2021-2022学年广东省河源市紫金县八年级下学期期中数学试题及答案

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4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一．选择题（共10小题，共30分）
若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是( )
A. B. C. 或D.
下列各组数中，不能够作为直角三角形的三边长的是( )
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
如图，在中，，的平分线交于点，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在( )
A. 三条角平分线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三边中线的交点D. 三边上高的交点
给出下列各式：；；；；；其中不等式的个数是( )
A. B. C. D.
如图，是等边三角形，点是的中点，过点作于点，延长交的反向延长线于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
不等式的正整数解有( )
A. 个B. 个C. 个D. 无数多个
设，则下面不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
如图，将绕点逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
若，则的值是．( )
B. C. D.
二．填空题（本题共7小题，共28分）
当______时，．
已知点是由点先向上平移个单位，再向左平移个单位得到的，则点的坐标是______．
分解因式：______ ．
等腰三角形有一个外角是，则这个等腰三角形的顶角度数为______．
在直角中，，平分交于点，若，则点到斜边的距离为______．
直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为______．
关于的不等式组的解集为，则的值为 ．
三．解答题（本题共8小题，共62分）
在平面直角坐标系中的位置如图所示：
画出关于原点对称的；
写出，，三点的坐标．
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
如图，与关于点中心对称，点，在线段上，且，求证：．
如图，在中，垂直平分，垂足为，交于点，连接若，，求的度数．
已知，求的值．
某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的空调，如表是近两周的销售情况：
进价、售价均保持不变，利润销售总收入进货成本
求、两种型号的空调的销售单价；
若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的空调共台，求种型号的空调最多能采购多少台？
如图，已知是的角平分线，于点，于点，．
求证：是等腰三角形；
若，，求的长．
“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元，购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元．
求购进件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？
若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共件，且投入资金不少于万元又不超过万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？
在的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
答案和解析
1.【答案】
解：等腰三角形的两边分别是和，
应分为两种情况：为底，为腰，则；
为底，腰，而，应舍去，
三角形的周长是．
故选B．
本题没有明确已知的两边的具体名称，要分为两种情况即：为底，为腰；为底，为腰，可求出周长．注意：必须考虑三角形的三边关系进行验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
2.【答案】
解：、因为，故能作为直角三角形三边长；
B、因为，故能作为直角三角形三边长；
C、因为，故能作为直角三角形三边长；
D、因为，故不能作为直角三角形三边长．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】
解：如图，过点作于点，
平分，，，，
，
，
的面积，
故选：．
过点作于点，由角平分线的性质求出，代入三角形面积公式计算，即可得出答案．
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
4.【答案】
解：中转仓到甲、乙、丙三地的距离相等，
中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点上，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5.【答案】
解：是不等式；是代数式，没有不等关系，所以不是不等式；是等式；是代数式，没有不等关系，所以不是不等式；是不等式；是不等式，
不等式有，共个．
故选：．
运用不等式的定义进行判断．
本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：，，，，．
6.【答案】
解：连接，
为等边三角形，
，
为的中点，
，
，，
，，
，
．
故选：．
连接，由等腰三角形的性质可求得，，结合直角三角形的性质可求，，由等腰三角形的性质可求得的长，进而可求解．
本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．
7.【答案】
解：不等式的解集是，
故不等式的正整数解有无数多个．
故选D．
首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
8.【答案】
解：，
，
选项A不符合题意；
，
，
，
选项B不符合题意；
，
，
，
选项C符合题意；
，
，
，
选项D不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的性质，解答此题的关键是要明确：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
9.【答案】
解：根据旋转的性质可知，且，．
点在线段的延长线上，
．
．
．
故选：．
根据旋转的性质求出和的度数即可解决问题．
本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查因式分解与多项式的乘法是互为逆运算，根据对应项系数相等列出等式是解本题的关键把等式的右边展开得：，然后根据对应项系数相等列式求解即可．
【解答】
解：，
，
，，
解得，．
故选C．
11.【答案】
解：移项，得：，
合并，得：，
系数化为，得：，
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12.【答案】
解：点是由点先向上平移个单位，再向左平移个单位得到的，则点的坐标是，即，
故答案为：．
根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．逆向推导即可得出平移前点的坐标．
本题考查坐标与图形变化平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
13.【答案】
解：，
故答案为：．
因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可．
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
14.【答案】或
解：分为两种情况：
当这个的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为；
当这个的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为．
故答案为：或．
因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质等知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
15.【答案】
解：如右图，过点作于点，则即为所求，
，平分交于点，
角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的性质定理，解答出即可；
本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，关键是求出点坐标，根据函数图象可得答案．
首先把坐标代入直线，求出的值，从而得到点坐标，再根据函数图象可得答案．
【解答】
解：将点坐标代入直线，得，
从图中直接看出，当时，，
故答案为：．
17.【答案】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，即，
故答案为：．
分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于的方程，解之可得．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：如图，即为所求；
，，．
【解析】根据旋转的性质即可画出关于原点对称的；
结合即可写出，，三点的坐标
本题考查了作图旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
19.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集为，
把解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】证明：与关于点中心对称，
，，
，
，
，
在和中
，
≌，
．
【解析】根据中心对称的性质可得，，再利用等式的性质可得，然后再证明≌，利用全等三角形的性质可得．
此题主要考查了中心对称以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
21.【答案】解：因为垂直平分，
所以，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以．
【解析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质求出，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记垂直平分线的性质是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
22.【答案】解：．
【解析】根据：，即可代入求值．把所求的式子进行变形是解题关键．
23.【答案】解：设、两种型号的空调的销售单价分别为元，元，
根据题意，得：，
解得：，
答：、两种型号的空调的销售单价分别为元，元；
设采购种型号的空调台，则采购型号空调元，
根据题意，得：，
解得：，
答：种型号的空调最多能采购台．
【解析】设、两种型号的空调的销售单价分别为元，元，根据总价单价数量结合该超市近两周的销售情况表中的数据，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设采购种型号的净水器台，则采购种型号的净水器台，根据总价单价数量结合采购金额不多于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】证明：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，
即是等腰三角形；
解：由可知是等腰三角形，
又是的角平分线，，
，，
，
，
，，
，
．
【解析】根据角平分线性质得到，，利用判定≌，根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可得解；
根据等腰三角形的性质得出，，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可．
此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
25.【答案】解：设购进件甲种农机具需要万元，件乙种农机具需要万元，
依题意得：，
解得：．
答：购进件甲种农机具需要万元，件乙种农机具需要万元．
设购进甲种农机具件，则购进乙种农机具件，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以取，，，
共有种购买方案，
方案：购进甲种农机具件，乙种农机具件；
方案：购进甲种农机具件，乙种农机具件；
方案：购进甲种农机具件，乙种农机具件．
方案所需资金为万元；
方案所需资金为万元；
方案所需资金为万元．
，
购买方案所需资金最少，最少资金是万元．
【解析】设购进件甲种农机具需要万元，件乙种农机具需要万元，根据“购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元，购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进甲种农机具件，则购进乙种农机具件，根据投入资金不少于万元又不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案；
利用总价单价数量，可分别求出各购买方案所需资金，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；利用总价单价数量，分别求出各购买方案所需资金．
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
台
台
元
第二周
台
台
元