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专题24 解析几何解答题（理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）
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这是一份专题24 解析几何解答题（理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用），文件包含专题24解析几何解答题理科原卷版docx、专题24解析几何解答题理科解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共170页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140738152" 题型一：曲线和方程 PAGEREF _Tc140738152 \h 1
\l "_Tc140738153" 题型二：直线与圆的方程 PAGEREF _Tc140738153 \h 3
\l "_Tc140738154" 题型三： 椭圆的定义及性质 PAGEREF _Tc140738154 \h 5
\l "_Tc140738155" 题型四：直线与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc140738155 \h 7
\l "_Tc140738156" 题型五：双曲线的定义及性质 PAGEREF _Tc140738156 \h 12
\l "_Tc140738157" 题型六：直线与双曲线的位置关系 PAGEREF _Tc140738157 \h 13
\l "_Tc140738158" 题型七：抛物线的定义及性质 PAGEREF _Tc140738158 \h 15
\l "_Tc140738159" 题型八：直线与抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc140738159 \h 17
\l "_Tc140738160" 题型九：圆锥曲线中的证明问题 PAGEREF _Tc140738160 \h 20
\l "_Tc140738161" 题型十：圆锥曲线中的最值问题 PAGEREF _Tc140738161 \h 22
\l "_Tc140738162" 题型十一：圆锥曲线中的综合问题 PAGEREF _Tc140738162 \h 25
题型一：曲线和方程
1.(2018年高考数学江苏卷·第18题)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
(1)求椭圆C及圆O的方程；
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
2.(2017年高考数学江苏文理科·第17题)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8．点在椭圆上,且位于第一象限,过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线．
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标．
F1
O
F2
x
y
(第17题)
3.(2016高考数学浙江理科·第19题)(本题满分15分)如图，设椭圆．
(Ⅰ)求直线被椭圆截得的线段长(用表示)；
(Ⅱ)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
4.(2014高考数学广东理科·第20题)已知椭圆的一个焦点为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．
5.(2017年高考数学上海(文理科)·第20题)(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分7分)
在平面直角坐标系y中,已知椭圆,为的上顶点,为上异于上、下顶点的动点,为正半轴上的动点．
(1)若在第一象限,且,求的坐标;
(2)设,若以、、为顶点的三角形是直角三角形,求的横坐标;
(3)若,直线与交于另一点,且,,求直线的方程．
题型二：直线与圆的方程
1．(2015高考数学福建理科·第18题)已知椭圆E：过点，且离心率为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
2.(2014高考数学江苏·第18题)如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m． 经测量，点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处(为河岸)，．
(1)求新桥的长；
(2)当多长时，圆形保护区的面积最大？
170 m
60 m
东
北
O
A
B
M
C
（第18题）
3．(2015高考数学广东理科·第20题)(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B．
(1)求圆的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
4.(2016高考数学江苏文理科·第18题)如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点．
(1)设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
(2)设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
(3)设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．
5.(2014高考数学北京理科·第19题)已知椭圆
(1)求椭圆C的离心率e．
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论。
题型三： 椭圆的定义及性质
1.(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第21题)已知椭圆C：过点M(2，3),点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
2.(2020江苏高考·第18题)在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
(1)求的周长；
(2)在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
(3)设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标．
3.(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第20题)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
(1)求的方程；
(2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
4．(2014高考数学江苏·第17题)如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．
(1)若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；
(2)若求椭圆离心率的值．
F1
F2
O
x
y
B
C
A
(第17题)
5.(2015高考数学重庆理科·第21题)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分)
如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且
(1)若，求椭圆的标准方程;
(2)若求椭圆的离心率．
6.(2015高考数学四川理科·第20题)如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．
(Ⅰ)球椭圆的方程；
(Ⅱ)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7.(2015高考数学陕西理科·第20题)(本小题满分12分)已知椭圆()的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程．
8.(2015高考数学安徽理科·第20题)(本小题满分13分)设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为．
(Ⅰ)求E的离心率e；
(Ⅱ)设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
题型四：直线与椭圆的位置关系
全国卷设置
一、解答题
1．(2023年北京卷·第19题)已知椭圆离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
2.(2023年天津卷·第18题)设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
3.(2022高考北京卷·第19题)已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
4.(2022年浙江省高考数学试题·第21题)如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
5.(2021高考北京·第20题)已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
6.(2020天津高考·第18题)已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)已知点满足，点在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
7.(2019·上海·第20题)已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.
