2023-2024学年广东省广州市黄埔军校纪念中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市黄埔军校纪念中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四种网络运营商的标志中，轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.计算(a4)2的结果是( )
A. a6B. a16C. a8D. a18
3.在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，4cmB. 2cm，3cm，4cm
C. 3cm，5cm，8cmD. 8cm，4cm，4cm
4.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
5.已知am=2，an=3，则a3m+n的值为( )
A. 24B. 18C. 11D. 9
6.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A. 三条中线的交点B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条角平分线的交点
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，则AB的长是( )
A. 8
B. 1
C. 2
D. 4
8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=18，S△ABD=27，则CD的长为( )
A. 4
B. 8
C. 3
D. 6
9.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠α的度数为( )
A. 75°
B. 105°
C. 135°
D. 165°
10.在平面直角坐标系中，已知A(1,2)、B(3,0)，AB=2 2.在坐标轴上找点P，使A、B、P三点构成等腰三角形，这样的点P有个．( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：(−5b)2= ______．
12.点P(−1,−2)关于x轴的对称点Q的坐标为______．
13.如图∠1，∠2，∠3分别是△ABC的外角，则∠1+∠2+∠3=______°.
14.若a2+a=2，则(a−5)(a+6)= ______．
15.如图，在△ABC中，BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E.若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm，则AE=______cm．
16.如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=8.点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为______．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(2x)3(−5xy2)；
(2)(3x+1)(x+2)．
18.(本小题6分)
如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O.求证：AB=DC．
19.(本小题8分)
先化简，再求值，x2(x−1)−x(x2+x−1)，其中x=13．
20.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,5)．
(1)若△A′B′C′与△ABC关于x轴成轴对称，作出△A′B′C′；
(2)若P为y轴上一点，使得PA+PC最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)利用尺规，作AB边的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹)；
(2)在(1)中，连接BD，若AB=10，BC=4，则△BCD的周长为______；
(3)在(1)中，连接BD，若∠DBC=27°，试求出∠A的度数．
22.(本小题12分)
如图，四边形ABCD中，已知∠BAC=∠BDC=90°，且AB=AC．
(1)求证：∠ABD=∠ACD；
(2)记△ABD的面积为S1，△ACD的面积为S2．
①求证：S1−S2=12AD2；
②过点B作BC的垂线，过点A作BC的平行线，两直线相交于M，延长BD至P，使得DP=CD，连接MP.当MP取得最大值时，求∠CBD的大小．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】C
【解析】解：(a4)2=a4×2=a8．
故选：C．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘，计算后直接选取答案．
本题主要考查幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、1+2<4，长度是1cm、2cm、4cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+3>4，长度是3cm、2cm、4cm的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、3+5=8，长度是3cm、5cm、8cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、4+4=8，长度是8cm、4cm、4cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理，
4.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数为n，
(n−2)⋅180°=900°，
解得：n=7．
故选：A．
根据多边形的内角和公式：(n−2)⋅180°列出方程，解方程即可得出答案．
本题考查了多边形的内角和，体现了方程思想，掌握多边形的内角和=(n−2)⋅180°是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵am=2，an=3，
∴a3m+n=a3m⋅an=(am)3⋅an=23×3=24，
故选：A．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；计算即可．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：
∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D．
因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为C．
7.【答案】A
【解析】解：Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AB=2AC=8．
故选：A．
根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2AC．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．比较简单．
8.【答案】C
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×18⋅DE=27，
解得：DE=3，
∴CD=3．
故选：C．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积公式列式计算即可得解．
该题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用问题，解题的关键是作辅助线．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再求出∠α即可．
【解答】
解：如图，
由三角形的外角性质得，∠1=45°+90°=135°，
∠α=∠1+30°=135°+30°=165°．
故选D．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与坐标轴的交点P1，P2，P3，P4，P5符合题意；作AB的垂直平分线，与坐标轴的交点P6，P7符合题意，
故选：C．
根据A、B、P三点构成等腰三角形，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作AB的垂直平分线，与坐标轴的交点即为所求．
本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用分类讨论的思想解答，注意一定要考虑全面．
11.【答案】25b2
【解析】解：(−5b)2=25b2，
故答案为：25b2．
积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；由此计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记运算法则是解题的关键．
12.【答案】(−1,2)
【解析】解：点P(−1,−2)关于x轴的对称点Q的坐标为：(−1,2)．
故答案为：(−1,2)．
利用关于x轴对称点的特征分析得出即可．
此题主要考查了关于x轴对称点的特征，解题时，要注意：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
13.【答案】360
【解析】解：∵三角形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
故答案为：360°．
利用三角形的外角和定理解答．
本题主要考查了三角形的外角和定理，正确理解和熟记三角形外角和定理是解题的关键．
14.【答案】−28
【解析】解：∵a2+a=2，
∴(a−5)(a+6)
=a2+6a−5a−30
=a2+a−30
=2−30
=−28．
故答案为：−28．
先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．
15.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BED是解题的关键．
易证∠CAD=∠CBF，即可求证△ACD≌△BED，可得DE=CD，即可求得AE的长，即可解题．
【解答】
解：∵BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBF，
∵在△ACD和△BED中，
∠CAD=∠DBEAD=BD∠ADC=∠BDE=90°,
∴△ACD≌△BED(ASA)
∴DE=CD，
∴AE=AD−DE=BD−CD=BC−CD−CD=2cm；
故答案为2．
16.【答案】8
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，
则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，
MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形．
△PMN的周长=P1P2，
∴P1P2=OP1=OP2=OP=8．
故答案为：8．
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长=P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．
本题考查了轴对称−最短路线问题，正确正确作出辅助线，证明△OP1P2是等边三角形是关键．
17.【答案】解：(1)(2x)3(−5xy2)
=8x3⋅(−5xy2)
=−40x4y2；
(2)(3x+1)(x+2)
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2．
【解析】(1)先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据单项式乘单项式进行计算即可；
(2)先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式和多项式乘多项式等知识点，能正确根据幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式和多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∵∠A=∠D∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
∴AB=DC(全等三角形对应边相等)．
【解析】根据BE=CF推出BF=CE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据BE=CF推出BF=CE，从而得到三角形全等的条件是解题的关键．
19.【答案】解：x2(x−1)−x(x2+x−1)
=x3−x2−x3−x2+x
=−2x2+x，
当x=13时，
原式=−2×(13)2+13
=−2×19+13
=−29+39
=19．
【解析】先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；

