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专题16 解析几何选择题（理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）
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这是一份专题16 解析几何选择题（理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用），文件包含专题16解析几何选择题理科原卷版docx、专题16解析几何选择题理科解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140394746" 题型一：直线的方程 PAGEREF _Tc140394746 \h 1
\l "_Tc140394747" 题型二：圆的方程 PAGEREF _Tc140394747 \h 2
\l "_Tc140394748" 题型三：直线和圆的综合问题 PAGEREF _Tc140394748 \h 3
\l "_Tc140394749" 题型四：椭圆 PAGEREF _Tc140394749 \h 9
\l "_Tc140394750" 题型五：双曲线 PAGEREF _Tc140394750 \h 17
\l "_Tc140394751" 题型六：抛物线 PAGEREF _Tc140394751 \h 36
\l "_Tc140394752" 题型七：圆锥曲线的综合问题 PAGEREF _Tc140394752 \h 44
题型一：直线的方程
1．(2018年高考数学北京(理)·第7题)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最大值为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
解析：是单位圆上的点，直线过定点，当与垂直时，即时，是最大值．
2．(2014高考数学上海理科·第17题)已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是( )．
A．无论如何，总是无解B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解D．存在，使之有无穷多解
【答案】B
解析：易得原点不在直线上，所以不在同一直线上，故向量与向量不平行，所以，方程组有唯一解，故选B．
3．(2014高考数学江西理科·第10题)如右图,在长方体中,=11,=7,=12,一质点从顶点A射向点,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将次到第次反射点之间的线段记为,,将线段竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )
( )
【答案】C
分析:
因为,所以延长交于,过作垂直于在矩形中分析反射情况:由于,第二次反射点为在线段上,此时,第三次反射点为在线段上,此时,第四次反射点为在线段上,由图可知,选C．
题型二：圆的方程
1．(2015高考数学新课标2理科·第7题)过三点，，的圆交轴于两点，则( )
A．B．8C．D．10
【答案】C
解析：由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．
2．(2022高考北京卷·第3题)若直线是圆的一条对称轴，则( )
A．B．C．1D．
【答案】A
解析:由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选,A．
3．(2014高考数学江西理科·第9题)在平面直角坐标系中,分别是轴和轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则圆面积的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】 A
解析:设直线:．因为,所以圆心C的轨迹为以O为焦点,为准线的抛物线．圆C半径最小值为,圆面积的最小值为选A．
题型三：直线和圆的综合问题
1．(2020北京高考·第5题)已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，故选：A．
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第6题)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A．1B．C．D．
【答案】B
解析：方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得．
故选：B．
3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第11题)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第5题)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为．
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为．
故选：B．
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．
5．(2021高考北京·第9题)已知直线(为常数)与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得．
故选：C．
6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第6题)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解法一：由直线易知，，故
圆的圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的取值范围为即
所以，故选A．
解法二：设，则点到直线的距离，
令，则代入圆的方程整理得：
利用方程有解条件，则有
注：此处也可利用线性规划寻求的范围
解法三：利用三角换元
设，则
解法四：利用面积公式的坐标形式
设则
下同解法二
7．(2014高考数学福建理科·第6题)直线与圆相交于两点，则是的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】解析：若直线与圆O：相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离，，
若，则，，则成立，即充分性成立．
若，则，
解得，则不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．
8．(2015高考数学重庆理科·第8题)已知直线是圆的对称轴．过点作圆的一条切线，切点为，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，．选C．
9．(2015高考数学山东理科·第9题)一条光线从点射出，经轴反射后与圆 QUOTE 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．或B． QUOTE 或 QUOTE C．或D．或
【答案】D
解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反身光线所在直线方程为： ，即：．
又因为光线与圆相切， 所以， ,
整理： ，解得： ，或 ,故选D．
10．(2015高考数学广东理科·第5题)平行于直线且与圆相切的直线的方程是( )
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
解析：设所求切线方程为，依题意有：，解得：，所以所求切线方程为或，故选A
11．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第4题)圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，所以圆心坐标为，所以圆心到直线的距离为：，所以，故选A．
题型四：椭圆
