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19，上海市市北初级中学2022-2023学年六年级下学期期末数学试题
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这是一份19，上海市市北初级中学2022-2023学年六年级下学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共有6题，每题3分，满分18分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数的定义解答即可求解．
【详解】的倒数是
故答案为B．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 分数都是有理数B. 是负数
C. 有理数不是正数就是负数D. 绝对值等于本身的数是正数
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的意义，有理数的分类，绝对值的性质，逐一分析判断可得答案．
此题考查了有理数．熟练掌握有理数的分类方法及所包含的数的特点，是解决问题的关键．
【详解】分数都是有理数，故A正确；
当时，则，故B错误；
有理数可分成正数、负数和零，故C错误；
绝对值等于本身的数是非负数，故D错误；
故选：A
3. 如果，那么下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．理解和掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：A、如果，那么，结论正确，故此项不符合题意；
B、如果，那么，结论正确，故此项不符合题意；
C、如果，那么，结论正确，故此项不符合题意；
D、如果，那么不一定大于，结论错误，故此项不符合题意．
故选：D．
4. 下列方程中，二元一次方程是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
根据二元一次方程的定义可得答案．
【详解】解：A．不是等式，故不属于二元一次方程，不符合题意；
B．含有2个未知数，未知数项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意
C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；
D．含有3个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．
故选：C．
5. 如图所示，观察点A和点B的位置关系，则点A位于点B（ ）方向．
A. 南偏东B. 南偏东C. 北偏西D. 北偏西
【答案】D
【解析】
【分析】根据方向角即可求出答案．
【详解】解：由题意得AC∥BD，
∴∠CAB=∠ABD=39°，
∴点A在点B北偏西39°方向．
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角，属于基础题型．
6. 若，且，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是代数式求值、绝对值的意义，根据题意求得，或，是解题的关键．由可知a、b同号，从而得到，或，，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，或，．
当，时，；
当，时，．
故选：C．
二．填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分）
7. ﹣6的绝对值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【详解】解：∵﹣6＜0，
∴|﹣6|=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查求绝对值，熟记绝对值的定义是解题关键．
8. 计算：（－2）3＋|－6|＝____.
【答案】－2
【解析】
【详解】（－2）3＋|－6|＝-8+6=-2，
故答案为-2.
9. 用科学记数法表示____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】．
故答案为：．
10. 比较大小：____________（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解：，，
因为，
所以．
故答案为：．
11. 已知是关于的方程的解，那么的值等于____________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了方程的解，直接将代入方程计算即可得出答案．
【详解】将代入方程，得
故答案为：．
12. 一张试卷共25道题，做对一道题得4分，做错或不做倒扣1分．小斐做完试卷得70分，则她做对了几道题？如果设她做对了x道，那么可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设她做对x道题，根据“做对一道题得4分，做错或不做倒扣1分，小红做完试卷得分不少于70分”列出不等式即可．
【详解】解：设她做对了x道题目，则她做错或不做了道题目，根据题意可得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，找准不等关系列出不等式是解题的关键是．
13. 当的值不大于的值时，所列出不等式的解集为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的应用及求不等式的解集，根据题意列出不等式，并解不等式即可，熟练掌握求解不等式方法是解题关键．
【详解】根据题意可得，
解得．
故答案为：．
14. 已知二元一次方程，用含的代数式示，则________．
【答案】
【解析】
【分析】把看做已知数表示出即可．
【详解】解：
方程，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数表示出．
15. 已知，则的补角的大小为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了补角的性质，熟练掌握互为补角的两个角的和等于是解题的关键．根据补角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的补角为：．
故答案为：．
16. 若一个角是其补角的，则这个角的度数为____________．
【答案】##36度
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程应用及补角的概念，设这个角的补角为，则这个角为，根据补角的概念列方程求解即可得出答案．
【详解】解：设这个角的补角为，则这个角为
，
故答案为．