(1)若AB垂直于轴时，求；
(2)当时，在轴上方时，求的坐标；
(3)若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
8.(2018年高考数学天津(理)·第19题)(本小题满分14分)设椭圆的左焦点为，上顶点为，已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且．(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆在第一象限内的交点为，且与直线交于点，
若(为原点)，求的值．
9.(2014高考数学重庆理科·第21题)如题(21)图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，， 的面积为．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．．
10.(2014高考数学浙江理科·第21题)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．
(1)已知直线的斜率为，用表示点的坐标；
(2)若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为
11.(2014高考数学天津理科·第18题)设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为．已知．
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切．求直线的斜率．
12．(2014高考数学四川理科·第20题)已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点．
证明：平分线段(其中为坐标原点)；当最小时，求点的坐标．
13.(2014高考数学课标2理科·第20题)(本小题满分12分)
设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
14．(2015高考数学新课标2理科·第20题)(本题满分12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(Ⅱ)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
15.(2015高考数学天津理科·第19题)(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，．
(Ⅰ)求直线的斜率；
(Ⅱ)求椭圆的方程；
(Ⅲ)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线(为原点)的斜率的取值范围．
16.(2015高考数学上海理科·第21题)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和，记得到的平行四边形的面积为．
(1)设，．用坐标表示点到直线的距离，并证明；(2)设与的斜率之积为，求面积的值．
17．(2015高考数学北京理科·第19题)(本小题14分)已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
(Ⅰ)求椭圆的方程，并求点的坐标(用，表示)；
(Ⅱ)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
18.(2015高考数学江苏文理·第18题)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，，若，求直线的方程．
?
B
A
O
x
y
l
P
C
19.(2016高考数学天津理科·第19题)设椭圆的右焦点为，右顶点为．已知，其中为原点，为椭圆的离心率．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上)，垂直于的直线与交于点，与轴交于点．若，且，求直线的斜率的取值范围．
20.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第20题)(本小题满分12分)已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于两点，点N在E上，．
( = 1 \* ROMAN I)当，时，求的面积；
( = 2 \* ROMAN II)当时，求k的取值范围．
21.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第20题)(本小题满分12分)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．
(I)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
( = 2 \* ROMAN II)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．
题型五：双曲线的定义及性质
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第21题)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上．
2.(2022新高考全国II卷·第21题)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
3.(2014高考数学江西理科·第21题)如图,已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,∥(为坐标原点)．
(1)求双曲线的方程;
(2)过上一点的直线与直线相交于点,与直线相交于点,证明点在上移动时,恒为定值,并求此定值．
题型六：直线与双曲线的位置关系
1．(2021年新高考Ⅰ卷·第21题)在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设点在直线上，过两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
2.(2022新高考全国I卷·第21题)已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l斜率；
(2)若，求的面积．
3.(本小题满分14分)如图，双曲线的离心率为．分别为左、右焦点，为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．
(Ⅰ)求双曲线的方程；
(Ⅱ)设和是轴上的两点，过点作斜率不为0的直线，使得交双曲线于两点，作直线交双曲线于另一点．证明直线DE垂直于轴。
4.(2014高考数学辽宁理科·第20题)(本小题满分12分)
圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线过点P且离心率为．
(1)求的方程；
(2)椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程．
5.(2014高考数学福建理科·第19题)(本小题满分13分)
已知双曲线：的两条渐近线分别为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点(分别在第一，四象限)，且的面积恒为，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由．
6.(2016高考数学上海理科·第21题)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．[来]
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．
(1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设，若的斜率存在，且，求的斜率．
题型七：抛物线的定义及性质
1.(2023年全国甲卷理科·第20题)已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
2.(2021年高考浙江卷·第21题)如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围．
3.(2014高考数学湖北理科·第21题)在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为．
(Ⅰ)求轨迹为的方程；
(Ⅱ)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、
三个公共点时的相应取值范围．
4.(2014高考数学安徽理科·第19题)如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线，与分别交于两点，与分别交于两点．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)过作直线(异于)与，分别交于两点，记与的面积分别为，求的值．
5.(2015高考数学新课标1理科·第20题)(本小题满分12分)
在直角坐标系中，曲线：与直线(＞0)交与两点，
(Ⅰ)当时，分别求在点和处的切线方程；
(Ⅱ)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由。
6.(2017年高考数学浙江文理科·第21题)如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点
．过点B作直线AP的垂线,垂足为．
(Ⅰ)求直线斜率的取值范围;
(Ⅱ)求的最大值．
7.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题)已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线,分别交于,两点,交的准线于,两点.
