71，广西壮族自治区梧州市苍梧县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份71，广西壮族自治区梧州市苍梧县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共20页。

1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卷2页），满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，请将学校、班别、姓名、准考证号写在答题卷指定的位置，答案写在答题卷相应的区域内，在试题卷上答题无效．
一、选择题．（本大题12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）
1. 抛物线的图象一定经过（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的图象得对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口向上，
∴抛物线的图象一定经过第一、二象限．
故选：A
【点睛】本题主要查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2. 已知二次函数，则当时，该函数（ ）
A. 只有最大值3，无最小值B. 有最大值3，有最小值0
C 有最小值，有最大值3D. 只有最小值，无最大值
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数，可以得到当时，该函数的最大值和最小值，本题得以解决．
【详解】解：二次函数，开口向上，离对称轴越远函数值越大，
当时，在时，函数取得最小值，此时，
当时，函数取得最大值，此时，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3. 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ）
A. 40秒B. 45秒C. 50秒D. 55秒
【答案】C
【解析】
【分析】炮弹落到地上即，代入解析式解答即可．
【详解】解：令，则，
解得（舍去），，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质的应用，掌握炮弹落到地上即可以解答本题．
4. 如果，那么下列四个选项中一定正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据比例的性质得到，即可判断A、C；设，则，由此即可判断B、D．
【详解】解：∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．
5. 如图，已知，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于、、，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：，
，即，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6. 如图，在中，，，若，则等于（ ）

A. 4.5B. 3C. 3.5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】证即可利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵
∴
故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．注意确定对应线段．
7. 在中，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴的度数是；
故选A．
8. 在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三角函数值（ ）
A. 都扩大 1 倍B. 都没有变化
C. 都缩小为原来的一半D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】在直角三角形中，锐角三角函数值即为边的比值；根据锐角三角函数值的概念进行分析即可得到答案．
【详解】解：根据锐角三角函数的概念，知：
如果各边都扩大 1 倍，即各边都变为原来的2倍，边长比不变，则其锐角的三角函数值不变．
故选：B．
【点睛】此题考查的是锐角三角函数的概念，掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边长无关是解决此题关键．
9. 如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在中，根据正切的定义计算即可．
【详解】解：如图，在的正方形网格图中，

在中，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
10. 如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【详解】解：，
当时，，故A不合题意；
当时，，故C不合题意；
当时，，故D不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
11. 如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质与判定，根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可解题．
【详解】解：与位似，位似中心为，
，，
与的周长之比是，
，
，
，
．
故选：D．
12. 如图，在中，，，，垂足为，为线段上一点，若，则为（ ）

A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，过点D作交于点H，先证为的中位线，得，再证和相似，得，则，据此可得出答案．
【详解】解：过点D作交于点H，如图：

在中，，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 二次函数：的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求抛物线顶点坐标的方法，根据顶点式的坐标特点的顶点坐标为，即可直接写出顶点坐标．
【详解】解：，
顶点坐标为，
故答案为：．
14. 已知线段b是线段a，c的比例中项，，，那么____________cm．
【答案】9
【解析】
【分析】根据线段比例中项定义得到，进而代值求解即可．
【详解】解：∵线段b是线段a，c的比例中项，
∴，又，，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查线段的比例中项，根据线段比例中项定义得到是解答的关键．
15 若，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．由，得，代入所求的式子即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
16. 某人沿着一个斜坡往上走动了5米，他的垂直高度上升了3米，则这个坡的坡比为______．
【答案】##075
【解析】
【分析】本题考查了坡比的定义和勾股定理，根据勾股定理求出水平距离，即可根据坡比的定义“坡面的铅直高度和水平距离的比，叫做坡比”解题．
【详解】解：某人沿着一个斜坡往上走动了5米，他的垂直高度上升了3米，
则此人走过的水平距离为：（米），
则这个坡的坡比为：，
故答案为：．
17. 如图，在中，，，，边的垂直平分线交边于点，交边于点，连接，那么的值是______．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线性质，勾股定理，以及角的正切值，根据垂直平分线性质得到，设，则，根据勾股定理建立等式，求出的值，最后利用，即可解题．
【详解】解：边的垂直平分线交边于点，
，
，，，
设，则，有，
即，解得，
，
故答案为：．
18. 如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论．
【详解】解：设点，
，
D为的中点，
，
轴，
的面积为3，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
三、解答题（本大题8小题，共72分）
19. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可得到答案．
详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
20. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可．
【小问1详解】
如图，为所作．
【小问2详解】
如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
21. 由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功．当W为定值时，F与s之间的函数关系图像如图所示．
（1）试确定F、s之间的函数解析式．
（2）当力F为时，发生位移多少米？
【答案】（1）
（2）0.25米
【解析】
【分析】（1）由图象可知，是反比例函数关系，当1时，，利用待定系数法求出函数解析式．
（2）把代入，利用反比例函数关系解答实际问题．
【小问1详解】
解：如图，点在图像上，
∴，
∴，
∴，
∴F、s之间的函数解析式；
【小问2详解】
当时，，解得，
答：发生位移0.25米．
【点睛】题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
22. 如图所示，延长平行四边形一边至点，连接交于点，若．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）9
【解析】
【分析】（1）本题考查平行四边形性质，以及相似三角形的判定，根据平行四边形性质得到，推出角相等，即可证明三角形相似．
（2）本题考查平行四边形性质，以及相似三角形的性质，根据平行四边形性质得到，根据相似三角形的性质，推出，即可解题．
【小问1详解】
解：证明：四边形是平行四边形，
，
，，
；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
，
由（1）可得，，
，
．
23. 如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．