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第5题)设椭圆的离心率分别为．若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由，得，因此，而，所以．
故选：A
2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第5题)已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A．B两点，若面积是面积的2倍，则( )．
A．B．C．D．
【答案】C
解析：将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或(舍去)，
故选：C．
3．(2023年全国甲卷理科·第12题)设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
4．(2021年新高考Ⅰ卷·第5题)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为( )
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
解析:由题，，则，
所以(当且仅当时，等号成立)．
故选：C．
5．(2021年高考全国乙卷理科·第11题)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
6．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第10题)椭圆的左顶点为A．点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，设，则，
则，故，
又，则，所以，即，
所以椭圆的离心率．
故选：A．
7．(2019·全国Ⅱ·理·第8题)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为，椭圆焦点为，排除A，同样可排除B，C，故选D．
8．(2019·全国Ⅰ·理·第10题)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，
，则的方程为( )
【答案】答案：B
解析：如图，设，则，由，可得，，所以点为椭圆的上顶点或下顶点．
在中，由余弦定理可得，
所以，即，即，又，所以椭圆方程为．
9．(2019·北京·理·第4题)已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B．
10．(2018年高考数学上海·第13题)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A．B．B．D．
【答案】B
解析：，根据椭圆的定义，椭圆上任一点到两焦点的距离之和为．
11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第11题)设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点作渐近线的垂线，该垂线的方程为，联立方程，解得
由
整理可得即
即即，所以，所以，故选C．
法二：由双曲线的性质易知，，所以
在中，
在中，由余弦定理可得
所以，整理可得，即
所以，所以，故选C．
12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第12题)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，
所以，而，由已知，得，即，故选D．
13．椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是
Ａ．Ｂ．( )
Ｃ．Ｄ．
【答案】D
解：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于
焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D．
14．(2014高考数学大纲理科·第6题)已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线交C于A．B两点，若的周长为4 EQ \R(,3)，则C的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：如下图，的周长为
，而离心率，所以，从而所求椭圆的方程为，故选A．
15．(2017年高考数学浙江文理科·第2题)椭圆的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】法一:由椭圆方程得,,所以,所以,,
．故选B．
法二:．故选B．
16．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切
所以圆心到直线的距离，整理可得
所以，故选A．
17．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.
题型五：双曲线
1．(2023年天津卷·第9题)双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以．
设则，所以，所以．
因,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
2．(2023年全国乙卷理科·第11题)设A．B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以．
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D．
3．(2021年高考全国甲卷理科·第5题)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即．
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第8题)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为( )
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
解析：
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
5．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第11题)设双曲线C：(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
解析：，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
6．(2020年浙江省高考数学试卷·第8题)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P满足|PA．–|PB．=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即． 故选：D．
7．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第11题)双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D．过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
8．(2021高考天津·第8题)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B两点，交双曲线的渐近线于C．D两点，若．则双曲线的离心率为( )
A．B．C．2D．3
【答案】A
解析：设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，所以双曲线的离心率．
故选：A．
9．(2021高考北京·第5题)若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为． 故选：B
10．(2020天津高考·第7题)设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
11．(2019·浙江·第2题)渐近线方程为的双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，则双曲线是等轴双曲线，离心率．故选C．