17. 如图，已知是直角，，OE平分，OF平分，那么______．
【答案】45
【解析】
【分析】先计算出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义得到∠FOC，∠EOC度数，然后求它们的差即可．
【详解】解∵∠AOB是直角，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC∠AOC=75°，∠FOC∠BOC=30°，
∴∠EOF=∠EOC﹣∠FOC=45°．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
18. 如图，线段，点P是线段上一点，且，Q是线段上一点，且，则的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查线段的n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合思想是解题的关键．由题意求得，．根据线段的和与差，计算出的长，作比即可．
【详解】，，，
，，
如图所示，
，，，
，即，
∴，
．
故答案为：．
三．解答题（本大题共有5题，每题5分，满分25分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程，方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【详解】，
去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
系数化为1得，．
21. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析．
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出每个不等式的解集，再把解集表示在数轴，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
表示在数轴上如图：
∴不等式组的解集为：．
22. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组利用加减消元法求解即可；利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
【详解】
得
解得
把代入②得
解得
∴原方程组的解为．
23 解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，即消元法，是解答本题的关键．
①②得④，②③得⑤，④⑤得，把代入④得，把、代入③得，由此得到答案．
【详解】解：根据题意：
由①②得④，
由②③得⑤，
④⑤得，
得，
把代入④得，
得，
把、代入③得，
得，
原方程组的解为．
四．解答题（本大题共有5题，第24题7分、第25、26题每题5分，第27、28题每题8分，满分33分）
24. 如图，已知，，OP是的平分线．
（1）用圆规和直尺作出的平分线OP（不写作法，但保留作图痕迹）．
（2）在画出的图中找出能与互余的角是______．
（3）在画出的图中找出能与互补的角是______．
【答案】（1）见解析 （2）、
（3）、
【解析】
【分析】（1）以任意长度为半径，顶点O为圆心画圆弧，交OB于点D，交OA于点E，以D为圆心，大于长度为半径画圆弧，接着以E为圆心，同样长度为半径画圆弧，两圆弧交于P点，连接顶点O和P，OP即为的平分线；
（2）利用余角的定义求解；
（3）利用补角的定义求解．
【小问1详解】
解：如图，以任意长度为半径，顶点O为圆心画圆弧，交OB于点D，交OA于点E，以D为圆心，大于长度为半径用圆规画圆弧，接着以E为圆心，同样长度为半径用圆规画圆弧，最后两圆弧交于P点。连接顶点O和P，OP即为的平分线．
【小问2详解】
解：∵OP平分，
∴，
而，
∴，，
即，
∴与互余的角有、．
【小问3详解】
解：∴，OP平分，
∴，
∴，，
∴与互补的角有、．
【点睛】本题考查尺规作图之角平分线的作法，余角和补角的定义，熟练掌握尺规作图的基本方法和原理是解题的关键．
25. 某商店将某种服装按成本价加价30%作为标价，又以标价的8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利24元．问这种服装的成本价是多少元？
【答案】这种服装的成本价是元．
【解析】
【分析】设成本x元，加价后（1+30%）x元，优惠后80%×（1+30%）x元，根据利润列方程求解即可；
【详解】解：设这种服装的成本价是元，由题意得：
80%×（1+30%）x-x=24，
（0.8×1.3-1）x=24，
0.04x=24，
x=600 ，
∴这种服装的成本价是600元；
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准题中的等量关系列方程是解题关键．
26. 已知一个角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程在几何问题中应用，设这个角的度数为，则它的补角为，余角为，列方程即可求解．
【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为，
∴，
解得：
∴这个角的度数为
27. 某学校组织340名师生进行长途考察活动，参加活动的每位老师均携带了一件行李，参加活动的所有学生中有的学生携带了行李（携带行李的学生每人携带一件），老师学生共带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆，经了解，甲种车每辆最多能载40人和16件行李，乙种车每辆最多能载30人和20件行李．
（1）请问参加活动的老师和学生各有多少人？
（2）请你帮助学校列出所有可行的租车方案．
【答案】（1）参加活动的老师136人，学生204人；
（2）有四种租车方案：方案一：甲车4辆，乙车6辆；方案二：甲车5辆，乙车5辆；方案三：甲车6辆，乙车4辆；方案四：甲车7辆，乙车3辆．
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据题意的两个不等关系得出不等式组．
（1）设参加活动的老师人，学生人，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设租用甲车辆，则乙车辆，根据题意列出一元一次不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：设参加活动的老师人，学生人，
由题意得
解得
答：参加活动的老师136人，学生204人．
【小问2详解】
解：设租用甲车辆，则乙车辆，
解得
所以有四种租车方案：
方案一：甲车4辆，乙车6辆；
方案二：甲车5辆，乙车5辆；
方案三：甲车6辆，乙车4辆；
方案四：甲车7辆，乙车3辆．
28. 如图，已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点．
