初中数学北师大版七年级上册2.1 有理数课时训练

这是一份初中数学北师大版七年级上册2.1 有理数课时训练，共85页。


【经典例题一 行程问题】
1．（2023·上海·六年级假期作业）甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时乙在前，甲在后，出发后8分钟甲、乙第一次相遇，出发后的24分钟时甲、乙第二次相遇．假设两人的速度保持不变，你知道出发时乙在甲前多少米吗？
2．（2023·上海·六年级假期作业）快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶．快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米．两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米．求甲、乙两地间的路程．
3．（2023·上海·六年级假期作业）甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动．两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇．若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为多少千米？
4．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后的高度（单位：千米，规定上升为正，下降为负）为：．
(1)当直升机A完成上述五个表演动作后，直升机A的高度是多少千米？
(2)若直升机A每上升1千米消耗5升燃油，每下降1千米消耗3升燃油，求直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？
(3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前四次的高度为：．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
5．（2022秋·上海黄浦·六年级统考期中）修路队修一条长米的公路，上午修了千米，下午修了剩下路段的，问：
(1)还剩下多长的路没修？
(2)下午比上午多修了多少千米的路？
6．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）甲、乙两车在一条公路上匀速行驶，且不改变行驶方向，为了确定汽车的位置，我们用数轴表示这条公路，并规定向右为正方向，原点O为零千米路标，并作如下约定：位置为正，表示汽车位于零千米的右侧；位置为负，表示汽车位于零千米的左侧；位置为零，表示汽车位于零千米处．甲、乙两车的位置（单位：km）与时间（单位：h）的关系如下表所示：
(1)根据表格中的信息，完成下列填空：
①甲车的速度是 km/h，乙车的速度是 km/h；
②a= ，b= ；
(2)甲、乙两车能否相遇？如果相遇，求相遇时的时刻以及在公路上的位置，如果不能相遇，请说明理由；
(3)甲、乙两侧能否相距135km？如果能，请直接写出相距135km的时刻和两车的位置；如果不能，请说明理由．
【经典例题二 销售问题】
1．（2021秋·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某水果店以每千克8元的价格购进一批凤梨，为了合理定价，在前五天试行机动价格．卖出时每千克以元为标准，超过元的部分记为正，不足元的部分记为负，水果店售货员记录了前五天凤梨的售价和销售情况.
(1)这五天水果店的凤梨哪天售出的单价最高?最高单价是多少元?
(2)若，求这五天平均每天的销售额是多少元?
(3)若，一段时间后，该水果店决定推出两种促销方式：
方式一：购买凤梨在3千克以内（含3千克），每千克售价为元；超过3千克时，则超出的部分打九折；
方式二：每千克售价元，每购买1千克凤梨就赠送成本价为元的矿泉水一瓶．
某顾客要购买5千克的凤梨，该顾客以哪种方式购买会使水果店盈利较多?请通过计算说明理由．（盈利销售额成本）
2．（2022秋·辽宁沈阳·七年级统考期中）南果梨是辽宁的一大特产，在世界范围内都属于一个稀有的梨品种，现有25筐南果梨，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
(1)25筐南果梨中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)与标准重量比较，25筐南果梨总计超过或不足多少千克？
(3)若南果梨每千克售价5元，则这25筐南果梨可卖多少元？
3．（2023·江苏·七年级假期作业）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：
(1)直接写出___， ___；
(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；
(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用．
4．（2022秋·四川广元·七年级统考期末）有20袋大米，以每袋25千克为标准．超过或不足的千克数分别用正负数来表示．
记录如下表：
(1)20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？
(2)与标准重量比较，20袋大米总计超过多少千克或不足多少千克？
(3)若大米每千克售价6元，出售这20袋大米可卖多少元？
5．（2022秋·河北石家庄·七年级行唐一中校考阶段练习）某文具店购进了一批错题本，进价为每包10元，为了合理定价，进行了为期5天的机动价格试销售活动，卖出时以每包13元为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负．该文具店这5天该批错题本的售价和售出情况如下表所示．
(1)第一天错题本的售价是______元/包，该天卖出这批错题本的利润（利润＝售价－进价）为______元；
(2)在这5天中，每包的最高售价比每包的最低售价多______元；
(3)求该文具店这5天出售这批错题本的总利润．
6．（2022秋·福建泉州·七年级统考阶段练习）水果超市最近新进了一批百香果，每斤进价10元，9月30日每斤售价15元．国庆黄金周10月1日起试行机动价格，价格超出前一天的部分记为正，不足前一天的部分记为负，超市记录一周百香果的售价情况和售出情况：
(1)第一周星期三超市售出的百香果单价为___________元，这天的利润是___________元．
(2)第一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）
(3)超市为了促销这种百香果，决定国庆黄金周结束后推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤20元，超出5斤的部分，每斤降价4元；
方式二：每斤售价17元．
林老师决定下周在A水果超市购买40斤百香果，通过计算说明应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱．
【经典例题三 水流速度问题】
1．（2023·上海·六年级假期作业）母亲河上， 码头A在B上游540千米处，甲、乙两船分别从A、B同时出发， 在两码头之间往返运送货物．若甲、乙两船的静水速度分别为每小时50和40千米，水速为每小时10千米，则出发后甲、乙第二次迎面相遇地点离A多少千米？
2．（2023·上海·六年级假期作业）甲、乙两船，甲船静水速度是水速的11倍，乙船静水速度是水速的7倍．船分别从 A 、B 两地同时出发，在A、B之间往返航行，出发后6小时第一次相遇．如果A在B上游，那么第一次相遇后，再过几小时两船第二次相遇？
3．（2023·上海·六年级假期作业）某船在静水中的速度是每小时千米，它从上游甲地开往乙地共用了6小时，水流速度每小时4千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？
4．（2020秋·黑龙江·七年级校考期中）某人乘船去钓鱼在江面沿东西方向行驶，向东为正，向西为负，他从A地出发每隔一段时间就换一个地方钓鱼，从出发到结束路线如下：（单位：千米）＋3，－5，＋4，－2，－6，－3，＋2．
(1)问最后结束停下的地方离A地 千米．
(2)若该船每千米耗油0.3升，问从出发到结束共耗油 升．
(3)该人结束后要到B地再靠岸，在江面上逆流而行，已知该该船静水速度为16km/h，水速为3km/h，用去半个小时到达B地，问该船最后达B地行驶了了多少千米？
【经典例题四 分段收费问题】
1．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期末）我县出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费．
（1）若某人乘坐了x（x＞3）千米，则他应支付车费 元（用含有x的代数式表示）；
（2）一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）．
①送完第4批客人后，王师傅在公司的 边（填“东”或“西”），距离公司 千米的位置；
②若王师傅的车平均每千米耗油0.1升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？
③在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？
2．（2022秋·山东济宁·七年级统考期中）某出租车司机从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送五批客人，行驶记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：千米）
（1）接送完五批客人后，该驾驶员在公司什么方向?距离公司多少千米?
（2）若该出租车每千米耗油升，那么在这过程中共耗油多少升?
（3）若该出租车的计价标准为:行驶路程不超过千米收费元，超过千米，超出部分按每千米加元收费，那么在这过程中该驾驶员一共收到车费多少元?
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人行驶路程记录如下(规定向南为正，向北为负，单位：)：
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司 边(填南或北)，距离公司 千米．
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油 升．
（3）此出租车离公司的位置最远是多少千米？
（4）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3收费10元，超过3的部分按每千米1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
4．（2022秋·四川广元·七年级统考期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费8元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
5．（2020春·北京延庆·七年级统考期中）自2014年12月28日北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价，下表是公交车的里程范围及票价．（说明：表格中“10~15公里”指的是大于10公里，小于等于15公里）
根据以上信息回答下列问题：
小明办了一张市政交通一卡通学生卡．
（1）如果小明全程乘坐公交车的里程为7.5公里，他用学生卡刷卡，需交费 元；
（2）如果小明全程乘坐公交车的里程为23公里，他用普通卡刷卡，需交费 元；
（3）小明周末和妈妈一起去离他家50公里的莲花山公园游玩，他用学生卡，妈妈用普通卡，请通过计算说明，此次出行小明和妈妈的单程车费一共是多少元？
6．（2021秋·辽宁鞍山·七年级统考期中）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米2.4元收费。
（1）若某人乘坐了x（x＞3）千米，则他应支付车费 元（用含有x的代数式表示）；
（2）一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）。
①送完第4批客人后，王师傅在公司的 边（填“东”或“西”），距离公司 千米的位置；
②在整个过程中，王师傅共收到车费 元；
③若王师傅的车平均每千米耗油0.1升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？
【经典例题五 正负数的应用问题】
1．（2022秋·广东深圳·七年级深圳市光明区公明中学校考期中）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产与计划量相比有出入，如表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）
(1)根据记录可知前三天共生产 辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；
(3)该厂实行计件工资制，每辆车60元，超额完成任务每辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
2．（2022秋·浙江衢州·七年级校考期中）问题解决：
出租车司机小李某天上午营运都是从地出发在东西走向的大街上行进，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下（单位：千米）
(1)收工时与地的距离多少千米？
(2)第 次距地最远，距离地 千米；第 次距地最近，距离地 千米．
(3)若每千米耗油升，问这七次共耗油多少升？
3．（2022秋·福建漳州·七年级统考期末）某出租车司机从位于人民路（南北向）的某公司出发，在人民路上连续接送5批客人，行驶记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：千米）：
(1)接送完第5批客人后，该司机在此公司的什么方向，距离此公司多少千米？
(2)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米加收2元，在这过程中该司机共收到车费多少元？
4．（2023·全国·七年级假期作业）目前我国常态化疫情防控形势持续稳定向好，但也要清醒地认识到新冠肺炎发生和传播的风险依然存在，科学佩戴口罩是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径，是最简单、最方便、最经济、最有效的防控措施，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因，实际每天生产量相比计划生产量有出入，下表是九月份某一周的生产情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负，单位：个）
(1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩；
(2)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；
(3)若该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？
5．（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
(2)小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
(3)若小王按9元/千克进行柚子销售，平均运费为4元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
6．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）小明的父亲上星期日买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）
(1)星期三收盘时，每股是多少元？
(2)本周内最高价是每股多少元？最低每股多少元？
(3)已知小明父亲买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果他在周六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【经典例题六 算“24”点的应用题】
1．（2023春·上海·六年级专题练习）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取?最大值是多少？
(2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取?最小值是多少？
(3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取?写出运算式子．（一种即可）
2．（2023春·上海·六年级专题练习）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
3．（2022秋·江西萍乡·七年级统考期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相乘的积最大，最大值是________．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是________．
(3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方、取相反数或取绝对值等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能对用一次，如）．请另写出一种符合要求的运算式子．
4．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片(如图)，小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
(2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小？如何抽取？最小值是多少？
(3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子．（一种即可）
5．（2022秋·浙江·七年级期中）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题．
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ．
(3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：），请另写出一种符合要求的运算式子 ．
6．（2023春·上海·六年级专题练习）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．