(2)如图，点P即为所求．
【解析】(1)根据轴对称的性质即可作出△A′B′C′；
(2)作出点A关于y轴的对称点A″，连接A″C交y轴于点P，此时△APC周长最小．
本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P．
21.【答案】14
【解析】解：(1)作AB边的垂直平分线如图：
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD，
∵AB=AC，
∴AC=10，
∴BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=10+4=14，
∴△BCD的周长为14．
(3)∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=∠ABD+∠DBC，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+∠A+∠DBC+∠A+∠DBC=3∠A+2∠DBC=180°，
∵∠DBC=27°，
∴∠A+=13(180°−2∠DBC)=13(180°−2×27°)=42°．
(1)根据垂直平分线的性质作图即可；
(2)根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质即可求解；
(3)由AD=BD得∠A=∠ABD，由∠ABC=∠C=∠ABD+∠DBC，∠A+∠ABC+∠C=180°，即可求解．
本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图1，

∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABD=∠ACD；
(2)①证明：如图2，过点A作AD⊥AG，交BD于G，

∴∠DAG=∠BAC=90°，
∴∠BAG=∠CAD，
∵AB=AC，∠ABG=∠ACD，
∴△ABG≌△ACD(ASA)，
∴S△ABG=S△ACD，AG=AD，
∴S1−S2=S△ABD−S△ACD=S△ABD−S△ABG=S△ADG，
∴S1−S2=12AD2；
②解：如图3，连接AP，

∵AM+AP≥PM，
当M，A，P三点共线时，PM最大，如图4，过点A作AD⊥AG，交BD于G，

同理知：△ABG≌△ACD，
∴BG=CD，
∵PD=CD，
∴PD=BG，
∵△ADG是等腰直角三角形，
∴∠AGD=∠ADG，
∴∠AGB=∠ADP，
∵AD=AG，
∴△AGB≌△ADP(SAS)，
∴AB=AP，
∴∠ABP=∠P，
∵AP/​/BC，
∴∠P=∠CBD，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBD=22.5°．
【解析】(1)利用8字形和三角形内角和定理可解答；
(2)①如图2，过点A作AD⊥AG，交BD于G，根据ASA证明△ABG≌△ACD，可得结论；
②如图3，连接AP，根据三角形的三边关系可得：当M，A，P三点共线时，PM最大，如图4，过点A作AD⊥AG，交BD于G，证明△AGB≌△ADP(SAS)，得∠CBD=∠ABD，从而得结论．
本题属于四边形综合题，考查了三角形的面积，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于考试压轴题．