
整理得，解得或（舍去）．
故答案为：10m.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合.
（1）求；
（2）若集合，，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解；
（2）先根据题意得到，再分析得，从而利用集合的包含关系即可得解.
小问1详解】
因为，，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，又，
因为，恒成立，故，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
18. 计算：
（1）；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算法则即可得解；
（2）利用三角函数的齐次式法求得，进而得解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，解得，
所以
.
19. 已知函数，.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用整体代入法即可得解；
（2）由定义区间和函数解析式，结合正弦函数的性质即可得解.
【小问1详解】
，
由，解得，
所以函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
因为，则，
所以，故，
所以函数在上的值域为.
20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角B 的大小；
（2）若，的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简式子得到答案.
（2）利用余弦定理和面积公式得到方程组，解得答案.
【详解】解：（1）因为
所以
所以
∴ ∴
（2）由得．
由余弦定理得
∴
【点睛】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
21. 已知函数，.
（1）用单调性的定义证明在上是单调减函数；
（2）若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用函数单调性的定义证明；
（2）根据恒成立要求，分离参数，根据函数的单调性求最小值，求解即可
【小问1详解】
任取，且，
则，
又，，
，，
，即，
在上是单调减函数．
【小问2详解】
上单调递减且恒有，
不等式对于任意恒成立，
即为，对于任意恒成立，
令，
当时取得最小值，，
所以的取值范围是．
22. 正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
设茶水温度从100℃经过后温度变为℃，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③．
（1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到）；
（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：）
【答案】（1）选模型②，且；
（2）；
（3）约为10℃.
【解析】
【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式；
（2）令，利用指对数关系及对数运算性质求结果；
（3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温.
【小问1详解】
由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，
选模型②，则，即，可得，
所以且.
【小问2详解】
令，则.
所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为.
【小问3详解】
由，即，所以进行实验时的室温约为10℃.
时间
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1
2
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水温℃
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时间
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水温℃
100
91
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78.37
72.53
67.27