(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明∥;
(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.
8.(2016高考数学江苏文理科·第25题)如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．
(1)若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
(2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．
= 1 \* GB3 ①求证：线段上的中点坐标为；
= 2 \* GB3 ②求的取值范围．
题型八：直线与抛物线的位置关系
1.(2021年高考全国乙卷理科·第21题)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
2.(2021年高考全国甲卷理科·第20题)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
3.(2020年浙江省高考数学试卷·第21题)如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M(B，M不同于A)．
(Ⅰ)若，求抛物线的焦点坐标；
(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
4.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第20题)设抛物线焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
5.(2019·浙江·第21题)如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧，记，的面积分别为，．
(Ⅰ)求的值及抛物线的准线方程；
(Ⅱ)求的最小值及此时点的坐标．
6.(2019·全国Ⅲ·理·第21题)已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)证明：直线AB过定点：
(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
7.(2019·全国Ⅰ·理·第19题)已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
(1)若，求的方程；
(2)若，求．
8.(2019·北京·理·第18题)已知抛物线C：x2=−2py经过点(2，−1)．
(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程；
(Ⅱ)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
9.(2018年高考数学浙江卷·第21题)(本题满分15分)如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上．
(I)设中点为，证明：垂直于轴；
(II)若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．
10.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第19题)(12分)
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
(1)求的方程；
(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．
11.(2017年高考数学北京理科·第18题)已知抛物线 过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点,过点作轴的垂线分别与直线交于点,其中为原点．
(Ⅰ)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)求证:为线段的中点．
12.(2018年高考数学北京(理)·第19题)(本小题14分)已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
(Ⅰ)求直线的斜率的取值范围；
(Ⅱ)设为原点，，，求证：为定值．
题型九：圆锥曲线中的证明问题
1.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第20题)已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
2.(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第20题)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E方程；
(2)证明：直线CD过定点．
3.(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第22题)已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程：
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
4.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第20题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
5.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第20题)已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()．
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
6.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第19题)(12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
(1)当与轴垂直时，求直线的方程；
(2)设为坐标原点，证明：．
7.(2015高考数学湖南理科·第22题)已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向．
(ⅰ)若，求直线的斜率；
(ⅱ)设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形．
8.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第20题)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上．
(1)求的方程;
(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点．
9.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第20题)(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为 ，点 满足．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 在直线 上，且．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点．
10.(2016高考数学四川理科·第20题)已知椭圆()的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 与椭圆由且只有一个公共点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，的直线平行椭圆交于不同的两点，且与直线交于，证明：存在常数，使得，并求的值．
11.(2016高考数学北京理科·第19题)(本小题14分)已知椭圆的离心率为 ，的面积为1．
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证： 为定值．
题型十：圆锥曲线中的最值问题
1.(2015高考数学浙江理科·第19题)(本题满分15分)已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．
(1)求实数的取值范围；
(2)求面积的最大值(为坐标原点)．
2.(2014高考数学课标1理科·第20题)已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点．
(1)求的方程;
(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程．
3.(2015高考数学山东理科·第20题)平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以 QUOTE 为圆心以3为半径的圆与以 QUOTE 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设椭圆， QUOTE 为椭圆 QUOTE 上任意一点，过点的直线交椭圆 于两点，射线 QUOTE 交椭圆于点．
(i)求 QUOTE 的值；
(Ⅱ)求面积的最大值．
4.(2015高考数学湖北理科·第21题)(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
(Ⅰ)求曲线的方程；
(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