例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．
如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆”为“”，“♠”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．
①
依次记为：_________________
列式计算：__________________．
②
依次记为：_________________
列式计算：_______．
【经典例题七 数轴中的实际应用问题】
1．（2023·河北邯郸·校考一模）如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合．
(1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是 ；
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是 ；
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，．
①当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？
②在滚动过程中，共经过 次数轴上2表示的点；第 次滚动后，点A距离原点最远．
2．（2023·江苏·七年级假期作业）思考下列问题并在横线上填上答案．
(1)已知数轴上有M，N两点，点M与原点的距离为2，M，N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是__________；
(2)在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，若数轴上E，F两点之间的距离是10（E在F的左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是__________，点F表示的数是__________；
(3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？
3．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）为宣传健康知识，某社区居委会派车按照顺序为7个小区（分别记为A，B，C，D，E，F，G）分发防疫安全手册，社区工作人员乘车从服务点（原点）出发，沿东西向公路行驶，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：百米）：，，，，，，．
(1)请你在数轴上标记出D，E，F这三个小区的位置（在相应位置标记字母即可）
(2)服务车最后到达的地方距离服务点多远？若该车辆油耗为0.01升/百米，则这次分发工作共耗油多少升？
(3)为方便附近居民进行核酸检测，现居委会计划在这七个小区中选一个作为临时核酸检测点，为使七个小区所有居民步行到监测点的路程总和最小，假设各小区人数相等，那么监测点的位置应设在______小区．
4．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合（点在点的左边）．
(1)【初步思考】
若，当点表示的数为时，点表示的数为______；
(2)【数学探究】
如图2，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为．请确定的值及图中，两点表示的数；
(3)【实际应用】
一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是______岁．
5．（2023春·四川达州·七年级四川省万源中学校考阶段练习）元旦放假时，凡凡一家三口一起乘小轿车去探望爷爷，奶奶和姥爷，姥姥．早上从家里出发，向西走了千米到超市买东西，然后又向西走了千米到爷爷家，下午从爷爷家出发向东走了千米到姥爷家，晚上返回家里．
（1）若以凡凡家为原点，向东为正方向，用个单位长度表示千米，请将超市、爷爷家和姥爷家的位置在下面数轴上分别用点表示出来﹔
（2）超市和姥爷家相距多少千米？
（3）若小轿车每千米耗油升，求凡凡一家从出发到返回家，小轿车的耗油量．
6．（2023秋·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）一场突如其来的新冠肺炎疫情来袭，我市的医疗物资紧缺，防疫站立即分配了运输医疗物资的任务：一辆配送车，从配送站出发，向东走了千米到达一医院，继续向东走了千米到达附属医院，然后向西走了千米到达儿童医院，最后返回配送站．
（1）以配送站为原点，向东为正方向，向西为负方向，个单位长度表示千米，请你在数轴上标出医院、附属医院、儿童医院的位置．（医院用点表示，附属医院用点表示，儿童医院用点表示）
（2）一医院与儿童医院相距多远？
（3）若配送车每千米耗油升，那么这辆车完成此次运输任务共耗油多少升？
【经典例题八 有理数的四则混合运算应用题】
1．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“”表示出库）
，，，，，
(1)经过这6天，仓库里的货品是________（填“增多了”或“减少了”）
(2)经过这6天，仓库管理员结算发现仓库还有货品430吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？
(3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？
2．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是二月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个），
(1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩．
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个．
(3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.1元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元?
3．（2022秋·江苏无锡·七年级校考期中）今年“十一”黄金周，无锡三国水浒风景区在七天假期中每天旅客人数变化情况如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少），已知9月30日的游客人数为12万人．
(1)今年10月4日的游客人数为 万人；
(2)七天内游客人数最多的一天比最少的一天多 万人；
(3)若每万人带来的经济收入约为200万元，则黄金周七天该景区旅游总收入约为多少万元？
4．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）鞋厂要生产一批相同款式的鞋子，计划每人每天生产50双．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异，下表是某位工人在一周的生产情况：（记超过为正，不足为负）
(1)该名工人一周内生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 双鞋子；
(2)根据记录可知，该工人七天共生产了 双鞋子；
(3)该厂实行奖励工资制，每生产一双鞋子得5元，若该周超出计划生产量，则超出部分额外奖励2元双；若该周低于计划生产量，则不足部分扣除2元双．求该名工人这一周的工资总额是多少元．
5．（2022秋·山东烟台·六年级统考期末）春节临近，糕点销量大幅度增加，某食品加工厂为了满足市场需求，计划每天生产2000份糕点，由于各种原因，每天实际上的产量与原计划相比有出入，如表所示是某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）
(1)根据记录可知，前三天共生产了__________份﹔
(2)一周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了___________份﹔
(3)该工厂实行计件工资制，工人每生产一份糕点可获得0.5元工资报酬，本周该食品加工厂应支付工人的工资总额．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）某批发商于上周日买进某产品10000kg，每千克2.4元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000kg该品种的产品，每个摊位的市场管理价为每天20元．如表为本周内该产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负，上周日当天的售价刚好为每千克2.4元）
(1)星期四该产品价格为每千克多少元？
(2)本周内该产品的最高价格为每千克多少元？最低价格为每千克多少元？
(3)该批发商在销售过程中采用逐步减少摊位个数（每天减少一个）的方法来降低成本，增加收益，请你帮他算一算，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？
有理数的实际应用题课后练习
1．（2023·上海·六年级假期作业）甲乙两人同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时25千米，请问：
(1)出发多长时间，甲第一次追上乙？
(2)出发多长时间，甲第二次追上乙？
2．（2023·上海·六年级假期作业）有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？
3．（2023·上海·六年级假期作业）一条小河上，A在B上游150千米处．甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，若相向而行， 3小时后相遇；若同向而行，15小时后甲被乙追上．则甲船的静水速度是每小时多少千米？
4．（2023·全国·七年级假期作业）学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：（单位：米）．
(1)守门员最后是否回到了球门线的位置？
(2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？
(3)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，，
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？
(2)离开下午出发点最远时是__________千米；
(3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨风华中学校考期中）风华中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，排球垫球比赛，下表为六年级某班48人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球25个．
(1)求这个班48人平均每人垫球多少个？
(2)规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？
7．（2023·浙江·七年级假期作业）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数a是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合就是一个好的集合．
(1)集合 好的集合，集合 好的集合（两空均填“是”或“不是”）；
(2)若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；
(3)若一个好的集合所有元素之和为整数M，且，则该集合共有几个元素？说明你的理由．
8．（2023·浙江·七年级假期作业）如图，一辆货车从超市出发，向东走了千米到达小华家，继续向东走了千米到达小颖家，然后向西走了千米到达小明家，最后回到超市超市及小明家、小华家、小颖家的大小忽略不计．

(1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，请画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小华家和小颖家的位置；
(2)小明家距小华家多远？
(3)货车一共行驶了多少千米？
9．（2023·浙江·七年级假期作业）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；
(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？
(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；
方式二：每斤售价10元；
为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．
10．（2023·江苏·七年级假期作业）【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题：
(1)式子在数轴上的意义是 ；
(2)当取最小值时，x可以取整数 ；
(3)最大值为 ；
(4)的最小值为 ；
【解决问题】
(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
11．（2023春·上海嘉定·七年级校考阶段练习）超市里的罐装饮料常以6罐为一组售卖，如图1是常见的一种捆绑方式的横截面示意图，外周用一根皮筋捆绑固定．已知每罐饮料罐体的直径为6厘米．
(1)试求此种捆绑方式所用皮筋的长度（取3．14，结果保留一位小数）
(2)小明认为采用如图2的方式包装罐装饮料可以更节省皮筋长度，小明的说法是否正确？请通过计算说明理由．
12．（2023春·江苏·七年级专题练习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a记作，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：，．
【深入思考】
．
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
；．
（3）想一想：有理数的圈次方写成幂的形式等于多少，并写出推导过程．
专题05 有理数的实际应用题专训【八大题型】
【题型目录】
【经典例题一 行程问题】
1．（2023·上海·六年级假期作业）甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时乙在前，甲在后，出发后8分钟甲、乙第一次相遇，出发后的24分钟时甲、乙第二次相遇．假设两人的速度保持不变，你知道出发时乙在甲前多少米吗？
【答案】200米
【分析】根据出发后8分钟甲第一次追上乙，24分钟时甲第二次追上乙，即在分钟的时间里，甲比乙多跑正好一圈，由此可知，甲乙两人的速度差为米/分钟，由此可得出发时甲在乙身后（米）．
【详解】解：甲、乙的速度差：（米/分钟），
甲、乙开始时相距：（米），
出发时乙在甲前200米．
【点睛】此题考查了在环形跑道中的追及问题，解题的关键是掌握从第一次相遇后，每相遇一次甲比乙多行一周，并由此求出两人的速度差．
2．（2023·上海·六年级假期作业）快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶．快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米．两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米．求甲、乙两地间的路程．
【答案】甲、乙两地间的路程是250千米
【分析】先求得1个两地间路程所用的时间，根据“第一次相遇共行一个全程，以后每相遇一次就共行两个全程”列式计算即可求解．
【详解】解：两车的速度差：（千米）；
到第二次相遇行驶的时间：（小时）；
1个两地间路程所用的时间：（小时）；
两地间的路程：（千米）；
答：甲、乙两地间的路程是250千米．
【点睛】这是一道典型的行程问题，里面包含路程、时间、速度三个量．在多次相遇问题中，第一次相遇共行一个全程，以后每相遇一次就共行两个全程．
而这类问题解题的关键及规律有：
同时同地相背而行：路程=速度和×时间；
同时相向而行：两地的路程=速度和×时间；
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题=路程÷速度差；
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程=速度差×时间．
3．（2023·上海·六年级假期作业）甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动．两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇．若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为多少千米？
【答案】150千米
【分析】根据题意，甲提速一倍后走到D处所用时间与提速前走到C处所用时间相同，所以路程也增加一倍，因此千米，根据题意，计算即可．
【详解】解：如图，根据题意，甲提速一倍后走到D处所用时间与提速前走到C处所用时间相同，所以路程也增加一倍，因此千米，
第一次相遇，甲走了千米，
第一次相遇到第二次相遇，甲走了（千米），
即，
（千米）
所以（千米）
答：从A地到B地的全程为150千米．
【点睛】本题考查涉及变速的二次相遇问题，关键理解题意，分析出甲提速一倍后走到D处与提速前走到C出所用时间相同，因此所走路程也增加一倍．
4．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后的高度（单位：千米，规定上升为正，下降为负）为：．
(1)当直升机A完成上述五个表演动作后，直升机A的高度是多少千米？
(2)若直升机A每上升1千米消耗5升燃油，每下降1千米消耗3升燃油，求直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？
(3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前四次的高度为：．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
【答案】(1)千米
(2)升
(3)下降，下降千米
【分析】(1)根据题意和数据，可求得这5个数据的和，即可得直升机A的高度；
(2)根据数据和题意，可求得这5个数据绝对值的和，即可得一共消耗了多少升燃油；
(3)根据题意，可以计算出直升机B前四次的高度，再用直升机A的最后高度减去直升机B前四次的结果即可求解．
【详解】（1）解：（千米）.