（1）若，则__________；
（2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由．
【答案】（1）17； （2）的长度不变，．
【解析】
【分析】本题考查了两点间距离，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活应用中点的性质解题是关键．
（1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，，进而求解即可；
（2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∴；
【小问2详解】
的长度不变，
理由：∵，，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴ ．
五．附加题（第29、30题6分，第31题8分，满分20分）
29. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数混合运算，解题的关键是利用，把题目变形，从而可以简化计算过程．
由每个式子得出利用这个等式把题目可以变为即可计算求解．
【详解】观察
式子发现
，
，
原式
30. 如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角．
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有___________个角．
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成____________个角．（用含n的式子表示）
【答案】（1）15； （2）
【解析】
【分析】本题考查了角的概念，列代数式，规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
（1）依次列出即可从数字找规律即可解答；
（2）利用第（1）找到的规律即可解答；
【小问1详解】
从点O引出3条射线共形成3个角，，
从点O引出4条射线共形成6个角，，
从点O引出5条射线共形成10个角，，
从点O引出6条射线共形成的角的个数有：，
故答案为：15；
【小问2详解】
由（1）得：从点O引出n条射线共形成的角的个数为：
故答案为．
31. 如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，．
（1）直接写出点B表示的数_____________；
（2）已知点P在数轴上，若，直接写出点P所表示的数．
【答案】（1）1； （2），．
【解析】
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，分类讨论是正确解答本题的关键．
（1）根据数轴上两点之间距离求解即可；
（2）设点表示的数为，首先根据得到，然后分，和三种情况讨论，然后化简绝对值，解方程即可．
【小问1详解】
∵在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，
∴点B表示的数为；
【小问2详解】
设点表示的数为，
，
当时，即，
解得，不在范围内，
当时，即
，
解得
当时，即，
解得
∴点表示的数为、．
一、选择题（本大题共有6题，每题3分，满分18分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数的定义解答即可求解．
【详解】的倒数是
故答案为B．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 分数都是有理数B. 是负数
C. 有理数不是正数就是负数D. 绝对值等于本身的数是正数
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的意义，有理数的分类，绝对值的性质，逐一分析判断可得答案．
此题考查了有理数．熟练掌握有理数的分类方法及所包含的数的特点，是解决问题的关键．
【详解】分数都是有理数，故A正确；
当时，则，故B错误；
有理数可分成正数、负数和零，故C错误；
绝对值等于本身的数是非负数，故D错误；
故选：A
3. 如果，那么下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．理解和掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：A、如果，那么，结论正确，故此项不符合题意；
B、如果，那么，结论正确，故此项不符合题意；
C、如果，那么，结论正确，故此项不符合题意；
D、如果，那么不一定大于，结论错误，故此项不符合题意．
故选：D．
4. 下列方程中，二元一次方程是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
根据二元一次方程的定义可得答案．
【详解】解：A．不是等式，故不属于二元一次方程，不符合题意；
B．含有2个未知数，未知数项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意
C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；
D．含有3个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．
故选：C．
5. 如图所示，观察点A和点B的位置关系，则点A位于点B（ ）方向．
A. 南偏东B. 南偏东C. 北偏西D. 北偏西
【答案】D
【解析】
【分析】根据方向角即可求出答案．
【详解】解：由题意得AC∥BD，
∴∠CAB=∠ABD=39°，
∴点A在点B北偏西39°方向．
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角，属于基础题型．
6. 若，且，则（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是代数式求值、绝对值的意义，根据题意求得，或，是解题的关键．由可知a、b同号，从而得到，或，，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，或，．
当，时，；
当，时，．
故选：C．
二．填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分）
7. ﹣6的绝对值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【详解】解：∵﹣6＜0，
∴|﹣6|=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查求绝对值，熟记绝对值的定义是解题关键．
8. 计算：（－2）3＋|－6|＝____.