5.(2017年高考数学山东理科·第21题)在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,焦距为．
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,的半径为,是的两条切线,切点分别为．求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率．
6.(2016高考数学山东理科·第21题)(本小题满分14分)平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点．
( = 1 \* ROMAN I)求椭圆的方程；
( = 2 \* ROMAN II)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，，线段 的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．
( = 1 \* rman i)求证：点在定直线上;
( = 2 \* rman ii)直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标．
题型十一：圆锥曲线中的综合问题
1.(2023年新课标全国Ⅰ卷·第22题)在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
．
2.(2014高考数学湖南理科·第21题)如图 ，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．已知，且．
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)过作的不垂直于轴的弦的中点．当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值．
3.(2018年高考数学上海·第20题)(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线
：，与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点．
(1)用表示点到点的距离；
(2)设，，线段的中点在直线上，求的面积；
(3)设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
4.(2014高考数学陕西理科·第22题)如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．
(1)求的值；
(2)过点的直线与分别交于(均异于点)，若，求直线的方程．
5.(2014高考数学山东理科·第21题)已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有．当点的横坐标为3时，为正三角形．
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)若直线，且和有且只有一个公共点，
(ⅰ)证明直线过定点，并求出定点坐标；
(ⅱ)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
6.(2017年高考数学天津理科·第19题)设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为．已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为．
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点．若的面积为,求直线的方程．
7.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题)(12分)已知抛物线，过点的直线交与两点，圆是以线段为直径的圆．
(1)证明：坐标原点在圆上；
(2)设圆过点，求直线与圆的方程．
8.(2016高考数学上海理科·第20题)(本题满分14)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图．
(1)求菜地内的分界线的方程
(2)菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为．设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”．
9.(2023年全国乙卷理科·第20题)已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
10.(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第19题)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
11.(2019·天津·理·第18题)设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若(为原点)，且，求直线的斜率．
12.(2019·全国Ⅱ·理·第21题)已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
证明：是直角三角形；
求面积的最大值．
13.(2019·江苏·第17题)如图，在平面直角坐标系中，椭圆:的焦点为，．过作轴的垂线，在轴的上方，与圆:交于点，与椭圆交于点.连结并延长交圆于点，连结交椭圆于点，连结．
已知．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求点的坐标．
14.(2014高考数学上海理科·第22题)在平面直角坐标系中，对于直线：和点，记．若，则称点被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
(1)求证：点被直线分隔；
(2)若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为，求证：
15.(2014高考数学大纲理科·第21题)已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且．
(1)求的方程；
(2)过的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相较于两点，且四点在同一圆上，求的方程．
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140738152" 题型一：曲线和方程 PAGEREF _Tc140738152 \h 1
\l "_Tc140738153" 题型二：直线与圆的方程 PAGEREF _Tc140738153 \h 3
\l "_Tc140738154" 题型三： 椭圆的定义及性质 PAGEREF _Tc140738154 \h 5
\l "_Tc140738155" 题型四：直线与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc140738155 \h 7
\l "_Tc140738156" 题型五：双曲线的定义及性质 PAGEREF _Tc140738156 \h 12
\l "_Tc140738157" 题型六：直线与双曲线的位置关系 PAGEREF _Tc140738157 \h 13
\l "_Tc140738158" 题型七：抛物线的定义及性质 PAGEREF _Tc140738158 \h 15
\l "_Tc140738159" 题型八：直线与抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc140738159 \h 17
\l "_Tc140738160" 题型九：圆锥曲线中的证明问题 PAGEREF _Tc140738160 \h 20
\l "_Tc140738161" 题型十：圆锥曲线中的最值问题 PAGEREF _Tc140738161 \h 22
\l "_Tc140738162" 题型十一：圆锥曲线中的综合问题 PAGEREF _Tc140738162 \h 25
题型一：曲线和方程
1.(2018年高考数学江苏卷·第18题)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
(1)求椭圆C及圆O的方程；
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
2.(2017年高考数学江苏文理科·第17题)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8．点在椭圆上,且位于第一象限,过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线．
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标．
F1
O
F2
x
y
(第17题)
3.(2016高考数学浙江理科·第19题)(本题满分15分)如图，设椭圆．
(Ⅰ)求直线被椭圆截得的线段长(用表示)；
(Ⅱ)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
4.(2014高考数学广东理科·第20题)已知椭圆的一个焦点为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．
5.(2017年高考数学上海(文理科)·第20题)(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分7分)
在平面直角坐标系y中,已知椭圆,为的上顶点,为上异于上、下顶点的动点,为正半轴上的动点．