答：直升机A的高度是千米；
（2）
解：（升）.
答：直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗升燃油；
（3）
解：（千米）.
答：直升机B的第5个动作是下降，下降千米．
【点睛】本题考查有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（2022秋·上海黄浦·六年级统考期中）修路队修一条长米的公路，上午修了千米，下午修了剩下路段的，问：
(1)还剩下多长的路没修？
(2)下午比上午多修了多少千米的路？
【答案】(1)千米
(2)多修了千米
【分析】（1）总路长5千米减去上午修的路长千米，得到上午修完后剩下的路长千米，再乘以得到下午修的路长千米，用总长分别减去上午，下午修的路长，得到当天修后剩下的路长千米；
（2）用下午修的路长千米减去上午修的路长千米得到下午比上午多修的路长千米．
【详解】（1）解：上午修完后剩下：（千米），
下午修：（千米），
还剩：（千米），
答：还剩下千米的路没修．
（2）下午比上午多修：（千米），
答：下午比上午多修了千米的路．
【点睛】本题主要考查了有理数运算的应用，解决问题的关键是熟练掌握题意列式计算．
6．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）甲、乙两车在一条公路上匀速行驶，且不改变行驶方向，为了确定汽车的位置，我们用数轴表示这条公路，并规定向右为正方向，原点O为零千米路标，并作如下约定：位置为正，表示汽车位于零千米的右侧；位置为负，表示汽车位于零千米的左侧；位置为零，表示汽车位于零千米处．甲、乙两车的位置（单位：km）与时间（单位：h）的关系如下表所示：
(1)根据表格中的信息，完成下列填空：
①甲车的速度是 km/h，乙车的速度是 km/h；
②a= ，b= ；
(2)甲、乙两车能否相遇？如果相遇，求相遇时的时刻以及在公路上的位置，如果不能相遇，请说明理由；
(3)甲、乙两侧能否相距135km？如果能，请直接写出相距135km的时刻和两车的位置；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)①40，50；②-90，-80
(2)能，两车相距270km，相遇时间为3小时
(3)1.5小时或4.5小时
【分析】（1）根据速度=路程÷时间，可求出甲乙两车的速度，从而可填写表格；
（2）相遇，则两车的位置相等，得出方程，求解即可；
（3）相距135千米，需要分两种情况，①乙车在左，甲车在右，②乙车在右，甲车在左，分别得出方程求解即可．
【详解】（1）解：①甲车的速度是：；
乙车的速度是：；
②；
；
故答案为：①40，50；②，；
（2）解：两车相距：（km）；
相遇时间：（h）；
（3）解：甲、乙两车能相距135km，时刻为1.5小时或4.5小时．
相遇前相距135km时：
（270-135）÷（40＋50）＝1.5（h）
相遇后相距135km时
（270＋135）÷（40＋50）＝4.5（h）
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是表示出x小时时，甲乙两车的位置，注意利用方程思想的求解，有一定难度．
【经典例题二 销售问题】
1．（2021秋·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某水果店以每千克8元的价格购进一批凤梨，为了合理定价，在前五天试行机动价格．卖出时每千克以元为标准，超过元的部分记为正，不足元的部分记为负，水果店售货员记录了前五天凤梨的售价和销售情况.
(1)这五天水果店的凤梨哪天售出的单价最高?最高单价是多少元?
(2)若，求这五天平均每天的销售额是多少元?
(3)若，一段时间后，该水果店决定推出两种促销方式：
方式一：购买凤梨在3千克以内（含3千克），每千克售价为元；超过3千克时，则超出的部分打九折；
方式二：每千克售价元，每购买1千克凤梨就赠送成本价为元的矿泉水一瓶．
某顾客要购买5千克的凤梨，该顾客以哪种方式购买会使水果店盈利较多?请通过计算说明理由．（盈利销售额成本）
【答案】(1)这五天水果店的凤梨第一天售出的单价最高，最高单价是元
(2)这五天平均每天的销售额是元
(3)顾客以方式二购买会使水果店盈利较多，理由见解析
【分析】(1)比较变化值的大小，确定价格的高低即可．
（2）根据每天销售额=单价×数量，再计算五天销售额的平均数即可．
（3）分别计算两种方案的利润，比较大小即可．
【详解】（1）因为，
所以这五天水果店的凤梨第一天售出的单价最高，最高单价是元．
（2）因为，所以这五天的总销售额为
（元），
（元），
所以这五天平均每天的销售额是元．
（3）顾客以方式二购买会使水果店盈利较多.理由如下：
方式一：（元），
（元）；
方式二：（元），
（元）
因为，
所以顾客以方式二购买会使水果店盈利较多．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．
2．（2022秋·辽宁沈阳·七年级统考期中）南果梨是辽宁的一大特产，在世界范围内都属于一个稀有的梨品种，现有25筐南果梨，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
(1)25筐南果梨中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)与标准重量比较，25筐南果梨总计超过或不足多少千克？
(3)若南果梨每千克售价5元，则这25筐南果梨可卖多少元？
【答案】(1)最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克
(2)25筐南果梨总计超过3.5千克
(3)这25筐南果梨可卖3142.5元
【分析】（1）根据有理数的大小，确定最重的和最轻的质量，相减即可得；
（2）根据图表数据列出算式，然后计算即可得解；
（3）求出25筐南果梨的总质量，乘以5即可得．
【详解】（1）（千克）．
答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克．
（2）
（千克）．
答：25筐南果梨总计超过3.5千克．
（3）
（元）．
答：这25筐南果梨可卖3142.5元．
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3．（2023·江苏·七年级假期作业）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：
(1)直接写出___， ___；
(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；
(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为，进而可把表格补充完整；
（2）把每班实际数量相加即可；
（3）根据已知求出总费用即可．
【详解】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本，
∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本，
故答案依次为：，．
（2）4个班一共购入数量为：本，
故答案为：
（3）∵，
∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买，
∴最低总花费为：元．
【点睛】本题考查了正负数的应用．在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，进而得出最佳方案；正确理解正负数的意义是解题的关键．
4．（2022秋·四川广元·七年级统考期末）有20袋大米，以每袋25千克为标准．超过或不足的千克数分别用正负数来表示．
记录如下表：
(1)20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？
(2)与标准重量比较，20袋大米总计超过多少千克或不足多少千克？
(3)若大米每千克售价6元，出售这20袋大米可卖多少元？
【答案】(1)最重的一袋比最轻的一袋重千克
(2)20 袋大米总计超过千克
(3)出售这 20 袋大米可卖元
【分析】（1）根据表格中的数据可以求得20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克；
（2）根据表格中的数据可以求得与标准重量比较，20袋大米总计超过或不足多少千克；
（3）根据题意和（2）中的结果结合有理加法及乘法运算即可解答本题．
【详解】（1）解：最重的一袋重千克，最轻的一袋重千克，
20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重：（千克），
答：最重的一袋比最轻的一袋重千克；
（2）解：（千克），
答：20 袋大米总计超过千克；
（3）解：

（元），
答：出售这 20 袋大米可卖元．
【点睛】本题考查正数和负数的实际应用，涉及有理数加减和乘法运算，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．
5．（2022秋·河北石家庄·七年级行唐一中校考阶段练习）某文具店购进了一批错题本，进价为每包10元，为了合理定价，进行了为期5天的机动价格试销售活动，卖出时以每包13元为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负．该文具店这5天该批错题本的售价和售出情况如下表所示．
(1)第一天错题本的售价是______元/包，该天卖出这批错题本的利润（利润＝售价－进价）为______元；
(2)在这5天中，每包的最高售价比每包的最低售价多______元；
(3)求该文具店这5天出售这批错题本的总利润．
【答案】(1)；；
(2)5；
(3)200元；
【分析】（1）用标准价格13元加上第一天的记录价格，就能算出第一天的售价，用第一天的售价减去进价，即可得到利润；
（2）利用最高价减去最低价，即可求出答案；
（3）将这5天每天的利润相加即可得到总利润．
【详解】（1）解：根据题意，则
第一天错题本的售价是：（元）；
该天卖出这批错题本的利润为：（元）；
故答案为：；；
