广东省中山市迪茵公学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

这是一份广东省中山市迪茵公学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 在下图中，正确画出边上高的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握高的定义：即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段．
【详解】解：根据三角形高线的定义可知，只有是正确的，
故选：C．
3. 若 k 为正整数，则的意义为（ ）
A. 4 个 相加B. 3 个 相加C. 4 个 相乘D. 7 个 k 相乘
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方的含义即可解答．
【详解】解：根据幂的乘方的含义，可得表示4 个 相乘，
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的含义是解题的关键．
4. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点
A. 三个内角平分线B. 三边垂直平分线C. 三条中线D. 三条高
【答案】B
【解析】
【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上的知识即可求解．
【详解】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，
故选：．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握其性质及运用是解题的关键．
5. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
【答案】C
【解析】
【详解】多边形的内角和公式为（n－2）×180°，
根据题意可得：（n－2）×180°=900°，
解得：n=7．
故选C
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂相乘法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂相乘法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7. 如图，已知，，下列条件中不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由选项可根据全等三角形的判定定理进行排除．
【详解】解：∵，，
∴当添加时，可根据“”判定；
当添加时，可根据“”判定；
当添加时，不能判定，因为“”不是全等三角形的判定定理；
当添加时，则有，可根据“”判定；
故选C．
8. 如图，在中，以圆心，长为半径画弧交边于点，连接.若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理和，，可知∠BAC的度数，根据“以圆心，长为半径画弧交边于点”可知BA=BD，从而可知∠BAD的度数，用∠BAC减去∠BAD的度数即可得到答案.
【详解】∵，，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-36°=104°；
∵以圆心，长为半径画弧交边于点
∴BA=BD
∴∠BAD=∠BDA
又∵∠B=40°
∴∠BAD=
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=104°-70°=34°
故答案选A.
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和等腰三角形，根据∠B的度数求出∠BAD的度数是解题的关键.
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD长是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
【详解】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°-60°=30°，
∴BD=2BC=2×4=8，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°-15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=8．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
10. 如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点，分别是、上的动点，若周长的最小值等于，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作P点关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长最小，根据CD=2可求出的度数．
【详解】解：如图作P点关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于点E，交OB于点F，此时，△PEF的周长最小；
连接OC，OD，PE，PF
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，，PE=CE，OC=OP，
同理可得，
∴，
∴
∵△PEF的周长为，
∴△OCD是等边三角形，
∴
故本题最后选择A．
【点睛】本题找到点E、F的位置是解题的关键，要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段进行解答．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 在△ABC中，若AB=5，BC=2，且AC的长为奇数，则AC=_____．
【答案】5
【解析】
【详解】解：根据题意得5﹣2＜AC＜5+2，
即3＜AC＜7，
而AC的长为奇数，
所以AC=5．
故答案为：5．
12. 一个矩形的边长分别为与，则这个矩形的面积为 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：该矩形的面积为：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两段M、N的距离．如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是______
【答案】PQ
【解析】
【详解】∵△PQO≌△NMO，
∴PQ=MN，
∴求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故答案为PQ.
14. 在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求出点到直线的距离，再根据对称性求出对称点到直线的距离，从而得到点的横坐标，即可得解．
【详解】∵点，
∴点到直线的距离为，∴点关于直线的对称点到直线的距离为3，
∴点的横坐标为，
∴对称点的坐标为.
故答案为．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．
15. 如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点，连接、、、，有如下结论： ①； ②； ③平分；④.其中正确的结论有_____（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质、等面积法等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
根据轴对称的性质可得，再结合即可判定①；由轴对称的性质可得，进而得到可判定②；由全等三角形的面积相等以及等边等高可得点A到两边的距离相等，然后根据角平分线的定义可判定③．说明即可判定④．
【详解】∵和是的轴对称图形，
∴，
∴故①正确；
∴，
由轴对称的性质可得:，
又∵，
∴，故②正确；
∵
∴，
∴边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等，
∴平分，故③正确；
在和中，，
∵
∴，故④错误．
故答案为①②③．
三、解答题（一）（共3题，每题8分，共24分）
16. 如图所示，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，格点的顶点坐标分别为，，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，并回答下列问题：
（1）建立平面直角坐标系，并写出B点坐标_____________．
（2）画出点B关于直线的对称点D，并写出点D的坐标_____________；
（3）若F点坐标为．请你在上取一点M，使有最小值，则点M的坐标为__________．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据点， 建立坐标系，直接写出点B的坐标；
（2）根据轴对称的性质找出格点D，并写出点D的坐标；
（3）找出点C关于 对称点，连接 交 于点M，则点M即为所求．
【小问1详解】
解：建立平面直角坐标系如图所示，，
故答案为∶；
【小问2详解】
解：如上图所示，点D即为所求， ，
故答案为∶ ；
【小问3详解】
解：作点C关于直线 的对称点，连接交于点M，点M即为所求的点，点M的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
17. 若（且是正整数），则．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）3 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算即可求解；
（2）根据幂的乘方及其逆运算即可求解．
【小问1详解】
，
∵，
∴
即有，
解得，
即x的值为3；
【小问2详解】
，
∵，
∴
即有，
解得，
即x的值为2．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算，熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算的运算法则是解答本题的关键．
18. 如图，中，，CD平分交AB于点D，于点E，交CD于点F．
求证：．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得到，根据角平分线的性质得到，由平行线的性质得到，于是得到结论．
【详解】证明：如图
∵CD平分，
，
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分）
19. 如图，点、、、在一条直线上，，过、分别作于，于，若，连交于点，猜想：点是哪些线段的中点？请选择其中一个结论证明．
【答案】为的中点，为的中点，为的中点；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定方法和平行线的性质与判定，首先根据线段的和差关系可得，根据证出，得出，， 再根据证出得出，，从而证得，，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
详解】解：理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
即为的中点，为的中点，为的中点．
20. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】（1）10；（2）点O在边BC的垂直平分线上，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，根据线段的和差关系及△ADE的周即可得BC的长；
（2）如图，连接OA、OB、OC，根据垂直平分线的性质可得OA=OB，OA=OC，即可得出OB=OC，可得点O在边BC的垂直平分线上．
【详解】（1）∵MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∵△ADE的周长为10，
∴AD+AE+DE=10，
∴BC=BD+DE+CE=AD+AE+DE=10．
（2）点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接OA、OB、OC，
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．
21. 请你解答下列问题：
如图，在中，是直角，度，、分别是和的平分线，、交于点，
（1）求的度数；
（2）在（）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】21.
22. ，见解析
【解析】
【分析】（1）由三角形的内角和定理得．再根据角平分线得，，从而利用三角形的外角性质即可得解；
（2）如图，在上截取，连结．证明，得，，从而根据邻补角得．再证，即可得．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：证明如下：
如图，在上截取，连结，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，作出如图所示的辅助线，熟悉三角形外角的性质和全等三角形的判定方法是解答本题的关键
五、解答题（三）（共2题，每题12分，共24分）
22. 如图，已知：在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由；
（2）点P在滑动时，当AP长多少时，△ADP与△BPC全等，为什么？
（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）△ACP是直角三角形，理由见解析；（2）4，理由见解析；（3）当α=45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形．
【解析】
【详解】试题分析：为直角三角形，理由为：，得到一对内错角相等，求出为直角，即可得证；
（2）当AP=4时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据且，求出 与度数，再由外角性质得到 根据，利用 即可得证；
点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当 分别求出夹角的大小即可．
试题解析：(1)是直角三角形，理由为：
当时
又，

