第一章空间向量与立体几何知识点汇总—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

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高二上学期数学知识点汇总（共四章） 第一章 空间向量与立体几何一、空间向量的有关概念1．空间向量(1)定义：在空间，我们把具有 的量叫做空间向量．(2)长度：空间向量的 叫做空间向量的长度或模．2．空间向量的表示(1)字母表示法：用字母a，b，c，…，表示．(2)几何表示法：用有向线段表示，其长度表示空间向量的模．即若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 ，其模记为|a|或|eq \o(AB,\s\up7(―→))|.3．几类特殊向量二、空间向量的线性运算及其运算律三、空间向量共线、共面的充要条件1．空间向量共线的充要条件(1)共线向量基本定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .(2)三点共线：A、B、C三点共线⇔ A、B、C三点共线⇔ (其中x+y=1)2．直线的方向向量(1)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上的任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq \o(OP,\s\up7(―→))＝λa，把 的 向量称为直线l的方向向量．(2)直线可以由其上一点和它的 确定．3．空间向量共面的充要条件(1)共面向量：平行于 的向量，叫做共面向量．(2)空间向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)四点共面：若A、B、C、P四点共面⇔ 若A、B、C、P四点共面⇔ （其中x+y+z=1）四、空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角2.空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝ ．[微提醒]　零向量与任意向量的数量积为0.(2)由数量积的定义，可以得到：a⊥b⇔ ；a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.3．投影向量(1)在空间，向量a向向量b投影：如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝ =|a|cos〈a，b〉·eq \f(b,|b|)，称向量c为向量a在向量b上的投影向量．(2)向量a在直线l上的投影如图(2)．(3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq \o(A′B′,\s\up7(――→))，向量eq \o(A′B′,\s\up7(――→)) 称为向量a在平面β上的投影向量．4．空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)a·b＝b·a(交换律)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．五、空间向量基本定理1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 .其中，把{a, b, c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做 ，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．2．单位正交基底与正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫 ，常用 表示. (2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行 ．六、空间向量及其运算的坐标表示1．空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做 ．这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系的定义在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴 ，食指指向 ，中指指向 ．则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示．3．空间直角坐标系中的坐标(1)空间直角坐标系中点的坐标：在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq \o(OA,\s\up7(―→))对应的 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的 ，y叫做点A的 ，z叫做点A的 ．(2)空间直角坐标系中向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \o(OA,\s\up7(―→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 .有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作 ．4．落在坐标轴和坐标平面上的点的特点、在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：(1)关于坐标原点的对称点为P1 ；(2)关于横轴(x轴)的对称点为P2 ；(3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3 ；(4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4 ；(5)关于xOy坐标平面的对称点为P5 ；(6)关于yOz坐标平面的对称点为P6 ；(7)关于zOx坐标平面的对称点为P7 ．七、空间向量的运算坐标表示1.空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝ ,a－b＝ ；λa＝ ,a·b＝ .2.空间向量的平行、垂直及模、夹角设a=(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔ ；a⊥b⇔a·b＝0⇔ ；|a|＝eq \r(a·a)＝ ； cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ .3．空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设P1(a1，b1，c1)，P2(a2，b2，c2)，则P1，P2两点间的距离P1P2＝|eq \o(P1P2,\s\up7(―→))|＝ .八、空间中点、直线和平面的向量表示1．点的位置向量在空间中，我们取一定点O作为 ，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \o(OP,\s\up7(―→))来表示，向量eq \o(OP,\s\up7(―→))称为点P的 .2．空间直线的向量表示式取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \o(OP,\s\up7(―→))＝ ，　①取eq \o(AB,\s\up7(―→))＝a，代入①式，得eq \o(OP,\s\up7(―→))＝ ，　②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．3．平面的向量表示式取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq \o(OP,\s\up7(―→))＝ ，把上式称为空间平面ABC的向量表示式．4．平面的法向量如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的 ．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．九、空间中直线、平面的平行直线与直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔ ⇔∃λ∈R，使得 .(l1、l2没有公共点)直线与平面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则l∥α⇔ ⇔ .（l¢α）平面与平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔ ⇔∃λ∈R，使得 .(α，β没有公共点)十、空间中直线、平面的垂直1．直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔ ⇔ . 2．直线与平面垂直 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R，使得 .3.平面与平面垂直 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔ ⇔ .十一、用空间向量研究距离、夹角问题1.空间距离的向量求法2．异面直线所成的角θ 若异面直线l1, l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|= .3.直线与平面所成的角θ4.平面与平面所成的角θ特殊向量定义零向量长度为 的向量叫做零向量，记为 单位向量模为 的向量叫做单位向量相反向量与a长度 而方向 的向量叫做a的相反向量，记为－a共线向量或平行向量若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量规定：零向量与任意向量平行．即对任意向量a，都有0∥a相等向量方向 且模 的向量空间向量的线性运算加法a＋b＝eq \o(OA,\s\up7(―→))＋eq \o(AB,\s\up7(―→))＝ 减法a－b＝eq \o(OA,\s\up7(―→))－eq \o(OC,\s\up7(―→))＝ 数乘运算当λ>0时，λa＝λeq \o(OA,\s\up7(―→))＝eq \o(PQ,\s\up7(―→)) 当λ