新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题，八），七）等内容，欢迎下载使用。

1. 关于的方程是是一元二次方程，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数不为0列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵关于的方程是是一元二次方程，
∴，
解得：，
故选：A．
2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键．根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标．
【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为，
故选：．
3. 一个图形经过下列变换后得到新图形，不能全等的是（ ）
A. 平移B. 翻折C. 旋转D. 缩小
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移、翻折、旋转的性质得到变换后的图形与原图形全等，缩小不是全等变换，变换前后的图形不全等．由此即可得到结论．
【详解】三角形经过平移、翻折、旋转后，所得三角形与原三角形全等，
把一个三角形缩小后，所得三角形与原三角形不全等．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等变换．掌握常见的全等变换是解答本题的关键．
4. 如图，在中，若，则的度数是（ ）
A. 50°B. 30°C. 25°D. 20°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，据此作答即可．
【详解】解：由图可知：；
故选C．
5. 下列事件是必然事件的为（ ）
A. 明天早上会下雨B. 任意一个三角形，它的内角和等于
C. 掷一枚硬币，正面朝上D. 打开电视机，正在播放“新闻联播”
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了必然事件．熟练掌握一定会发生的事件是必然事件是解题的关键．
根据必然事件的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，明天早上会下雨，是随机事件，故A不符合要求；
任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，故B符合要求；
掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故C不符合要求；
打开电视机，正在播放“新闻联播”，是随机事件，故D不符合要求；
故选：B．
6. 已知，和是它们的对应中线，若，则（ ）
A. B. C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的对应边上的中线比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可．
【详解】解：∵，和是它们的对应中线，，
∴的相似比为；
∴；
故选：A．
7. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率是，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1－降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意可得：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系，列出方程即可．
8. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ）

A. cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的应用．证明，则，设正方形零件的边长为x，则，根据相似三角形的性质得到，解方程即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为x，则，
∴，
解得：，
即这个正方形零件的边长为．
故选：A．
9. 如图，菱形的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，，反比例函数的图象经过点C，与交于点D，若的面积为30，则k的值等于（ ）
A. B. 48C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得，再根据 的值即可求得菱形的边长，即可求得点的坐标，代入反比例函数即可解题是解题的关键.
【详解】作，设，
∵四边形为菱形，
，
，
，
同理 ，
，
，
，
，
，
，
，解得：，
，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴代入点得：
故选: C.
二、填空题（每题4分，共24分）
10. 已知与点关于原点对称，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称的点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，解得：，
则，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
11. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排场比赛，比赛组织者应邀请_____个队参赛．
【答案】8
【解析】
【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，则每个队参加（x－1）场比赛，共有场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案.
【详解】解：根据分析可列出方程：＝28，解得：x1＝8，x2＝－7（舍去），故答案为8.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，解此题的要点在于可以把实际问题转换成数学问题.
12. 是方程的一个根，则代数式的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：把代入方程中得：，
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，利用整体代入法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是__________________．
【答案】−1＜x＜3
【解析】
【分析】y＝kx＋m与y＝−kx＋m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．
【详解】解：∵y＝kx＋m与y＝−kx＋m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝−kx＋m与抛物线y＝ax2＋c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，
如图所示：
∵A（−3，y1），B（1，y2），
∴A′（3，y1），B′（−1，y2），
根据函数图象得：不等式的解集是−1＜x＜3，
故答案为：−1＜x＜3．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，关键是利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题．
14. 已知圆锥的侧面展开的扇形面积是6π，圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是___．
【答案】1
【解析】
【分析】设扇形半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可．
【详解】解：设扇形半径为r，圆锥的底面半径为R．
由题意，，
解得：r＝6或﹣6（舍弃），
∵扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，
∴，
∴R＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15. 如图，在边长为6的等边中，点E、F分别是边、上的动点，且，连接、交于点P，连接，则的最小值为 ___________．
【答案】2
【解析】
【分析】由等边三角形的性质证明，得到，再根据三角形外角的性质，得到，进而得到，过点、、作，连接、，与相交于点，可知点在上运动，根据等边对等角的性质和四边形内角和，求得，从而得到，再根据垂直平分，得到，然后根据直角三角形的特征，得出，，由可知，当点运动到位置时，有最小值，求出的长，即可得到答案．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
是的外角，
，
，
如图，过点、、作，连接、，与相交于点，