【答案】－2
【解析】
【详解】（－2）3＋|－6|＝-8+6=-2，
故答案为-2.
9. 用科学记数法表示____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】．
故答案为：．
10. 比较大小：____________（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解：，，
因为，
所以．
故答案为：．
11. 已知是关于的方程的解，那么的值等于____________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了方程的解，直接将代入方程计算即可得出答案．
【详解】将代入方程，得
故答案为：．
12. 一张试卷共25道题，做对一道题得4分，做错或不做倒扣1分．小斐做完试卷得70分，则她做对了几道题？如果设她做对了x道，那么可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设她做对x道题，根据“做对一道题得4分，做错或不做倒扣1分，小红做完试卷得分不少于70分”列出不等式即可．
【详解】解：设她做对了x道题目，则她做错或不做了道题目，根据题意可得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，找准不等关系列出不等式是解题的关键是．
13. 当的值不大于的值时，所列出不等式的解集为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的应用及求不等式的解集，根据题意列出不等式，并解不等式即可，熟练掌握求解不等式方法是解题关键．
【详解】根据题意可得，
解得．
故答案为：．
14. 已知二元一次方程，用含的代数式示，则________．
【答案】
【解析】
【分析】把看做已知数表示出即可．
【详解】解：
方程，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数表示出．
15. 已知，则的补角的大小为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了补角的性质，熟练掌握互为补角的两个角的和等于是解题的关键．根据补角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的补角为：．
故答案为：．
16. 若一个角是其补角的，则这个角的度数为____________．
【答案】##36度
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程应用及补角的概念，设这个角的补角为，则这个角为，根据补角的概念列方程求解即可得出答案．
【详解】解：设这个角的补角为，则这个角为
，
故答案为．
17. 如图，已知是直角，，OE平分，OF平分，那么______．
【答案】45
【解析】
【分析】先计算出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义得到∠FOC，∠EOC度数，然后求它们的差即可．
【详解】解∵∠AOB是直角，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC∠AOC=75°，∠FOC∠BOC=30°，
∴∠EOF=∠EOC﹣∠FOC=45°．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
18. 如图，线段，点P是线段上一点，且，Q是线段上一点，且，则的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查线段的n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合思想是解题的关键．由题意求得，．根据线段的和与差，计算出的长，作比即可．
【详解】，，，
，，
如图所示，
，，，
，即，
∴，
．
故答案为：．
三．解答题（本大题共有5题，每题5分，满分25分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程，方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【详解】，
去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
系数化为1得，．
21. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析．
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出每个不等式的解集，再把解集表示在数轴，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
表示在数轴上如图：
∴不等式组的解集为：．
22. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组利用加减消元法求解即可；利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
【详解】
得
解得
把代入②得
解得
∴原方程组的解为．
23 解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，即消元法，是解答本题的关键．
①②得④，②③得⑤，④⑤得，把代入④得，把、代入③得，由此得到答案．
【详解】解：根据题意：
由①②得④，
由②③得⑤，
④⑤得，
得，
把代入④得，
得，
把、代入③得，
得，
原方程组的解为．
四．解答题（本大题共有5题，第24题7分、第25、26题每题5分，第27、28题每题8分，满分33分）
24. 如图，已知，，OP是的平分线．
（1）用圆规和直尺作出的平分线OP（不写作法，但保留作图痕迹）．
（2）在画出的图中找出能与互余的角是______．
（3）在画出的图中找出能与互补的角是______．
【答案】（1）见解析 （2）、
（3）、
【解析】
【分析】（1）以任意长度为半径，顶点O为圆心画圆弧，交OB于点D，交OA于点E，以D为圆心，大于长度为半径画圆弧，接着以E为圆心，同样长度为半径画圆弧，两圆弧交于P点，连接顶点O和P，OP即为的平分线；
（2）利用余角的定义求解；
（3）利用补角的定义求解．
【小问1详解】
解：如图，以任意长度为半径，顶点O为圆心画圆弧，交OB于点D，交OA于点E，以D为圆心，大于长度为半径用圆规画圆弧，接着以E为圆心，同样长度为半径用圆规画圆弧，最后两圆弧交于P点。连接顶点O和P，OP即为的平分线．