（2）解：由题意，则
（元），
在这5天中，每包的最高售价比每包的最低售价多5元；
故答案为：5；
（3）解：根据题意，则
第一天利润为：元；
第二天利润为：元；
第三天利润为：元；
第四天利润为：元；
第五天利润为：元；
∴这5天出售这批错题本的总利润为：
（元）；
【点睛】要正确理解正数和负数的定义，先将相对价格转化为实际价格，再来计算当天利润，另外，同学们要多练习计算能力．
6．（2022秋·福建泉州·七年级统考阶段练习）水果超市最近新进了一批百香果，每斤进价10元，9月30日每斤售价15元．国庆黄金周10月1日起试行机动价格，价格超出前一天的部分记为正，不足前一天的部分记为负，超市记录一周百香果的售价情况和售出情况：
(1)第一周星期三超市售出的百香果单价为___________元，这天的利润是___________元．
(2)第一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）
(3)超市为了促销这种百香果，决定国庆黄金周结束后推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤20元，超出5斤的部分，每斤降价4元；
方式二：每斤售价17元．
林老师决定下周在A水果超市购买40斤百香果，通过计算说明应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱．
【答案】(1)15，50
(2)第一周超市出售此种百香果盈利600元；
(3)选择方式一购买更省钱，见解析
【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论；
（2）根据利润售价进价销售量，计算出每天的利润，再求和，比较即可；
（3）计算两种购买方式，比较得结论．
【详解】（1）解：∵卖出时每斤以15元为标准，表格中的数据表示超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，
，
∴星期三超市售出的百香果单价为15元，
这天的利润是（元），
故答案为：15，50；
（2）解：超市每天售出百香果的单价依次为：
16元、13元、15元、14元、17元、20元、11元，
=600（元）；
所以第一周超市出售此种百香果盈利600元；
（3）解：方式一：（元），
方式二：（元），
∵，
∴选择方式一购买更省钱．
【点睛】本题考查了正负数的应用及有理数的混合运算．计算本题的关键是看懂图表了理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价．
【经典例题三 水流速度问题】
1．（2023·上海·六年级假期作业）母亲河上， 码头A在B上游540千米处，甲、乙两船分别从A、B同时出发， 在两码头之间往返运送货物．若甲、乙两船的静水速度分别为每小时50和40千米，水速为每小时10千米，则出发后甲、乙第二次迎面相遇地点离A多少千米？
【答案】出发后甲、乙第二次迎面相遇地点离A100千米
【分析】由总路程减去乙行驶的路程先列式计算甲船到达B码头时，乙船离A码头的距离：再列式计算乙船到达A码头时，甲船离A码头的距离：最后列式计算第二次迎面相遇地点离A的距离即可．
【详解】解：甲船到达B码头时，乙船离A码头的距离：
（千米）
乙船到达A码头时，甲船离A码头的距离：
（千米）
第二次迎面相遇地点离A的距离：
（千米） ；
答：出发后甲、乙第二次迎面相遇地点离A100千米．
【点睛】本题考查的是行程应用题，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．
2．（2023·上海·六年级假期作业）甲、乙两船，甲船静水速度是水速的11倍，乙船静水速度是水速的7倍．船分别从 A 、B 两地同时出发，在A、B之间往返航行，出发后6小时第一次相遇．如果A在B上游，那么第一次相遇后，再过几小时两船第二次相遇？
【答案】第一次相遇后，再过13小时两船第二次相遇
【分析】本题中的甲船的速度、乙船的速度、水的速度、A、B两个码头之间的距离都不知道，只知道甲、乙两船的速度和水速之间的关系，所以我们可以把水速设为1千米/小时，则甲船在静水中的速度是（千米/小时），乙船在静水中的速度是（千米/小时），甲船顺水航行的速度是12千米/小时，乙船逆水航行的速度是6千米/小时．两船出发后6小时第一次相遇，所以A、B两个码头之间的距离是（千米）．甲、乙两船相遇后，甲船还需要再行驶（小时）到达B码头，这时乙船已经离开B码头（千米），正好走了一半的路程，乙船还需要再行驶9小时才能到达A码头，甲船在这9小时的时间内逆流而上行驶了（千米），离A码头还有（千米），甲船继续逆流而上，乙船顺流而下，两船变成了相遇问题，相遇时间（小时），所以第一次相遇与第二次相遇之间时间是（小时）．
【详解】设水速为1千米/小时，则
甲船在静水中的速度是（千米/小时），乙船在静水中的速度是：（千米/小时），
甲船顺水航行的速度是（千米/小时），乙船顺水航行的速度是（千米/小时），
甲船逆水航行的速度是（千米/小时），乙船逆水航行的速度是（千米/小时），
A、B两个码头之间的距离是（千米）．
（小时）

（小时）
（小时）
答：第一次相遇后，再过13小时两船第二次相遇．
【点睛】本题主要考查了轮船相遇问题，可以把水速设为1千米/小时，甲、乙两船的速度在变化，所以逐步分析两船行驶的路程和速度是解题的关键．
3．（2023·上海·六年级假期作业）某船在静水中的速度是每小时千米，它从上游甲地开往乙地共用了6小时，水流速度每小时4千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？
【答案】9小时
【分析】根据顺流的时间速度相乘的得到路程，再除以逆流中的速度直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
(小时)
【点睛】本题考查行船再顺水逆水航行的问题，解题的关键是熟练掌握顺水中速度等于静水中速度加上水速，逆水中船速等于静水中速度减去水速．
4．（2020秋·黑龙江·七年级校考期中）某人乘船去钓鱼在江面沿东西方向行驶，向东为正，向西为负，他从A地出发每隔一段时间就换一个地方钓鱼，从出发到结束路线如下：（单位：千米）＋3，－5，＋4，－2，－6，－3，＋2．
(1)问最后结束停下的地方离A地 千米．
(2)若该船每千米耗油0.3升，问从出发到结束共耗油 升．
(3)该人结束后要到B地再靠岸，在江面上逆流而行，已知该该船静水速度为16km/h，水速为3km/h，用去半个小时到达B地，问该船最后达B地行驶了了多少千米？
【答案】(1)7
(2)7.5
(3)6.5千米
【分析】（1）计算这些有理数的和，即可知道结束停下的地方离A地多远；
（2）求出各个数的绝对值的和，进而求出用汽油的升数；
（3）船速=静水速-水速，根据路程=速度时间即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，得：+3-5+4-2-6-3+2=-7（千米），即最后结束停下的地方离A地7千米，
故答案为：7；
（2）解：=0.325=7.5（升），
即从出发到结束共耗油7.5升，
故答案为：7.5
（3）解：根据题意，得：（千米）
答：该船最后达B地行驶了了6.5千米.
【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．也考查了有理数的加法和乘法运算．
【经典例题四 分段收费问题】
1．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期末）我县出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费．
（1）若某人乘坐了x（x＞3）千米，则他应支付车费 元（用含有x的代数式表示）；
（2）一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）．
①送完第4批客人后，王师傅在公司的 边（填“东”或“西”），距离公司 千米的位置；
②若王师傅的车平均每千米耗油0.1升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？
③在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？
【答案】（1）（2x+1）；（2）①西，6；②1.6升；③王师傅共收到车费38元．
【分析】（1）根据题意，可以用含x的代数式表示出某人应支付的车费；
（2）①将表格中的数据相加，即可解答本题；
②根据题意，可以计算出在整个过程中，王师傅共收到的车费；
③根据表格中的数据和题意，可以计算出送完第4批客人后，王师傅用了多少升油．
【详解】解：（1）由题意可得，
他应支付车费：7+（x﹣3）×2＝（2x+1）元．
故答案为：（2x+1）；
（2）①（+2.1）+（﹣6）+（+2.9）+（﹣5）＝﹣6，
即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司6千米．
故答案为：西，6；
②（|+2.1|+|﹣6|+|+2.9|+|﹣5|）×0.1
＝（2.1+6+2.9+5）×0.1
＝16×0.1
＝1.6（升）．
答：送完第4批客人后，王师傅用了1.6升油；
③在整个过程中，王师傅共收到车费：7+[7+（6﹣3）×2]+7+[7+（5﹣3）×2]＝38（元）．
故王师傅共收到车费38元．
【点睛】本题考查了列代数式、正数和负数以及有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的式子的值．
2．（2022秋·山东济宁·七年级统考期中）某出租车司机从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送五批客人，行驶记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：千米）
（1）接送完五批客人后，该驾驶员在公司什么方向?距离公司多少千米?
（2）若该出租车每千米耗油升，那么在这过程中共耗油多少升?
（3）若该出租车的计价标准为:行驶路程不超过千米收费元，超过千米，超出部分按每千米加元收费，那么在这过程中该驾驶员一共收到车费多少元?
