云南省2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份云南省2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,且的实部与虛部互为相反数,则( )
A.50B.C.32D.
3．已知直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补,则( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
4．如图,在三棱柱中,( )
A.B.
C.D.
5．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
6．连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,记录每次朝上的点数,设事件A为“第一次的点数是6”，事件B为“第二次的点数小于4”,事件C为“两次的点数之和为偶数”,则( )
A.B.A与B互斥
C.A与C互斥D.A与C相互独立
7．两平行直线与直线分别与圆相交于点A,B和C,D,若,则的面积为( )
A.B.C.4D.
8．已知某圆锥的底面圆半径为1,且该圆锥侧面展开图的圆心角为,则该圆锥的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.B.C.D.
10．如图,三角形数阵由一个等差数列 2,5,8,11,14,…排列而成,按照此规律,下列结论正确的是( )
A.数阵中前7行所有数的和为1190
B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101
C.数阵中第10行的第1个数是137
D.数阵中第10行从左至右的第4个数是146
11．已知双曲线的左、有焦点分别是,离心率为2,过右焦点的直线交双曲线E的右支于A,B两点,;的内切圆圆心为M,则下列结论正确的是( )
A.双曲线E的渐近线方程为
B.直线与双曲线E的左、右两支各有一个交点
C.的最小值为
D.M在定直线上
三、填空题
12．已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,且,则___________.
13．在递增等比数列中,,,则的公比_____________.
14．如图,将正四棱柱斜立在平面a上,顶点在平面a内，平面a,.点P在平面a内,且.若将该正四棱柱绕旋转,则PC的最大值为___________.
四、解答题
15．某课题组在某市高一学生中随机抽取100名学生,调查他们11月份整理数学错题的天数情况,并将样本数据分成,,,,,六段,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)估计这100名学生整理数学错题的天数的平均数.(同一组要自中的数据用该组区间中点值作代表).
16．如图,为了测量某塔的高度,无人机在与塔底B位于同一水平面的C点测得塔顶A的仰角为45”,无人机沿着仰角的方向靠近塔,飞行了后到达D点,在D点测得塔顶A的仰角为26°,塔底B的俯角为45°,且A,B,C,D四点在同一平面上,求该塔的高度.(参考数据:取,)
17．在等差数列中,,是和的等比中项.
(1)求的公差d;
(2)若数列的前n项和为,且，求.
18．如图,在中,,,.将绕OP旋转60°得到,D,E分别为线段OP,AP的中点.
(1)求点D到平面ABP的距离;
(2)求平面OBE与平面ABP夹角的余弦值,
19．给定椭圆,我们称椭圆为椭圆E的“伴随椭圆”已知A,B分别是椭圆E的左、右顶点,C为椭圆E的上顶点,等腰ABC的面积为,且顶角的余弦值为.
（1）椭圆E的方程:
（2）P是椭圆E上一点(非顶点),直线AP与椭圆E的“伴随椭圆”交于G,H两点,直线BP与椭圆E的“伴随椭圆”交于M,N两点,证明:为定值
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得 ,所以.
2．答案：B
解析：由题意得 ,
则,得,
所以.
3．答案：B
解析：直线 的倾斜角为,则.
4．答案：D
解析：
5．答案：D
解析：的定义域为,
关于原点对称，
所以为奇函数, 排除选项B,C.
当时,,，
所以,所以排除选项A,
故选：D.
6．答案：D
解析：依题意得，A错误.因为A与B可能同时发生,
所以B不正确.因为A与C可能同时发生,
所以C错误.因为,,
所以，
所以A与C相互独立,D正确.
7．答案：B
解析：由 可化为 ,
故圆M的圆心M的坐标为,
半径为,因为,所以直线过点,即,
所以，.
圆心M到的距离,所以,
所以的面积为 .
8．答案：A
解析：设该圆锥的母线长为l,由, 得,
则该圆锥的轴截面是直角三角形所以该圆锥的外接球的半径为1，
体积为.
9．答案：AB
解析：由图可知,
则,因为,所以.
由,得,得,
因为,所以，
所以，.
10．答案：ACD
解析：等差数列2,5,8,11,14···的通项公式为.数阵中前7行共个数,数阵中前7行所有数之和为,A正确.
令,解得 ,前7行共28个数, 第8行有8个数,
所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数, B错误. 记每一行的第1个数组成数列,
则，，，,···，，
累加得 ,
所以,，C正确. 数阵中第10行从左至右的第4个数是,D正确.
11．答案：BCD
解析：由题可知,所以,
故双曲线E的渐近线方程为,直线与双曲线E的左、右两支各有一个交点,A错误,B正确.
当AB垂直于x轴时, AB取得最小值, 最小值为, 故C正确. 设圆M分别与,,相切于点C,D,G,
则,,.因为,
所以，
令G的横坐标为,则，
即G为双曲线E的右顶点, 即M在定直线上,故D正确.
12．答案：4
解析：, 解得.
13．答案：
解析：因为是递增等比数列, 且，
所以 则.
14．答案：
解析：过点C作,垂足为E,连接AC. 易得平面，
所以点C到平面的距离为，
，，，
，过点C作平面,垂足为（图略）.
当，，P三点共线, 且 时,PC取得最大值,
最大值为.
15．答案：（1）0.06
（2）17
解析：（1）由，
解得.
（2）这100名学生整理数学错题的天数的平均数的估计值为
16．答案：
解析：如图, 过点D作 , 垂足为E.
由题意得,.
设,则,，，
所以，.
在中, 由余弦定理得，
得,即该塔的高度为.
17．答案：（1）0或2
（2）12或3
解析：（1）由题意得,即,
解得或2.
(2) 当时,,则,所以.
当 时,,
则，
所以.
故或3.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）取AB的中点C,连接PC,OC,作,垂足为F.
因为，，C为AB的中点, 所以,.
又, 所以平面POC.因为平面POC,所以.
又,,所以平面PAB,即点D到平面ABP的距离为DF的长度.
易证平面OAB,所以.因为是边长为2的等边三角形，
所以,又,所以,所以.
（2）以C为坐标原点, CB, CO的方向分别为x, y轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，.
设平面OBE的法向量为, 可得 即
令,得.
取PC的中点G, 连接OG(图略)，在等腰中,易证,平面PAB,
所以为平面ABP的一个法向量.
设平面OBE与平面ABP的夹角为,则.
19．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由,可得,
因为的面积为 ,所以,解得，.
所以椭圆E的方程为 .
（2）证明:设, 直线AP的斜率为,直线AP的方程为,
直线BP的斜率为,直线BP的方程为,
所以.
由 ,得,
椭圆E的“伴随椭圆”的方程为.
联立 可得,
设 ,,则,
,
同理,
所以.