∴是直角三角形；
(2)当AP=4时,
理由为：
又∵∠APC是△BPC的一个外角，



又
∴
(3)△PCD的形状可以是等腰三角形，
则
①当PC=PD时，△PCD是等腰三角形，
即

②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，
即

③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，

即
，
此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当或或 时，△PCD是等腰三角形.
23.
已知：等边三角形ABC
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD
【答案】（1）猜想：AP=BP+PC，证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）AP=BP+PC，理由是延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论；
（2）在AD外侧作等边△AB′D，由（1）得PB′=AP+PD，根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PC＞CB′，再证△AB′C≌△ADB，根据全等三角形的性质推出CB′=BD即可．
【详解】（1）猜想:AP=BP+PC,
证明:延长BP至E,使PE=PC,连接CE,
∵∠BPC=120°
∴∠CPE=60°又PE=PC,
∴△CPE为等边三角形,
∴CP=PE=CE,∠PCE=60°,
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,∠BCA=60°
∴∠ACB=∠PCE
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP
∴∠ACP=∠BCE,
∴△ACP≌△BCE（SAS）
∴AP=BE,
∵BE=BO+PE
∴AP=BP+PC
(2)证明:在AD外侧作等边△AB’D,
则点P在三角形AB’D外,连接PB’,B’C,
∵∠APD=120°
∴由(1)得PB’=AP+PD,
在△PB’C中,有PB’+PC’＞CB’,
∴PA+PB+PC＞CB’,
∵△AB’D、△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,AB’=AD
∠BAD=∠CAB’
∴△AB’C≌△ADB
∴CB’=BD,
∴PA+PD+PC＞BD.
【点睛】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．