【答案】（1）东边，10千米处；（2）4.8升；（3）车费68元．
【分析】（1）依次相加后，根据结果即可得出结论；
（2）把绝对值相加后用结果乘以0.2即可；
（3）根据收费方式算出每一批的费用相加即可．
【详解】解：（1）-4+10+2-3+5=10，
答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的东边10千米处；
（2）升
答：在这个过程中共耗油4.8升；
（3）[10+（4﹣3）×1.8] + [10+（10﹣3）×1.8] +10 +10+[10+（5﹣3）×1.8]＝68（元），
答：在这个过程中该驾驶员共收到车费68元．
【点睛】本题考查有理数的加法运算的实际应用，解题的关键是掌握有理数的加法法则，并且能够根据题意列出算式．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人行驶路程记录如下(规定向南为正，向北为负，单位：)：
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司 边(填南或北)，距离公司 千米．
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油 升．
（3）此出租车离公司的位置最远是多少千米？
（4）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3收费10元，超过3的部分按每千米1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
【答案】（1）南，10；（2）4.8；（3）10千米；（4）68元
【分析】（1）根据有理数加法列出算式即可求出答案；
（2）将各段行驶记录的绝对值相加，再乘以每千米油耗可得结果；
（3）分别算出每段行驶后离公司的距离，可得结果；
（4）根据题意列出算式即可求出答案．
【详解】解：（1）5+2+（-4）+（-3）+10=10（km），
答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边10千米处，
故答案为：南，10．
（2）（5+2+|-4|+|-3|+10）×0.2=24×0.2=4.8（升）
答：在这个过程中共耗油4.8升．
故答案为：4.8．
（3）第1批：+5，
第2批：5+2=7，
第3批：5+2+（-4）=3，
第4批：5+2+（-4）+（-3）=0，
第5批：5+2+（-4）+（-3）+10=10，
∴出租车离公司的位置最远是10千米；
（4）[10+（5-3）×1.8]+10+[10+（4-3）×1.8]+10+[10+（10-3）×1.8]=68（元）
答：在这个过程中该驾驶员共收到车费68元．
【点睛】本题考查正负数的意义和有理数的混合运算的应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义，本题属于基础题型．
4．（2022秋·四川广元·七年级统考期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费8元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
【答案】（1）南，6千米；（2）6升；（3）50.8元
【分析】（1）根据有理数加法即可求出答案；
（2）根据题意列出算式即可求出答案；
（3）根据题意列出算式即可求出答案．
【详解】（1）5+2+（-4）+（-3）+6=6（km）
答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边6千米处
故答案为：南，6千米．
（2）（5+2+|-4|+|-3|+6）×0.3=20×0.3=6（升）
答：在这个过程中共耗油6升．
故答案为：6升．
（3）[8+（5-3）×1.8]+8+[8+（4-3）×1.8]+8+[8+（6-3）×1.8]=50.8（元）
答：在这个过程中该驾驶员共收到车费50.8元．
故答案为：50.8元．
【点睛】此题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义并掌握有理数加法运算法则，本题属于基础题型．
5．（2020春·北京延庆·七年级统考期中）自2014年12月28日北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价，下表是公交车的里程范围及票价．（说明：表格中“10~15公里”指的是大于10公里，小于等于15公里）
根据以上信息回答下列问题：
小明办了一张市政交通一卡通学生卡．
（1）如果小明全程乘坐公交车的里程为7.5公里，他用学生卡刷卡，需交费 元；
（2）如果小明全程乘坐公交车的里程为23公里，他用普通卡刷卡，需交费 元；
（3）小明周末和妈妈一起去离他家50公里的莲花山公园游玩，他用学生卡，妈妈用普通卡，请通过计算说明，此次出行小明和妈妈的单程车费一共是多少元？
【答案】（1）0.5；（2）2.5； （3）小明和妈妈一共花费7.5元
【分析】（1）由里程范围0~10公里，结合小明乘坐公交车所用学生卡的收费标准即可得出结论；
（2）由里程范围为20公里以上，结合小明乘坐公交车所用普通卡的收费标准即可得出结论；
（3）由里程范围为20公里以上，结合小明和妈妈乘坐公交车所用乘车卡的收费标准即可得出结论；
【详解】解：（1）2×0.25 =0.5元，
故答案为：0.5；
（2）23-20=3<5，（1+4）×0.5=2.5元，
故答案为：2.5；
（3）（50-20）÷5=6，4+6=10
妈妈：10×0.5=5（元），妈妈单程花费5元，
小明：10×0.25=2.5（元），小明单程花费2.5元，
一共花费 ： 5+2.5=7.5元，
答：小明和妈妈一共花费7.5元．
【点睛】本题考查了分段记费的问题，解题的关键是明确：（1）乘车所用卡的种类；（2）明确收费标准．
6．（2021秋·辽宁鞍山·七年级统考期中）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米2.4元收费。
（1）若某人乘坐了x（x＞3）千米，则他应支付车费 元（用含有x的代数式表示）；
（2）一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）。
①送完第4批客人后，王师傅在公司的 边（填“东”或“西”），距离公司 千米的位置；
②在整个过程中，王师傅共收到车费 元；
③若王师傅的车平均每千米耗油0.1升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？
【答案】（1）（2.4x+2.8）；（2）①西，11.5；②64；③送完第4批客人后，王师傅用了2.05升油．
【分析】（1）根据题意，可以用含x的代数式表示出某人应支付的车费；
（2）①将表格中的数据相加，即可解答本题；
②根据题意，可以计算出在整个过程中，王师傅共收到的车费；
③根据表格中的数据和题意，可以计算出送完第4批客人后，王师傅用了多少升油．
【详解】（1）由题意可得，
他应支付车费：10+（x-3）×2.4=10+2.4x-7.2=（2.4x+2.8）元，
故答案为：（2.4x+2.8）；
（2）①（+1.6）+（-9）+（+2.9）+（-7）=-11.5，
即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距公司11.5千米，
故答案为：西，11.5；
②在整个过程中，王师傅共收到车费：10+[10+（9-3）×2.4]+10+[10+（7-3）×2.4]=64（元），
故答案为：64；
③（|+1.6|+|-9|+|+2.9|+|-7|）×0.1=（1.6+9+2.9+7）×0.1=20.5×0.1=2.05（升），
答：送完第4批客人后，王师傅用了2.05升油．
【点睛】本题考查列代数式、正数和负数、数轴，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的式子的值．
【经典例题五 正负数的应用问题】
1．（2022秋·广东深圳·七年级深圳市光明区公明中学校考期中）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产与计划量相比有出入，如表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）
(1)根据记录可知前三天共生产 辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；
(3)该厂实行计件工资制，每辆车60元，超额完成任务每辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【答案】(1)598
(2)26
(3)84630元
【分析】（1）用三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可；
（2）用最多的超产量减去最小的减产量即可；
（3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解．
【详解】（1）解：辆，
∴前三天共生产598辆；
（2）辆，
∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆；
（3）∵辆，
∴元，
∴该厂工人这一周的工资总额是84630元．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键．
2．（2022秋·浙江衢州·七年级校考期中）问题解决：
出租车司机小李某天上午营运都是从地出发在东西走向的大街上行进，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下（单位：千米）
(1)收工时与地的距离多少千米？
(2)第 次距地最远，距离地 千米；第 次距地最近，距离地 千米．
(3)若每千米耗油升，问这七次共耗油多少升？
【答案】(1)3千米
(2)一，6；四，0
(3)升
【分析】（1）将7次的行驶记录求和即可；
（2）第二次的距离为第一次的距离加上前一次的距离，以此类推，然后将绝对值作比较；
（3）用七次距离的绝对值求和乘每千米油耗，即可得解．
【详解】（1）解：（千米），
收工时在地西边3千米处．
故答案为：3千米；
（2）第一次距离地6千米；
第二次距离地（千米）；
第三次距离地（千米）；
第四次距离地（千米）；
第五次距离地（千米）；
第六次距离地（千米）；
第七次距离地（千米），
在第一次距离地最远，为6千米．
答：在第一次记录时距地最远，距离6千米．在第四次记录时距地最近，距离0千米；
（3）七次行驶的距离为（千米），
七次一共耗油：（升）．
答：这七次共耗油7.4升．
【点睛】本题考查数轴和正负数，有理数的混合运算的实际应用，能够理解正负数的含义是解答本题的关键．
3．（2022秋·福建漳州·七年级统考期末）某出租车司机从位于人民路（南北向）的某公司出发，在人民路上连续接送5批客人，行驶记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：千米）：
(1)接送完第5批客人后，该司机在此公司的什么方向，距离此公司多少千米？
(2)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米加收2元，在这过程中该司机共收到车费多少元？
【答案】(1)该司机在此公司的南边6千米处
(2)70元
【分析】（1）根据有理数加法即可求出答案．
（2）根据计费方式列出算式即可求出答案．
【详解】（1）（千米），
答：接送完第五批客人后，该司机在此公司的南边6千米处．
（2）
（元），
答：在这个过程中该司机共收到车费70元．
【点睛】本题考查了正负数的意义，以及有理数的混合运算，解题的关键是熟练运用正负数的意义，本题属于基础题型．
4．（2023·全国·七年级假期作业）目前我国常态化疫情防控形势持续稳定向好，但也要清醒地认识到新冠肺炎发生和传播的风险依然存在，科学佩戴口罩是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径，是最简单、最方便、最经济、最有效的防控措施，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因，实际每天生产量相比计划生产量有出入，下表是九月份某一周的生产情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负，单位：个）
(1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩；
(2)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；
(3)若该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？
【答案】(1)15200个；
(2)550个；
(3)7160元．
【分析】（1）把前三天的记录相加，再加上每天计划生产量，计算即可得解；
（2）根据正负数的意义确定星期六产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解；
（3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解．
【详解】（1）解：（个）
故前三天共生产15200个口罩；
（2）（个）．
故产量最多的一天比产量最少的一天多生产550个；
（3）（个），
（元），
答：本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7160元．
【点睛】此题主要考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
5．（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
(2)小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
(3)若小王按9元/千克进行柚子销售，平均运费为4元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【答案】(1)20
(2)717
(3)3585
【分析】（1）根据表格可知，星期六销售量最多，星期五销售量最少， 周六比计划量多的减去周五比计划量少的，即可得出答案；
（2）一周的销售计划量加上本周比计划量多销售的或者减去少销售的，即可得实际销售总量；
（3）根据销售总量×（销售单价-每千克的运费）=销售收入列式计算即可．
【详解】（1）解：（千克），
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克；
（2）解：（千克），
答：小王第一周实际销售柚子的总量是717千克；
（3）解：（元），
答：小王第一周销售柚子一共收入3585元．
【点睛】此题考查了相反意义的量及有理数混合运算的应用，正确理解相反意义的量及正确列得算式是解题的关键．
6．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）小明的父亲上星期日买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）
(1)星期三收盘时，每股是多少元？
(2)本周内最高价是每股多少元？最低每股多少元？
(3)已知小明父亲买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果他在周六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【答案】(1)星期三收盘时，每股是34.5元
(2)本周内最高价是每股35.5元，最低每股26元
(3)他在周六收盘前将全部股票卖出收入了637.5元
【分析】（1）利用加法计算即可得到结果；
（2）求出这六天的收盘价，即可得出答案；
（3）先理解上涨用“”表示，下降用“”表示，根据题意列出式子计算即可；周六的收益周六每股的价钱．
【详解】（1）解：（元）；
答：星期三收盘时，每股是34.5元；
（2）解：星期一收盘时每股（元），
星期二收盘时每股（元），
星期三收盘时每股（元），
星期四收盘时每股（元），
星期五收盘时每股（元），
星期六收盘时每股（元），
∵，
∴本周内最高价是每股35.5元，最低每股26元．
（3）解：星期六收盘时每股28元，
（元），
答：他在周六收盘前将全部股票卖出收入了637.5元．
【点睛】本题主要考查的是有理数的加减混合运算，乘法运算，解题的关键是注意相反意义的量，列出算式，准确计算．
【经典例题六 算“24”点的应用题】
1．（2023春·上海·六年级专题练习）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取?最大值是多少？
(2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取?最小值是多少？
(3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取?写出运算式子．（一种即可）
【答案】(1)抽取5和4，20；
(2)抽取和5，；
(3)见解析．
【分析】（1）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题；
（2）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题；
（3）根据题意可以写出相应的算式即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，抽取5和4，
最大值是，
即抽取5和4，最大值是20．
（2）解：由题意可得，
从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，抽取和5，
最小值是，
即抽取和5，最小值是．
（3）由题意可得，
解：
（答案不唯一），
即抽取0、、4、即可满足．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数大小的比较等知识点，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键．
2．（2023春·上海·六年级专题练习）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
【答案】(1)，答案不唯一
(2)见解析
【分析】（1）根据题意将其进行有理数的混合运算得到24即可；
（2）假设一组数字，再进行计算即可．
【详解】（1）由题意得：；
（2）由题意得，假设抽取的卡牌上的数字为：2、3、4、6，
则．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
3．（2022秋·江西萍乡·七年级统考期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相乘的积最大，最大值是________．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是________．
(3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方、取相反数或取绝对值等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能对用一次，如）．请另写出一种符合要求的运算式子．
【答案】(1)6
(2)
(3)（答案不唯一）
【分析】（1）根据题意列出算式，找出积最大值即可；
（2）根据题意列出算式，找出商最小值即可；
（3）利用“24点”游戏规则列出算式即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
积的最大值为，
故答案为：6；
（2）解：商的最小值为，
故答案为；
（3）解： ；等，
算式可以为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，有理数大小比较，解题关键在于掌握各性质和运算法则.