（1）求平房的高度；
（2）请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）在中，已知 ， ，利用角的正切可得出结果
（）在中，由正切函数的定义求出的长，最后解，即可求出的长，即古树的高度．
【小问1详解】
由题意知，，
，
【小问2详解】
，，
∴，
，，，
，，
，
在中，．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角、俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
24. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物和“品牌图腾”，是天府之国享有极高知名度的个性名片．此次成都大运会吉祥物“蓉宝”（如图1）便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”的公仔毛绒玩具，进价为30元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图2所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（），如果规定该玩具售价不超过40元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润是2400元，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用．
（1）设关于的函数表达式为，用待定系数法求解即可；
（2）题意可得，由于对称轴为直线，由二次函数的性质即可得到结论．
正确根据题意设出函数的解析式，并用待定系数法求解是解题关键．
【小问1详解】
解：设关于的函数表达式为，
由题意可得：，
解得：，
关于的函数表达式为；
【小问2详解】
由题意可得：
，
对称轴为直线，抛物线的开口向下，
，
，
物价部门规定该玩具售价不得超过40元件，
时，取最大值2400，
，
解得：．
25. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为B，交于点E．

（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由菱形性质证得，再由同角的余角相等证得，利用有两个角分别相等的三角形相似判定，由相似三角形的性质可得比例式，结合菱形的边长相等可得结论；
（2）利用有两个角分别相等的三角形相似判定，从而可得比例式，利用勾股定理求得的长，再由比例式可得的值，进而得出的值，然后由关系式求得答案即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
26. 综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动．

观察发现
（1）如图1，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃，设米，E是边上的动点。连接，，设的面积为y平方米，求出y与x之间的函数关系式，并求y的最大值．
探究迁移
（2）工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮上分割出，用来填充不同材质的产品，已知，，点E，F，G分别在边，，上，且，，设，的面积为y．
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
②求y的最大值．
（3）如图3，在（2）的条件下，且点F位于的面积最大时的位置，H是上的一点，连接，当四边形的面积为时，求的长．
【答案】（1）；y的最大值为112.5
（2）①；；②y的最大值为5
（3）的长为1
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质与矩形的性质，三角形的面积等知识；
（1）利用三角形的面积即可表示出y与x的函数关系式，并根据二次函数解析式求出y的最大值；
（2）利用矩形面积减掉直角梯形和两个直角三角形的面积即可得到y与x的函数关系式，根据实际应用题中有意义的条件，得出x的取值范围，进而得到y的最大值；
（3）在（2）的条件下可以得到的面积，进而得到的面积，即可求出的长；
解题的关键是会用配方法求解二次函数的最值，会用割补法求解不规则图形的面积．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴当时，y的最大值为112.5；
（2）①由题可知，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵的面积=矩形的面积-梯形的面积-的面积-的面积，
即，
即，
∵，，
∴；
②∵，
∵，且，
∴当时，y的最大值为5；
（3）如图4，连接，
,
∵在（2）的条件下，且点F位于的面积最大时的位置时，
∴此时的面积为5，
∵四边形的面积=的面积+的面积=，
∴的面积=，
，
∴．