12．(2019·全国Ⅲ·理·第10题)双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则．
，故选A．
【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
13．(2019·全国Ⅱ·理·第11题)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又∵，∴ ，
为以为直径的圆的半径，∴为圆心．∴，又点在圆上，
∴，即，∴，∴，故选A．
【点评】准确画图，由图形对称性得出点坐标，代入圆的方程得到与关系，可求双曲线的离心率．
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
14．(2018年高考数学浙江卷·第2题)双曲线的焦点坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：双曲线的焦点在轴上，且，所以，所以焦点坐标为．
15．(2018年高考数学天津(理)·第7题)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：如图，过点分别向渐近线作垂线，垂足分别为，则是梯形的中位线，所以，又为点到渐近线的距离，所以，所以，由离心率，所以，，所以，所以双曲线方程为．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第5题)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：因为，所以，所以，渐进线的方程为，故选A．
17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第11题)已知双曲线,为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形,则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：双曲线的渐近线方程为：，渐近线的夹角为：，不妨设过的直线为：，则解得;解得：，则，故选B．
18．(2014高考数学重庆理科·第8题)设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：根据双曲线的性质不妨设点在右支上，则由题意
即
19．(2014高考数学天津理科·第5题)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析:双曲线的其中一条渐近线与直线平行,所以且左焦点为,所以,解得,,故双曲线方程为．故选A．
20．(2014高考数学山东理科·第10题)已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】
解析：因为，所以，双曲线的渐近线方程为．
21．(2014高考数学课标1理科·第4题)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为( )
A．B．3C．D．
【答案】 A
解析:由:,得,
设,一条渐近线,即,则点到的一条渐近线的距离=,选A．．
22．(2014高考数学湖北理科·第9题)已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线
的离心率的倒数之和的最大值为( )
A．B．C．3D．2
【答案】A
解析：设椭圆长半轴为a1，双曲线实半轴长为a2，|F1F2|＝2c．
由余弦定理4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|．
而|PF1|＋|PF2|＝2a1，
||PF1|－|PF2||＝2a2可得．
令a1＝2ccs θ，，
即
＝
＝
＝．
故最大值为，故选A．
23．(2014高考数学广东理科·第4题)若实数满足则曲线与曲线的( )
A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等
【答案】D．
解析：由于所以，，所以这两条曲线均为双曲线．相等，故而选D．
24．(2014高考数学大纲理科·第9题)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：如下图，设，则根据双曲线的第一定义可得，所以，又因为离心率，所以，在中，由余弦定理得
，故选A．
25．(2015高考数学重庆理科·第10题)设双曲线的右焦点为，右顶点为,过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，所以，所以，因此渐近线的斜率取值范围是，选A．
26．(2015高考数学新课标2理科·第11题)已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．
27．(2015高考数学新课标1理科·第5题)已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
A．(-，)B．(-，)
C．(，)D．(，)
【答案】A
解析：由题知，，所以= =，解得，故选A．
28．(2015高考数学天津理科·第6题)已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：双曲线 的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得，所以双曲线方程为，故选D．
29．(2015高考数学四川理科·第5题)过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则( )
B．C．6D．
【答案】D
解析：双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：．选D．
30．(2015高考数学湖北理科·第8题)将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则( )
A．对任意的，
B．当时，；当时，
C．对任意的，
D．当时，；当时，
【答案】D
解析：依题意，，，
因为，由于，，，
所以当时，，，，，所以；
当时，，，而，所以，所以．
所以当时，；当时，．
31．(2015高考数学广东理科·第7题)已知双曲线的离心率，且其右焦点F2(5,0)，则双曲线C的方程为
A．B．C．D．
【答案】C
解析：因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，所以所求双曲线方程为，故选C
32．(2015高考数学福建理科·第3题)若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于( )
A．11B．9C．5D．3
【答案】B
解析：由双曲线定义得，即，解得，故选B．
33．(2015高考数学安徽理科·第4题)下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C．
34．(2017年高考数学天津理科·第5题)已知双曲线的左焦点为,离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】 B．
【解析】由题意得所以,又因为,所以,则双曲线方程为,故选B．
35．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第5题)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】由渐近线的方程，可设双曲线的方程为
又椭圆的焦点坐标为
所以，且，故所求双曲线的方程为：，故选B．
【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程
【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可．
36．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( )
A．2B．C．D．
【答案】 A
【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想．
【解析】解法一：常规解法