4．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片(如图)，小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
(2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小？如何抽取？最小值是多少？
(3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子．（一种即可）
【答案】(1)抽取和，最大值是
(2)抽取3和，最小值是
(3)（答案不唯一）
【分析】（1）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题；
（2）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题；
（3）根据题意可以写出相应的算式，本题答案不唯一．
【详解】（1）解：由题意可得，
从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，抽取和，
最大值是；
（2）解：由题意可得，
从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，抽取3和，
最小值是；
（3）解：由题意可得，
（答案不唯一）．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
5．（2022秋·浙江·七年级期中）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题．
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ．
(3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：），请另写出一种符合要求的运算式子 ．
【答案】(1)6
(2)﹣2
(3)
【分析】（1）找出与，使其乘积最大即可；
（2）找出与，使其商最小即可；
（3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可．
【详解】（1）取，2，乘积最大值为，
故答案为：
（2）取，商的最小值为，
故答案为：
（3）；
【点睛】本题实际上是有理数的混合运算的逆运算，先给你数，让你列混合运算的式子，培养学生的逆向思维能力．
6．（2023春·上海·六年级专题练习）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．
例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．
如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆”为“”，“♠”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．
①
依次记为：_________________
列式计算：__________________．
②
依次记为：_________________
列式计算：_______．
【答案】①，，，；．（答案不唯一，正确即可）
②，，，；．（答案不唯一，正确即可）
【分析】根据♥、◆表示正，♠、♣表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可．
【详解】解：①四张牌依次记为，，，；
列式计算得：（答案不唯一，正确即可）；
②四张牌依次记为，，，；
列式计算得：（答案不唯一，正确即可）．
【点睛】本题考查了新定义问题和有理数的混合运算，理解“点”游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
【经典例题七 数轴中的实际应用问题】
1．（2023·河北邯郸·校考一模）如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合．
(1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是 ；
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是 ；
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，．
①当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？
②在滚动过程中，共经过 次数轴上2表示的点；第 次滚动后，点A距离原点最远．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②，
【分析】（1）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点C对应的数；
（2）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点D对应的数；
（3）①利用滚动的方向即周数，结合数轴，算出最后A点位置；②根据（1）得出圆片沿数轴滚动1周，点A在数轴上是个单位，然后再根据圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，，分别得出滚动过程，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是，
故答案为：；
（3）解：①，即向左滚动了3周，
∵，
∴圆片结束滚动时，点A对应的数是；
②∵第1次：从0滚动到了4，经过数轴上2表示的点；
第2次：从4滚动到了2，经过数轴上2表示的点；
第3次：从2滚动到了8，经过数轴上2表示的点；
第4次：从8滚动到了0，经过数轴上2表示的点；
第5次：从0滚动到了，不经过数轴上2表示的点；
∴共有4次经过数轴上2表示的点，第3次滚动后，点A距离原点最远．
故答案为：4，3．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、圆的周长公式、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2023·江苏·七年级假期作业）思考下列问题并在横线上填上答案．
(1)已知数轴上有M，N两点，点M与原点的距离为2，M，N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是__________；
(2)在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，若数轴上E，F两点之间的距离是10（E在F的左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是__________，点F表示的数是__________；
(3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？
【答案】(1)或或或
(2)，4
(3)8，4，24
【分析】（1）先求出点M所表示的数，进而即可求解；
（2）先求出折痕对应的数为：-1，进而即可求解；
（3）先求出A、B相遇时所花的时间，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵点M与原点的距离为2，
∴点M表示的数为：，
∵两点的距离为，
∴N表示的数为：或；或，
故答案是：或或或；
（2）∵折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，
∴折痕对应的数为：，
∵数轴上两点之间的距离是10（E在F的左侧），且两点经过上述折叠后重合，
∴点E表示的数是：，点F表示的数是：，
故答案是：，4；
（3）当三个点聚于一个点时，则A、B相遇，
运动的时间为：（秒），
此时，这一点表示的数是：，
点C在整个运动过程中，移动了：个单位．
【点睛】本题主要考查数轴上的点所表示的数，两点间的距离，折叠的性质，掌握数轴上两点的距离等于对应的两数之差的绝对值，是解题的关键．
3．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）为宣传健康知识，某社区居委会派车按照顺序为7个小区（分别记为A，B，C，D，E，F，G）分发防疫安全手册，社区工作人员乘车从服务点（原点）出发，沿东西向公路行驶，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：百米）：，，，，，，．
(1)请你在数轴上标记出D，E，F这三个小区的位置（在相应位置标记字母即可）
(2)服务车最后到达的地方距离服务点多远？若该车辆油耗为0.01升/百米，则这次分发工作共耗油多少升？
(3)为方便附近居民进行核酸检测，现居委会计划在这七个小区中选一个作为临时核酸检测点，为使七个小区所有居民步行到监测点的路程总和最小，假设各小区人数相等，那么监测点的位置应设在______小区．
【答案】(1)见解析
(2)服务车最后到达的地方距离服务点200米,共耗油升
(3)G
【分析】（1）由题意计算出D，E，F在数轴上对应的数即可；
（2）服务车最后到达的地方为G小区，计处出G点到原点的距离即可；求出所给数据的绝对值的和，得到该车辆行驶的总路程，乘以单位距离的油耗即可；
（3）根据数轴上两点间距离公式，以及绝对值的意义，可得检测点应设在最中间的小区．
【详解】（1）解：由题意，D在数轴上对应的数为，
E在数轴上对应的数为，
F在数轴上对应的数为，
因此在数轴上表示为：
（2）解：由题意知服务车最后到达的地方为G小区，G在数轴上对应的数为2，
(升),
因此服务车最后到达的地方距离服务点200米, 这次分发工作共耗油升；
（3）解：设检测点所设小区在数轴上对应的点为x,则七个小区到该检测点的距离之和为：
，
由绝对值的意义可知，当时，上面式子取最小值，
因此检测点应设在最中间的小区，即G小区．
【点睛】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的应用，绝对值的应用等，第3问有一定难度，解题的关键是理解绝对值的意义．
4．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合（点在点的左边）．
(1)【初步思考】
若，当点表示的数为时，点表示的数为______；
(2)【数学探究】
如图2，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为．请确定的值及图中，两点表示的数；
(3)【实际应用】
一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是______岁．
【答案】(1)3
(2)的值为8，点表示的数为，点表示的数为6
(3)
【分析】（1）根据数轴的性质列出运算式子，再计算有理数的加法即可得；
（2）先根据3根木条的长度等于14与之间的距离可求出的值，再根据数轴的性质列出运算式子，计算有理数的加减法即可得；
（3）先参照（2）的思路求出爷爷比小红大岁，再利用减去即可得．
【详解】（1）解：由题意得：点表示的数为，
故答案为：3．
（2）解：由题意得：的值为，
则点表示的数为，
点表示的数为，
即的值为8，点表示的数为，点表示的数为6．
（3）解：由题意得：爷爷比小红大（岁），
则爷爷现在的年龄为（岁），
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法与除法的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
5．（2023春·四川达州·七年级四川省万源中学校考阶段练习）元旦放假时，凡凡一家三口一起乘小轿车去探望爷爷，奶奶和姥爷，姥姥．早上从家里出发，向西走了千米到超市买东西，然后又向西走了千米到爷爷家，下午从爷爷家出发向东走了千米到姥爷家，晚上返回家里．
（1）若以凡凡家为原点，向东为正方向，用个单位长度表示千米，请将超市、爷爷家和姥爷家的位置在下面数轴上分别用点表示出来﹔
（2）超市和姥爷家相距多少千米？
（3）若小轿车每千米耗油升，求凡凡一家从出发到返回家，小轿车的耗油量．
【答案】（1）见解析；（2）5.5千米；（3）1.44升
【分析】（1）先计算超市、爷爷家和姥爷家在数轴上表示的数，再根据有理数与数轴上点的关系解答即可；
（2）数轴上右边点表示的数减去左边点表示的数就是两点间的距离；
（3）先计算凡凡一家从出发到返回家共走了多少路，再计算耗油量．
【详解】解：（1）由题意得，点A表示的数是-4；点B表示的数是-5-3.5=-7.5；点C表示的数是-7.5+9=1.5；
点即为如图所示．
（2）1.5－(-4)=千米．
答：超市和姥爷家相距5.5千米；
（3）（升）．
答：小轿车的耗油1.44升．
【点睛】本题主要考查了数轴和有理数的混合运算，题目难度不大，理解题意并利用数轴是解决本题的关键．
6．（2023秋·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）一场突如其来的新冠肺炎疫情来袭，我市的医疗物资紧缺，防疫站立即分配了运输医疗物资的任务：一辆配送车，从配送站出发，向东走了千米到达一医院，继续向东走了千米到达附属医院，然后向西走了千米到达儿童医院，最后返回配送站．
（1）以配送站为原点，向东为正方向，向西为负方向，个单位长度表示千米，请你在数轴上标出医院、附属医院、儿童医院的位置．（医院用点表示，附属医院用点表示，儿童医院用点表示）
（2）一医院与儿童医院相距多远？
（3）若配送车每千米耗油升，那么这辆车完成此次运输任务共耗油多少升？
【答案】（1）见解析 （2）7千米 （3）2.55升
【分析】（1）画出数轴，表示出对应的位置，即可解答；
（2）根据数轴，利用绝对值即可解答；
（3）先计算出总路程，再乘以0.15升，即可解答．
【详解】解：点为，点为，点为，在数轴上表示如下：
（千米）.