(1)若在第一象限,且,求的坐标;
(2)设,若以、、为顶点的三角形是直角三角形,求的横坐标;
(3)若,直线与交于另一点,且,,求直线的方程．
题型二：直线与圆的方程
1．(2015高考数学福建理科·第18题)已知椭圆E：过点，且离心率为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
2.(2014高考数学江苏·第18题)如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m． 经测量，点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处(为河岸)，．
(1)求新桥的长；
(2)当多长时，圆形保护区的面积最大？
170 m
60 m
东
北
O
A
B
M
C
（第18题）
3．(2015高考数学广东理科·第20题)(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B．
(1)求圆的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
4.(2016高考数学江苏文理科·第18题)如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点．
(1)设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
(2)设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
(3)设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．
5.(2014高考数学北京理科·第19题)已知椭圆
(1)求椭圆C的离心率e．
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论。
题型三： 椭圆的定义及性质
1.(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第21题)已知椭圆C：过点M(2，3),点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
2.(2020江苏高考·第18题)在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
(1)求的周长；
(2)在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
(3)设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标．
3.(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第20题)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
(1)求的方程；
(2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
4．(2014高考数学江苏·第17题)如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．
(1)若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；
(2)若求椭圆离心率的值．
F1
F2
O
x
y
B
C
A
(第17题)
5.(2015高考数学重庆理科·第21题)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分)
如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且
(1)若，求椭圆的标准方程;
(2)若求椭圆的离心率．
6.(2015高考数学四川理科·第20题)如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．
(Ⅰ)球椭圆的方程；
(Ⅱ)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7.(2015高考数学陕西理科·第20题)(本小题满分12分)已知椭圆()的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程．
8.(2015高考数学安徽理科·第20题)(本小题满分13分)设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为．
(Ⅰ)求E的离心率e；
(Ⅱ)设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
题型四：直线与椭圆的位置关系
全国卷设置
一、解答题
1．(2023年北京卷·第19题)已知椭圆离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
2.(2023年天津卷·第18题)设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
3.(2022高考北京卷·第19题)已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
4.(2022年浙江省高考数学试题·第21题)如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值．
5.(2021高考北京·第20题)已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
6.(2020天津高考·第18题)已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)已知点满足，点在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
7.(2019·上海·第20题)已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.
(1)若AB垂直于轴时，求；
(2)当时，在轴上方时，求的坐标；
(3)若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
8.(2018年高考数学天津(理)·第19题)(本小题满分14分)设椭圆的左焦点为，上顶点为，已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且．(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆在第一象限内的交点为，且与直线交于点，
若(为原点)，求的值．
9.(2014高考数学重庆理科·第21题)如题(21)图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，， 的面积为．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．．
10.(2014高考数学浙江理科·第21题)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．
(1)已知直线的斜率为，用表示点的坐标；
(2)若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为
11.(2014高考数学天津理科·第18题)设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为．已知．
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切．求直线的斜率．
12．(2014高考数学四川理科·第20题)已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点．
证明：平分线段(其中为坐标原点)；当最小时，求点的坐标．
13.(2014高考数学课标2理科·第20题)(本小题满分12分)
设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
14．(2015高考数学新课标2理科·第20题)(本题满分12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(Ⅱ)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
15.(2015高考数学天津理科·第19题)(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，．
(Ⅰ)求直线的斜率；
(Ⅱ)求椭圆的方程；
(Ⅲ)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线(为原点)的斜率的取值范围．
16.(2015高考数学上海理科·第21题)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和，记得到的平行四边形的面积为．
(1)设，．用坐标表示点到直线的距离，并证明；(2)设与的斜率之积为，求面积的值．
17．(2015高考数学北京理科·第19题)(本小题14分)已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
(Ⅰ)求椭圆的方程，并求点的坐标(用，表示)；
(Ⅱ)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
18.(2015高考数学江苏文理·第18题)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，，若，求直线的方程．
?