点在上运动，
，
，，，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
，，
，，
在中，，
当点运动到位置时，有最小值，
,
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，多边形内角和，圆的相关知识，确定点的运动轨迹是解题关键．
三、计算题（每题5分，共20分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）5； （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）， ；
（2） ，．
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求出x的值即可；
（2）利用配方法求出x的值即可．
【小问1详解】
解：，
，
或，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
解得 ，．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
18. 如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．
（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．
（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
【答案】（1）矩形的边AB的长为12米；
（2）AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米
【解析】
【分析】（1）根据题意：矩形的面积=AB×BC，设未知数列方程可解答；
（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC=（32-2x）米，可以得到y与x的函数关系式，在x的取值范围内求出函数的最大值即可．
【小问1详解】
解：设AB为x米，则BC=（36-2x）米，
由题意得：x（32-2x）=96，
解得：=4，=12，
∵墙长为14米，32米的篱笆，
∴32-2x≤14，2x＜32，
∴9≤x＜16，
∴x=12，
∴AB=12，
答：矩形的边AB的长为12米；
【小问2详解】
解：设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC=（32-2x）米，
∴，
∵9≤x＜16，且-2＜0，故抛物线开口向下，
∴当x=9时，y有最大值是126，
答：AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19. 如图，的三个顶点的价格分别为点．

（1）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，在轴的右侧得到，请在网格内画出．
（2）若为内部的一点，则点在内部的对应点的坐标为______________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质，正确的画出图形，是解题的关键．
（1）根据位似图形的作法，以点O为位似中心分别找出A、B、C三点的对称点，然后连接各位似点即可得到位似图形；
（2）根据位似的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
【小问2详解】
解：∵为内部的一点，以点O为位似中心，且将放大为原来的2倍，
则点在内部的对应点的坐标为．
故答案为：．
20. 某初中举行硬笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图．
请结合图中相关信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是________度；
（2）请将条形统计图补全；
（3）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自九年级，其他同学来自八年级．现准备从获得一等奖的同学中任选人参加市级硬笔书法大赛．请通过列表或画树状图的方法求所选出的人中既有七年级同学又有九年级同学的概率．
【答案】（1）108；（2）图见解析；（3）图表见解析，
【解析】
【分析】（1）先根据参与奖的人数及其所占百分比求得总人数，再用360°乘以三等奖人数所占比例即可得；
（2）用总人数减去其它奖项的人数求出一等奖的人数，从而补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得．
【详解】（1）∵被调查的总人数为16÷40%=40（人），
∴扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是360°×，
故答案为：108；
（2）被调查的总人数为（人），
一等奖人数为：（人），
补全图形如下：
（3）一等奖中七年级人数（人），九年级人数为（人），
则八年级的有人，
列表如下：
由列表可知，共有种等可能结果，其中所选出的人中既有七年级同学又有九年级同学的有种结果，
所以所选出的人中既有七年级同学又有九年级同学的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
21. 如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东60°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【答案】30海里
【解析】
【分析】由题意得，，AC=80海里，在直角三角形ACD 中，由三角函数得出CD的长，再在直角三角形BCD中，由三角函数值得出BD的长即可．
【详解】解：由题意得，
，AC=80（海里），
在直角三角形ACD 中，
=80=40（海里），
在直角三角形BCD中，
（海里）．
答：还需航行的距离BD的长为30海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，属于基础题，掌握方向角和三角函数知识点，能够求出CD的长度是解决此题的关键．
22. 如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）若的半径为3，若，求线段．
【答案】（1）直线与相切，见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）欲证明是的切线，只要证明即可；
（2）过作于，得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，得到，推出四边形是菱形，得到，，于是得到结论．
【小问1详解】
解：直线与相切，理由如下：
连接，
平分，
，
，
，
，
，
，即，
，即，
是半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：过作于，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，则，
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
23. 如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①D（3，﹣2）；②四边形ADBC是矩形,理由见解析;（3）存在,点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．
【解析】
【分析】（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；
（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；
②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；
（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．
【详解】（1）当y=0时，0=﹣x2+x+2，
解得：x1=﹣1，x2=4，
则A（﹣1，0），B（4，0），
当x=0时，y=2，
故C（0，2）；
（2）①过点D作DE⊥x轴于点E，
∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，
∴D（3，﹣2）；
②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴AC=BD，AD=BC，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵AC=，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ADBC是矩形；
（3）由题意可得：BD=，AD=2，
则，
当△BMP∽△ADB时，
，
可得：BM=2.5，
则PM=1.25，
故P（1.5，1.25），
当△BMP1∽△ABD时，
P1（1.5，﹣1.25），
当△BMP2∽△BDA时，
可得：P2（1.5，5），
当△BMP3∽△BDA时，
可得：P3（1.5，﹣5），
综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．
七
八
九
九
七
（七、八）
（七、九）
（七、九）
八
（八、七）
（八、九）
（八、九）
九
（九、七）
（九、八）
（九、九）
九
（九、七）
（九、八）
（九、九）