（升）.
答：共耗油升．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据题意画出数轴，表示出医院、附属医院和儿童医院的位置．
【经典例题八 有理数的四则混合运算应用题】
1．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“+”表示进库，“”表示出库）
，，，，，
(1)经过这6天，仓库里的货品是________（填“增多了”或“减少了”）
(2)经过这6天，仓库管理员结算发现仓库还有货品430吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？
(3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？
【答案】(1)减少了
(2)6天前仓库里有货品470吨
(3)这6天要付850元装卸费
【分析】（1）将这6天进库数与出库数相加，即可得出答案；
（2）用这6天仓库减少的货物数加上这6天还剩下的货物数即可得出答案；
（3）求出这6天进出仓库的货物数，然后用进出仓库的总货物数×每吨装卸费，即可得出答案．
【详解】（1）解：
∵，
∴经过这6天，仓库里的货品减少了．
（2）解：（吨），
答：6天前仓库里有货品470吨．
（3）解：（元），
答：这6天要付850元装卸费．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．
2．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是二月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个），
(1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩．
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个．
(3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.1元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元?
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)把前三天的记录相加，再加上每天计划生产量，计算即可得解；
(2)根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解；
(3)求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解．
【详解】（1）（个），
∴前三天共生产个口罩；
（2）(个)，
故产量最多的一天比产量最少的一天多生产个；
（3）(个)，
(元)，
答：本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是元．
【点睛】此题主要考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量,在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3．（2022秋·江苏无锡·七年级校考期中）今年“十一”黄金周，无锡三国水浒风景区在七天假期中每天旅客人数变化情况如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示人数比前一天少），已知9月30日的游客人数为12万人．
(1)今年10月4日的游客人数为 万人；
(2)七天内游客人数最多的一天比最少的一天多 万人；
(3)若每万人带来的经济收入约为200万元，则黄金周七天该景区旅游总收入约为多少万元？
【答案】(1)12.7
(2)2.6
(3)17520
【分析】（1）列加法算式计算即可；
（2）分别计算出每天的游客量，比较即可；
（3）用一周的总人数乘以单价即可．
【详解】（1）根据题意得：（万人），
即出10月4日的游客人数为12.7万人；
故答案为：12.7；
（2）根据表格得：
1日：（万人），
2日：（万人），
3日：（万人），
4日：（万人），
5日：（万人），
6日：（万人），
7日：（万人），
则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多：（万人），
故答案为：2.6；
（3）
（万元），
答：黄金周七天该景区旅游总收入约为17520万元．
【点睛】此题考查了有理数的应用，掌握有理数计算法则，正确理解题意是解题的关键．
4．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）鞋厂要生产一批相同款式的鞋子，计划每人每天生产50双．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异，下表是某位工人在一周的生产情况：（记超过为正，不足为负）
(1)该名工人一周内生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 双鞋子；
(2)根据记录可知，该工人七天共生产了 双鞋子；
(3)该厂实行奖励工资制，每生产一双鞋子得5元，若该周超出计划生产量，则超出部分额外奖励2元双；若该周低于计划生产量，则不足部分扣除2元双．求该名工人这一周的工资总额是多少元．
【答案】(1)17
(2)356
(3)该名工人这一周的工资总额是1792元
【分析】（1）计算即可；
（2）求出该周生产量的总和即可；
（3）由该周生产量的总和，根据奖励制度即可计算．
【详解】（1）解：（双，
该名工人一周内生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了17双鞋子；
（2）（双，
该工人七天共生产了356双鞋子；
（3）（元，
该名工人这一周的工资总额是1792元．
【点睛】本题考查了正负数的应用，解题的关键是掌握正负数表示的实际意义．
5．（2022秋·山东烟台·六年级统考期末）春节临近，糕点销量大幅度增加，某食品加工厂为了满足市场需求，计划每天生产2000份糕点，由于各种原因，每天实际上的产量与原计划相比有出入，如表所示是某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）
(1)根据记录可知，前三天共生产了__________份﹔
(2)一周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了___________份﹔
(3)该工厂实行计件工资制，工人每生产一份糕点可获得0.5元工资报酬，本周该食品加工厂应支付工人的工资总额．
【答案】(1)6350
(2)450
(3)7200元
【分析】（1）将前三天的标准质量、记录结果分别求和并相加即可；
（2）用一周中记录结果的最大值减去最小值即可；
（3）用工人每生产一份糕点可获得的工资报酬0.5元乘以这周生产的总份数．
【详解】（1）
（份），
故答案为：6350；
（2）∵，
∴（份），
故答案为：450；
（3）
（元）．
答：本周该食品加工厂应支付工人的工资总额为7200元．
【点睛】此题考查了运用正负数的概念和绝对值解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）某批发商于上周日买进某产品10000kg，每千克2.4元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000kg该品种的产品，每个摊位的市场管理价为每天20元．如表为本周内该产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负，上周日当天的售价刚好为每千克2.4元）
(1)星期四该产品价格为每千克多少元？
(2)本周内该产品的最高价格为每千克多少元？最低价格为每千克多少元？
(3)该批发商在销售过程中采用逐步减少摊位个数（每天减少一个）的方法来降低成本，增加收益，请你帮他算一算，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？
【答案】(1)3.05元
(2)最高价格为每斤3.05元，最低价格为每斤2.55元
(3)3325元
【分析】（1）根据正负数的意义结合有理数加减计算法则求解即可；
（2）分别求出周一到周五每天的价格即可得到答案；
（3）根据利润=毛利润成本摊位费进行求解即可．
【详解】（1）解：（元）；
答：星期四该产品价格为每千克3.05元；
（2）解；星期一的价格是：（元）；
星期二的价格是：（元）；
星期三的价格是：（元）；
星期四是：（元）；
星期五是：（元）；
∴本周内该农产品的最高价格为每斤3.05元，最低价格为每斤2.55元；
（3）解：
（元）．
答：他在本周的买卖中共赚了3325元钱．
【点睛】本题主要考查了有理数加减计算的应用，有理数四则运算的应用，正确理解题意是解题的关键．
有理数的实际应用题课后练习
1．（2023·上海·六年级假期作业）甲乙两人同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时25千米，请问：
(1)出发多长时间，甲第一次追上乙？
(2)出发多长时间，甲第二次追上乙？
【答案】(1)36小时
(2)72小时
【分析】根据甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是2个全程，以后每两个相邻追及之间，两人的路程差也是2个全程，据此解答本题即可．
【详解】（1）解：如下图，

由图可知，从出发到第一次追上，路程差是2个全程，所以时间是：
（小时），
出发36小时，甲第一次追上乙；
（2）从出发到第二次追上，路程差是4个全程，所以时间是：
（小时），
出发72小时，甲第二次追上乙．
【点睛】此题考查了路程问题，解题的关键是要读懂题意，画出线段图，一般地，两人从某地同时出发，同向而行，在两地之间不断往返，相邻两次追及之间，两人的路程差恰好等于2个全长．
2．（2023·上海·六年级假期作业）有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？
【答案】快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒
【分析】如果从两车头对齐开始算，那么超车距离为快车的车长；如果从两车尾对齐开始算，那么超车距离为慢车车长，即可根据路程÷速度=时间求解．
【详解】快车车长：
（米）
慢车车长：
（米）
重叠起到车尾相离时间：
（秒）
答：快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒．
【点睛】本题考查了路程÷速度=时间，根据题意求出快车和慢车的车长是解题的关键．
3．（2023·上海·六年级假期作业）一条小河上，A在B上游150千米处．甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，若相向而行， 3小时后相遇；若同向而行，15小时后甲被乙追上．则甲船的静水速度是每小时多少千米？
【答案】甲船在静水中的速度是20千米/小时
【分析】两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关，故利用相向而行路程等于速度和乘以时间，追击问题路程等于速度差乘以时间，分别求速度和与速度差，两个速度相减后，除以2即可求出甲船在静水中的速度．
【详解】解：速度和：
速度差：
甲船的速度：

答：甲船在静水中的速度是20千米/小时．
【点睛】此题的关键是理解两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关．
4．（2023·全国·七年级假期作业）学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：（单位：米）．
(1)守门员最后是否回到了球门线的位置？
(2)在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？
(3)守门员全部练习结束后一共跑了多少米？
【答案】(1)是
(2)12米
(3)56
【分析】（1）将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可；
（2）求出每一次离开球门线的距离，即可得出结果；
（3）将所有数据的绝对值进行相加即可得出结论．
【详解】（1）解：，
∴守门员回到了球门线的位置；
（2）解：守门员每次离开球门的距离为：7米，米，米，米，米，米，米，
∴离开球门的最远距离为米；
答：守门员离开球门的位置最远是12米；
（3）解：（米），
答：守门员一共跑了56米．
【点睛】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用．理解并掌握正负数的意义，熟练掌握有理数的加法法则，是解题的关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，，
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？
(2)离开下午出发点最远时是__________千米；
(3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？
【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边
(2)26
(3)元
【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边；
（2）分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可；
（3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和．
【详解】（1）解：小李离下午出车点的距离（千米）．
答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边；
（2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
∵，
∴离开下午出发点最远时是26千米，
答：离开下午出发点最远时是26千米；
（3）解：∵这天下午小李所走路程
（千米），
∴这天下午共需付油钱（元），
答：这天下午共需支付元油钱．
【点睛】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和．
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨风华中学校考期中）风华中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，排球垫球比赛，下表为六年级某班48人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球25个．
(1)求这个班48人平均每人垫球多少个？
(2)规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？
【答案】(1)这个班48人平均每人垫球27个
(2)这个班垫球总共获得319分
【分析】（1）先根据垫球个数与标准数量的差值及对应人数求出总的垫球个数，再除以班级人数即可；
（2）根据“每多垫1个加2分，每少垫1个扣1分”列式计算即可．
【详解】（1）解：
（个），
（个）．
答：这个班48人平均每人垫球27个；
（2）解：
（分）．
答：这个班垫球总共获得319分．
【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，解题的关键是理解题意，正确列出算式．
