山东省菏泽市巨野县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份山东省菏泽市巨野县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共19页。试卷主要包含了 用直尺和圆规作一个角的平分线等内容，欢迎下载使用。
1. 低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形．故选项正确；
B、不是轴对称图形．故选项错误；
C、不是轴对称图形．故选项错误；
D、不是轴对称图形．故选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2. 用直尺和圆规作一个角的平分线（如图），则能说明的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图过程可知使得．
【详解】解：由作图过程可知，
又∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
3. 如图，已知，，增加下列条件，其中能使是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
根据等式的性质可得，然后再结合判定两个三角形全等的一般方法L分别进行分析．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
A、添加可利用SAS定理判定；
B、添加不能判定；
C、添加可利用定理判定；
D、添加可利用定理判定；
故选：B．
4. 学校开展为贫困地区捐书活动，以下是5名同学捐书的册数：2，2，x，4，9．已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 2和2B. 4和2C. 2和3D. 3和2
【答案】D
【解析】
【详解】解：根据平均数的含义得： ，所以x=3；
将这组数据从小到大的顺序排列（2，2，3，4，9），处于中间位置的数是3，那么这组数据的中位数是3；
在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2．
故选：D．
5. 一组数据1，，0，，1的方差是（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键．一般地，设n个数据，，，，的平均数为，则方差．先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
【详解】，
，
所以数据1，，0，，1的方差是．
故选：D．
6. 下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．
【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故A不合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不合题意；
C、，，不能判断这个四边形平行四边形，故C符合题意；
D、∵，，，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A. 当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形
B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C. 当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D. 当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可
【详解】A.四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,
四边形ABCD是矩形,正确,故本选项错误
B.:四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，
四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误;
C.四边形ABCD是菱形，AC平分∠BAD，
四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误;
D.四边形ABCD是平行四边形,∠DAB=90°
四边形ABCD是矩形,错误,故本选项正确
故选D.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，正方形的判定和矩形的判定，掌握判定定理是解题关键
8. 如图，已知等边，，点F在的延长线上，，于G，于点P；下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】由等边三角形的性质可以得出，就可以得出，，就可以得出，得出，，得出，就可以得出，从而得出结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，；
在和中，
，
∴，故②正确；
∴，
不一定等于，当时，，故③错误；
∵，
∴．
∵，
∴．故④正确．
正确的有①②④，
故选：D．
二．填空题（每题3分，共6小题）
9. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为_______．

【答案】##15度
【解析】
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，从而得到，再根据三角形内角和进行计算即可得到答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10. 已知一组数据的方差s2= [（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和．
【详解】∵s2=[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，
∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，
∴这组数据的总和为4×6=24．
故答案为24．
【点睛】本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，解题关键是对方差公式的理解．
11. 某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为100分，其中，期中考试成绩占40%，期末考试成绩占60%，小海这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是80分、90分，则小海这个学期的体育综合成绩是___分．
【答案】86
【解析】
【分析】利用加权平均数的公式直接计算．用80分，90分分别乘以它们的百分比，再求和即可．
【详解】小海这学期的体育综合成绩=（80×40%+90×60%）=86（分）．
故答案86．
12. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.
【答案】90º
【解析】
【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°.
【详解】解：如图，根据方格纸的性质，
在△ABD和△CBE中
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠2=90°，
∴=90°.
故答案为：90°.