【小问2详解】
解：∵OP平分，
∴，
而，
∴，，
即，
∴与互余的角有、．
【小问3详解】
解：∴，OP平分，
∴，
∴，，
∴与互补的角有、．
【点睛】本题考查尺规作图之角平分线的作法，余角和补角的定义，熟练掌握尺规作图的基本方法和原理是解题的关键．
25. 某商店将某种服装按成本价加价30%作为标价，又以标价的8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利24元．问这种服装的成本价是多少元？
【答案】这种服装的成本价是元．
【解析】
【分析】设成本x元，加价后（1+30%）x元，优惠后80%×（1+30%）x元，根据利润列方程求解即可；
【详解】解：设这种服装的成本价是元，由题意得：
80%×（1+30%）x-x=24，
（0.8×1.3-1）x=24，
0.04x=24，
x=600 ，
∴这种服装的成本价是600元；
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准题中的等量关系列方程是解题关键．
26. 已知一个角的补角比它的余角的3倍大，求这个角的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程在几何问题中应用，设这个角的度数为，则它的补角为，余角为，列方程即可求解．
【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为，
∴，
解得：
∴这个角的度数为
27. 某学校组织340名师生进行长途考察活动，参加活动的每位老师均携带了一件行李，参加活动的所有学生中有的学生携带了行李（携带行李的学生每人携带一件），老师学生共带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆，经了解，甲种车每辆最多能载40人和16件行李，乙种车每辆最多能载30人和20件行李．
（1）请问参加活动的老师和学生各有多少人？
（2）请你帮助学校列出所有可行的租车方案．
【答案】（1）参加活动的老师136人，学生204人；
（2）有四种租车方案：方案一：甲车4辆，乙车6辆；方案二：甲车5辆，乙车5辆；方案三：甲车6辆，乙车4辆；方案四：甲车7辆，乙车3辆．
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据题意的两个不等关系得出不等式组．
（1）设参加活动的老师人，学生人，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设租用甲车辆，则乙车辆，根据题意列出一元一次不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：设参加活动的老师人，学生人，
由题意得
解得
答：参加活动的老师136人，学生204人．
【小问2详解】
解：设租用甲车辆，则乙车辆，
解得
所以有四种租车方案：
方案一：甲车4辆，乙车6辆；
方案二：甲车5辆，乙车5辆；
方案三：甲车6辆，乙车4辆；
方案四：甲车7辆，乙车3辆．
28. 如图，已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点．
（1）若，则__________；
（2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由．
【答案】（1）17； （2）的长度不变，．
【解析】
【分析】本题考查了两点间距离，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活应用中点的性质解题是关键．
（1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，，进而求解即可；
（2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∴；
【小问2详解】
的长度不变，
理由：∵，，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴ ．
五．附加题（第29、30题6分，第31题8分，满分20分）
29. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数混合运算，解题的关键是利用，把题目变形，从而可以简化计算过程．
由每个式子得出利用这个等式把题目可以变为即可计算求解．
【详解】观察
式子发现
，
，
原式
30. 如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角．
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有___________个角．
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成____________个角．（用含n的式子表示）
【答案】（1）15； （2）
【解析】
【分析】本题考查了角的概念，列代数式，规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
（1）依次列出即可从数字找规律即可解答；
（2）利用第（1）找到的规律即可解答；
【小问1详解】
从点O引出3条射线共形成3个角，，
从点O引出4条射线共形成6个角，，
从点O引出5条射线共形成10个角，，
从点O引出6条射线共形成的角的个数有：，
故答案为：15；
【小问2详解】
由（1）得：从点O引出n条射线共形成的角的个数为：
故答案为．
31. 如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，．
（1）直接写出点B表示的数_____________；
（2）已知点P在数轴上，若，直接写出点P所表示的数．
【答案】（1）1； （2），．
【解析】
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，分类讨论是正确解答本题的关键．
（1）根据数轴上两点之间距离求解即可；
（2）设点表示的数为，首先根据得到，然后分，和三种情况讨论，然后化简绝对值，解方程即可．
【小问1详解】
∵在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，
∴点B表示的数为；
【小问2详解】
设点表示的数为，
，
当时，即，
解得，不在范围内，
当时，即
，
解得
当时，即，
解得
∴点表示的数为、．
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