7．（2023·浙江·七年级假期作业）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数a是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合就是一个好的集合．
(1)集合 好的集合，集合 好的集合（两空均填“是”或“不是”）；
(2)若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；
(3)若一个好的集合所有元素之和为整数M，且，则该集合共有几个元素？说明你的理由．
【答案】(1)不是，是
(2)存在，
(3)22个，见解析
【分析】（1）根据有理数a是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合，从而可以可解答本题；
（2）根据，如果a的值越大，则的值越小，从而可以解答本题；
（3）根据题意可知好的集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2015，然后通过估算即可解答本题．
【详解】（1）解：根据题意可得，，而集合中没有元素0，
故不是好的集合；
∵，，
∴集合是好的集合．
故答案为：不是，是．
（2）解：一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是．
∵中a的值越大，则的值越小，
∴一个好的集合中最大的一个元素为4001，则最小的元素为：．
（3）解：该集合共有22个元素．理由：
∵在好的集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为，
∴好的集合中的元素一定是偶数个．
∵好的集合中的每一对对应元素的和为：，
又∵一个好的集合所有元素之和为整数M，且，
∴这个好的集合中的元素个数为：个．
【点睛】本题考查了有理数的知识点，解题的关键是熟练的掌握有理数的性质．
8．（2023·浙江·七年级假期作业）如图，一辆货车从超市出发，向东走了千米到达小华家，继续向东走了千米到达小颖家，然后向西走了千米到达小明家，最后回到超市超市及小明家、小华家、小颖家的大小忽略不计．

(1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，请画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小华家和小颖家的位置；
(2)小明家距小华家多远？
(3)货车一共行驶了多少千米？
【答案】(1)见解析；
(2)小明家距小华家千米；
(3)货车一共行驶了千米．
【分析】（1）分别求出小华家、小颖家、小明家在数轴上代表的数值，再在数轴上描点即可得；
（2）根据数轴图，列出式子，计算有理数的减法即可得；
（3）根据所走的行程，列出式子，计算有理数的加法即可得．
【详解】（1）解：依题意得：
小华家在数轴上表示的数为：，
小颖家在数轴上表示的数为：，
小明家在数轴上表示的数为：，
则在数轴上的位置如下所示：

（2）依题意得小明家距小华家距离为：
（千米），
答：小明家距小华家千米；
（3）依题意得货车一共行驶的距离为：
（千米），
答：货车一共行驶了千米．
【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法；熟练掌握数轴的定义是解题关键．
9．（2023·浙江·七年级假期作业）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；
(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？
(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；
方式二：每斤售价10元；
为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．
【答案】(1)六；15
(2)这一周超市出售此种百香果盈利135元
(3)选择方式一购买更省钱
【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论；
（2）计算总进价和总售价，比较即可；
（3）计算两种购买方式，比较得结论．
【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最高单价是（元）．
故答案为：六；15．
（2）解：（元），
（元），
（元）；
答：这一周超市出售此种百香果盈利135元．
（3）解：方式一：（元），
方式二：（元），
∵，
∴选择方式一购买更省钱．
【点睛】本题主要考查了正负数的应用及有理数的计算．计算本题的关键是看懂图表，理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价．
10．（2023·江苏·七年级假期作业）【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题：
(1)式子在数轴上的意义是 ；
(2)当取最小值时，x可以取整数 ；
(3)最大值为 ；
(4)的最小值为 ；
【解决问题】
(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离
(2)-1，0，1，2，3
(3)4
(4)7
(5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是
【分析】（1）根据题意即可得出结论；
（2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果；
（3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值，
即可求出结果；
（4）的几何意义是表示x的点到的点和到的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；
（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；
故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离．
（2）解：根据题意可得，
的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和，
∴当时，取最小值，
即当x可以取整数，0，1，2，3；
故答案为：，0，1，2，3．
（3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离，
时取得最大值，
的最大值是：．
（4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点和到表示的点和表示1的点的距离之和，
当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即，
当时，的值最小，最小值为7；
故答案为：7．
（5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处，
根据题意可得，便民服务点到四点的距离为，
当表示x的点在表示的点到表示3的点的线段上，有最小值，即，
当时，
取得最小值，此时，
答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键．
11．（2023春·上海嘉定·七年级校考阶段练习）超市里的罐装饮料常以6罐为一组售卖，如图1是常见的一种捆绑方式的横截面示意图，外周用一根皮筋捆绑固定．已知每罐饮料罐体的直径为6厘米．
(1)试求此种捆绑方式所用皮筋的长度（取3．14，结果保留一位小数）
(2)小明认为采用如图2的方式包装罐装饮料可以更节省皮筋长度，小明的说法是否正确？请通过计算说明理由．
【答案】(1)此种捆绑方式所用皮筋的长度为厘米
(2)不正确；理由见解析
【分析】（1）如图，用四个拐角的弧长，加上四条线段的长度，即可求出皮筋的长度；
（2）如图，用三个拐角的弧长加上三条线段的长度，求出皮筋的长度，再进行比较即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
∵每罐饮料罐体的直径为6厘米，
∴半径为3厘米，
由图可知，橡皮筋的长度等于四个拐角的弧长，加上四条线段的长度，
每个拐角转了，四个拐角相当于转了，
∴四个拐角处的弧长之和等于一个圆的周长，
∴橡皮筋的长度（厘米）；
∴此种捆绑方式所用皮筋的长度为厘米；
（2）解：不正确；理由如下：
如图，
由图可知，橡皮筋的长度等于三个拐角处的弧长加上三条线段的长度，三个拐角处，相当于转了，所以三个拐角处的弧长之和等于一个圆的周长，
∴橡皮筋的长度（厘米）；
∴两种捆绑方式所用的橡皮筋的长度相同，
∴小明的说法不正确．
【点睛】本题考查有理数加法的实际应用．正确的识图，确定橡皮筋长度的计算方法，是解题的关键．
12．（2023春·江苏·七年级专题练习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a记作，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：，．
【深入思考】
．
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
；．
（3）想一想：有理数的圈次方写成幂的形式等于多少，并写出推导过程．
【答案】（1）；4；（2）；；（3），推导过程见解析
【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．
【详解】（1），
；
（2），
；
（3）．
理由：
，
即．
【点睛】本题主要考查了新定义除方，熟练掌握新定义内容，有理数乘除法运算法则和有理数乘方的运算法则是解题关键．
时间
0
5
7
甲车位置
190
-10
a
乙车位置
b
170
270
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
每千克价格相对于标准价格（元）
销售数量（千克）
20
34
18
22
26
与标准质量的差值（单位：千克）
0
1
2.5
筐数
2
4
3
6
2
8
班级
1班
2班
3班
4班
实际购书量（本）
a
32
c
22
实际购书量与计划购书量的差值（本）
b
与标准质量的差值（单位：千克）
0
0.5
1.5
2.5
袋数
1
2
3
5
4
3
2
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
每包价格相对标准价格（元）
售出包数（包）
7
12
15
32
34
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
每斤价格相对于标准价格（元）
+1
-3
+2
-1
+3
+4
-9
售出斤数
20
35
10
30
15
5
50
第1批
第2批
第3批
第4批
+2.1
﹣6
+2.9
﹣5
第一批
第二批
第三批
第四批
第五批
第1批
第2批
第3批
第4批
第5批
5
2
-4
-3
10
第1批
第2批
第3批
第4批
第5批
5km
2km
－4km
－3km
6km
北京公交车新票价
里程范围
对应票价
0~10公里
2元
10~15公里
3元
15~20公里
4元
20公里以上
每增加1元可再乘坐5公里
（不足5公里的按5公里收费）
*持市政交通一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折
第1批
第2批
第3批
第4批
+1.6
-9
+2.9
-7
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第1批
第2批
第3批
第4批
第5批
7
8
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
60
星期
一
二
三
四
五
六
日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
星期
一
二
三
四
五
六
每股涨跌
3
0
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化/万人
+1.8
﹣0.6
+0.2
﹣0.7
﹣1.3
+0.5
﹣0.7
星期
一
二
三
四
五
六
七
增减（双
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
星期
一
二
三
四
五
与前一天相比价格的涨跌情况/元
当天的交易量/kg
2500
2000
3000
1500
1000
垫球个数与标准数量的差值
0
8
10
15
人数
5
12
10
6
10
5
星期
一
二
三
四
五
六
日
每斤价格相对于标准价格（元）
+3
售出斤数
20
35
10
30
15
5
50
时间
0
5
7
甲车位置
190
-10
a
乙车位置
b
170
270
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
每千克价格相对于标准价格（元）
销售数量（千克）
20
34
18
22
26
与标准质量的差值（单位：千克）
0
1
2.5
筐数
2
4
3
6
2
8
班级
1班
2班
3班
4班
实际购书量（本）
a
32
c
22
实际购书量与计划购书量的差值（本）
b
与标准质量的差值（单位：千克）
0
0.5
1.5
2.5
袋数
1
2
3
5
4
3
2
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
每包价格相对标准价格（元）
售出包数（包）
7
12
15
32
34
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
每斤价格相对于标准价格（元）
+1
-3
+2
-1
+3
+4
-9
售出斤数
20
35
10
30
15
5
50
第1批
第2批
第3批
第4批
+2.1
﹣6
+2.9
﹣5
第一批
第二批
第三批
第四批
第五批
第1批
第2批
第3批
第4批
第5批
5
2
-4
-3
10
第1批
第2批
第3批
第4批
第5批
5km
2km
－4km
－3km
6km
北京公交车新票价
里程范围
对应票价
0~10公里
2元
10~15公里
3元
15~20公里
4元
20公里以上
每增加1元可再乘坐5公里
（不足5公里的按5公里收费）
*持市政交通一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折
第1批
第2批
第3批
第4批
+1.6
-9
+2.9
-7
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
第1批
第2批
第3批
第4批
第5批
7
8
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
60
星期
一
二
三
四
五
六
日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
星期
一
二
三
四
五
六
每股涨跌
3
0
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化/万人
+1.8
﹣0.6
+0.2
﹣0.7
﹣1.3
+0.5
﹣0.7
星期
一
二
三
四
五
六
七
增减（双
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
星期
一
二
三
四
五
与前一天相比价格的涨跌情况/元
当天的交易量/kg
2500
2000
3000
1500
1000
垫球个数与标准数量的差值
0
8
10
15
人数
5
12
10
6
10
5
星期
一
二
三
四
五
六
日
每斤价格相对于标准价格（元）
+3
售出斤数
20
35
10
30
15
5
50