B
A
O
x
y
l
P
C
19.(2016高考数学天津理科·第19题)设椭圆的右焦点为，右顶点为．已知，其中为原点，为椭圆的离心率．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上)，垂直于的直线与交于点，与轴交于点．若，且，求直线的斜率的取值范围．
20.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第20题)(本小题满分12分)已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于两点，点N在E上，．
( = 1 \* ROMAN I)当，时，求的面积；
( = 2 \* ROMAN II)当时，求k的取值范围．
21.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第20题)(本小题满分12分)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．
(I)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
( = 2 \* ROMAN II)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．
题型五：双曲线的定义及性质
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第21题)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上．
2.(2022新高考全国II卷·第21题)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
3.(2014高考数学江西理科·第21题)如图,已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,∥(为坐标原点)．
(1)求双曲线的方程;
(2)过上一点的直线与直线相交于点,与直线相交于点,证明点在上移动时,恒为定值,并求此定值．
题型六：直线与双曲线的位置关系
1．(2021年新高考Ⅰ卷·第21题)在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设点在直线上，过两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
2.(2022新高考全国I卷·第21题)已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l斜率；
(2)若，求的面积．
3.(本小题满分14分)如图，双曲线的离心率为．分别为左、右焦点，为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．
(Ⅰ)求双曲线的方程；
(Ⅱ)设和是轴上的两点，过点作斜率不为0的直线，使得交双曲线于两点，作直线交双曲线于另一点．证明直线DE垂直于轴。
4.(2014高考数学辽宁理科·第20题)(本小题满分12分)
圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线过点P且离心率为．
(1)求的方程；
(2)椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程．
5.(2014高考数学福建理科·第19题)(本小题满分13分)
已知双曲线：的两条渐近线分别为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点(分别在第一，四象限)，且的面积恒为，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由．
6.(2016高考数学上海理科·第21题)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．[来]
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．
(1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设，若的斜率存在，且，求的斜率．
题型七：抛物线的定义及性质
1.(2023年全国甲卷理科·第20题)已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
2.(2021年高考浙江卷·第21题)如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围．
3.(2014高考数学湖北理科·第21题)在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为．
(Ⅰ)求轨迹为的方程；
(Ⅱ)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、
三个公共点时的相应取值范围．
4.(2014高考数学安徽理科·第19题)如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线，与分别交于两点，与分别交于两点．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)过作直线(异于)与，分别交于两点，记与的面积分别为，求的值．
5.(2015高考数学新课标1理科·第20题)(本小题满分12分)
在直角坐标系中，曲线：与直线(＞0)交与两点，
(Ⅰ)当时，分别求在点和处的切线方程；
(Ⅱ)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由。
6.(2017年高考数学浙江文理科·第21题)如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点
．过点B作直线AP的垂线,垂足为．
(Ⅰ)求直线斜率的取值范围;
(Ⅱ)求的最大值．
7.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题)已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线,分别交于,两点,交的准线于,两点.
(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明∥;
(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.
8.(2016高考数学江苏文理科·第25题)如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．
(1)若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
(2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．
= 1 \* GB3 ①求证：线段上的中点坐标为；
= 2 \* GB3 ②求的取值范围．
题型八：直线与抛物线的位置关系
1.(2021年高考全国乙卷理科·第21题)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
2.(2021年高考全国甲卷理科·第20题)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
3.(2020年浙江省高考数学试卷·第21题)如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M(B，M不同于A)．
(Ⅰ)若，求抛物线的焦点坐标；
(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
4.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第20题)设抛物线焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
5.(2019·浙江·第21题)如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧，记，的面积分别为，．
(Ⅰ)求的值及抛物线的准线方程；
(Ⅱ)求的最小值及此时点的坐标．
6.(2019·全国Ⅲ·理·第21题)已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)证明：直线AB过定点：
(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
7.(2019·全国Ⅰ·理·第19题)已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
(1)若，求的方程；
(2)若，求．
8.(2019·北京·理·第18题)已知抛物线C：x2=−2py经过点(2，−1)．
(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程；
(Ⅱ)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
9.(2018年高考数学浙江卷·第21题)(本题满分15分)如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上．
(I)设中点为，证明：垂直于轴；
(II)若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．
10.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第19题)(12分)
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
(1)求的方程；
(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．
11.(2017年高考数学北京理科·第18题)已知抛物线 过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点,过点作轴的垂线分别与直线交于点,其中为原点．
(Ⅰ)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)求证:为线段的中点．
12.(2018年高考数学北京(理)·第19题)(本小题14分)已知抛物线经过点．过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
(Ⅰ)求直线的斜率的取值范围；
(Ⅱ)设为原点，，，求证：为定值．
题型九：圆锥曲线中的证明问题
1.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第20题)已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
2.(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第20题)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E方程；
(2)证明：直线CD过定点．