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
13. 如图,在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD=5，BE=2，则AB的长是_____．
【答案】7
【解析】
【分析】过点C作CF⊥AB于F，由角平分线的性质得CD=CF，CE=CF，于是可证△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，可得AD=AF，BE=BF，即可得结论．
【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴CD=CF，CE=CF，
∵AC=AC，BC=BC，
∴△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，
∴AF=AD=5，BF=BE=2，
∴AB=AF+BF=7．
故答案是：7．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
14. 如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，菱形的两条对角线的长分别为6和8，则阴影部分的面积为________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积．
故答案为：12．
三．解答题（共78分）
15. 如图，已知，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
利用判定，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得．
【详解】证明：∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
16. （1）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=42°，求∠BOC的度数；
（2）把（1）中∠A=42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．

【答案】（1）111°（2）证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，求出∠1+∠2的度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，然后用∠A表示出∠1+∠2，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得出结论．
解：（1）∵∠A=42°，
∴∠1+∠2=180°﹣∠A=138°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）==69°，
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣69°=111°；
（2）∠BOC=90°+∠A，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180=90．
考点：三角形内角和定理．
17. 已知：中，是直角，D是上一点，，过D作的垂线交于E，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．首先根据证明，得出，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明．解题的关键是证明．
【详解】证明：∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，即．
18. 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值是 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【答案】18. 50，32
19. 平均数为16元，众数为10元，中位数为15元
20. 608名
【解析】
【分析】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；
（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；
（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【小问1详解】
解：根据条形图（人），
，
故答案为∶ 50，32；
【小问2详解】
解：∵（元），
∴这组数据的平均数为：16（元），
∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，
∴这组数据的众数为：10元，
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，
∴这组数据的中位数为：（元）；
【小问3详解】
解：∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为，
∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为，
∴（名），
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．
19. 如图，PA=PB，∠1+∠2=180°．求证：OP平分∠AOB．
【答案】见解析
【解析】
【分析】过点P作，垂足分别为E，F，利用全等三角形的判定和性质以及角平分线的判定求解即可．
【详解】解：如图，过点P作，垂足分别为E，F
则
∵，
∴
在与中，
∴
∴
∴OP平分
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
20. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F，求证：四边形为菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
先根据题中已知条件判定四边形是平行四边形，然后再推出一组邻边相等．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
21. 如图，正方形的对角线与交于点O，过点C作，过点D作，与交于点E．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．
根据正方形的判定和性质即可得到结论．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵正方形的对角线与交于点O，，
∴，，
∴四边形是正方形．
22. 如图，在中，点F是边的中点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由
【答案】（1）见解析 （2）矩形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定．证明三角形全等是解题的关键．
（1）由在中，点F是边的中点，易证得，可得即可；
（2）由（1）易得四边形是平行四边形，又由，易证得，即可得，证得四边形是矩形．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点F是边的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：四边形是矩形．理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
23. 表一是甲、乙两名学生这学期的数学测试成绩一览表（单位：分）
请你完成下列问题：
（1）请求出甲学生7次成绩的中位数、众数；
（2）已知甲7次成绩的平均分是97分，乙7次成绩的平均分是94分，请求出甲、乙两名学生7次成绩的方差，并根据计算后的方差及两人的平均成绩，对两人成绩进行比较分析；
（3）已知甲平时成绩的平均分是97.6分，乙平时成绩的平均分是93.6分，学校规定：学生平时成绩的平均数、期中成绩、期末成绩三项分别按40%、20%、40%的比例计入学期总评成绩，这两名学生的期末总评成绩是多少？
【答案】（1）中位数98、众数是98
（2），，甲成绩波动大，乙成绩波动小；但是甲平均分高于乙，说明几次考试的总体水平甲高于乙
（3）甲，乙
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数概念求解即可；
（2）根据方差公式及平均数公式求解，然后比较即可；
（3）根据表中数据，结合加权平均数公式求解即可．
【小问1详解】
解：将甲学生7次成绩按照从小到大排列：93、95、96、98、98、99、100，
甲学生的中位数是98、众数是98；
【小问2详解】
解：甲学生七次成绩平均数，
乙学生七次成绩平均数，
甲学生七次成绩方差
，
乙学生七次成绩方差
，
，
甲学生成绩波动大，乙学生成绩波动小，说明几次考试乙学生成绩比甲学生成绩稳定，
，
甲学生平均分高于乙学生，说明几次考试甲学生成绩总体比乙学生成绩高；
【小问3详解】
解：甲学生期末总评成绩，
乙学生期末总评成绩．
【点睛】本题考查统计知识，涉及到中位数、众数、平均值、方差和加权平均值相关概念，掌握相关统计量对数据的意义是解决问题的关键．
24. 如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动．当一个点停止运动时时
（1）用含有t的代数式表示．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
【答案】（1）厘米
（2）全等 （3）厘米/秒
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，用了分类讨论思想．
（1）求出，即可求出答案；
（2）求出、、，根据全等三角形的判定推出即可；
（3）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使与全等，求出厘米，厘米，厘米，厘米，，根据全等三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：∵点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴厘米，
∵厘米，
∴厘米；
【小问2详解】
解∶ 全等，理由如下∶
∵厘米，点D为的中点，
∴，厘米，
∵厘米，
∴厘米，
∴，
和中，
，
∴；
【小问3详解】
解∶ 设当点Q的运动速度为x厘米/秒，时间是t秒，
∵厘米，厘米，厘米，
∴当，或，，与全等，
即①，，
解得：（不合题意，舍去），
②，，
解得： ，
即当点Q的运动速度为厘米/秒．测试
类别
平时成绩
期中
期末
测试1
测试2
测试3
测试4
测试5
甲
93
99
100
98
98
96
95
乙
92
93
94
94
95
92
98