3.(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第22题)已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程：
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
4.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第20题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
5.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第20题)已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()．
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
6.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第19题)(12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
(1)当与轴垂直时，求直线的方程；
(2)设为坐标原点，证明：．
7.(2015高考数学湖南理科·第22题)已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向．
(ⅰ)若，求直线的斜率；
(ⅱ)设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形．
8.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第20题)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上．
(1)求的方程;
(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点．
9.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第20题)(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为 ，点 满足．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 在直线 上，且．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点．
10.(2016高考数学四川理科·第20题)已知椭圆()的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 与椭圆由且只有一个公共点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，的直线平行椭圆交于不同的两点，且与直线交于，证明：存在常数，使得，并求的值．
11.(2016高考数学北京理科·第19题)(本小题14分)已知椭圆的离心率为 ，的面积为1．
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证： 为定值．
题型十：圆锥曲线中的最值问题
1.(2015高考数学浙江理科·第19题)(本题满分15分)已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．
(1)求实数的取值范围；
(2)求面积的最大值(为坐标原点)．
2.(2014高考数学课标1理科·第20题)已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点．
(1)求的方程;
(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程．
3.(2015高考数学山东理科·第20题)平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以 QUOTE 为圆心以3为半径的圆与以 QUOTE 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设椭圆， QUOTE 为椭圆 QUOTE 上任意一点，过点的直线交椭圆 于两点，射线 QUOTE 交椭圆于点．
(i)求 QUOTE 的值；
(Ⅱ)求面积的最大值．
4.(2015高考数学湖北理科·第21题)(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
(Ⅰ)求曲线的方程；
(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
5.(2017年高考数学山东理科·第21题)在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,焦距为．
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,的半径为,是的两条切线,切点分别为．求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率．
6.(2016高考数学山东理科·第21题)(本小题满分14分)平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点．
( = 1 \* ROMAN I)求椭圆的方程；
( = 2 \* ROMAN II)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，，线段 的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．
( = 1 \* rman i)求证：点在定直线上;
( = 2 \* rman ii)直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标．
题型十一：圆锥曲线中的综合问题
1.(2023年新课标全国Ⅰ卷·第22题)在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
．
2.(2014高考数学湖南理科·第21题)如图 ，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．已知，且．
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)过作的不垂直于轴的弦的中点．当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值．
3.(2018年高考数学上海·第20题)(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线
：，与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点．
(1)用表示点到点的距离；
(2)设，，线段的中点在直线上，求的面积；
(3)设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
4.(2014高考数学陕西理科·第22题)如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．
(1)求的值；
(2)过点的直线与分别交于(均异于点)，若，求直线的方程．
5.(2014高考数学山东理科·第21题)已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有．当点的横坐标为3时，为正三角形．
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)若直线，且和有且只有一个公共点，
(ⅰ)证明直线过定点，并求出定点坐标；
(ⅱ)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
6.(2017年高考数学天津理科·第19题)设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为．已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为．
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点．若的面积为,求直线的方程．
7.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第20题)(12分)已知抛物线，过点的直线交与两点，圆是以线段为直径的圆．
(1)证明：坐标原点在圆上；
(2)设圆过点，求直线与圆的方程．
8.(2016高考数学上海理科·第20题)(本题满分14)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图．
(1)求菜地内的分界线的方程
(2)菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为．设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”．
9.(2023年全国乙卷理科·第20题)已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
10.(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第19题)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
11.(2019·天津·理·第18题)设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若(为原点)，且，求直线的斜率．
12.(2019·全国Ⅱ·理·第21题)已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
证明：是直角三角形；
求面积的最大值．
13.(2019·江苏·第17题)如图，在平面直角坐标系中，椭圆:的焦点为，．过作轴的垂线，在轴的上方，与圆:交于点，与椭圆交于点.连结并延长交圆于点，连结交椭圆于点，连结．
已知．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求点的坐标．
14.(2014高考数学上海理科·第22题)在平面直角坐标系中，对于直线：和点，记．若，则称点被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
(1)求证：点被直线分隔；
(2)若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为，求证：
15.(2014高考数学大纲理科·第21题)已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且．
(1)求的方程；
(2)过的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相较于两点，且四点在同一圆上，求的方程．
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