根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到
渐进线的距离为，∴ 圆心到渐近线的距离为，即，解得．
解法二：待定系数法
设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，
∴ 圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率
关系为，解得．
解法三：几何法
从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为
由于，可得，
渐近线的斜率与离心率关系为，解得．
解法四：坐标系转化法
根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极
角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，
渐近线的斜率与离心率关系为，解得．
解法五：参数法之直线参数方程
如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为，∵ ， ∴ 点的坐标为，代入圆方程中，
解得．
【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容(理科)，一般与三角形﹑直线与圆﹑向量
相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上
位置，但难度逐年下降．
37．(2016高考数学浙江理科·第7题)已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【命题意图】本题主要考查椭圆、双曲线的定义与几何性质等知识，考查考生的运算求解能力、推理论证能力．
解析：由于，，则，故，又
，所以．故选A．
38．(2016高考数学天津理科·第6题)已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】d
解析：渐近线，设，则，∴，∴，∴，∴，∴．
考点：(1)8．6．2双曲线的标准方程
39．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为( )
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析1】由题可令，则 所以，，所以，所以
故选Ａ．
【解析2】离心率，由正弦定理得．故选A．
40．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)已知方程EQ\F(x2,m2+n)表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
【解析】表示双曲线，则，∴
由双曲线性质知：，其中是半焦距
∴焦距，解得∴故选A．
题型六：抛物线
1．(2023年北京卷·第6题)已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则( )
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
解析：因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故．
故选：D．
2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第3题)抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A．1B．2C．D．4
【答案】B
解析:抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去)，故选B．
3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第4题)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=( )
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．
故选：C．
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题．
4．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第5题)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．
5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第5题)设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A．2B．C．3D．
【答案】B
解析：由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以． 故选：B
6．(2020北京高考·第7题)设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线( )．
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．故选：B．
7．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第8题)设抛物线的焦点为．过点且斜率为的直线与交于两点，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：，联立直线与抛物线，消去可得：，解得，不妨，，，，则，故选D．
8．(2014高考数学四川理科·第10题)已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，(其中为坐标原点)，则△与△面积之和的最小值是( )
A．2B．3C．D．
【答案】B
解析：设直线AB的方程为：，点，，又，直线AB与轴的交点(不妨假设)
由，所以
又
因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故
于是
当且仅当时取“”
所以与面积之和的最小值是
9．(2014高考数学辽宁理科·第10题)已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B．记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：抛物线C：的准线方程为，焦点F(2,0)，而点在准线上，所以解得p=4，设B(m，n)，抛物线在第一象限的方程为，所以，所以过点B的切线斜率为，而切线又过点A，所以①，而点B又在满足方程，即②，将其代入到①式中，解得m=n=8，所以BF的斜率为．
解析2：的准线方程为，焦点F(2,0)，而点在准线上，所以解得p=4，设直线AB的方程为，与方程联立，得，化简，，所以k=2，(或k=-1舍去)，将k=2代入中，可求得y=8，从而解得x=8，故B(8,8)，所以BF的斜率为．
10．(2014高考数学课标2理科·第10题)设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A．B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由题意可知：直线AB的方程为：，带入抛物线的方程可得：，设，则所求三角形的面积为，故选D。
11．(2014高考数学课标1理科·第10题)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则=( )
A．B．C．3D．2
【答案】C
【解析】:过Q作QM⊥直线L于M,∵
∴,又,∴,由抛物线定义知
选C
12．(2015高考数学浙江理科·第5题)如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是( )
( )
A．B．C．D．
【答案】A．
解析：
，故选A．
13．(2015高考数学四川理科·第10题)设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设．当直线的斜率存在时，设斜率为．设，则，相减得．由于，所以，即．圆心为，由得，所以，即点M必在直线上．将代入得．因为点M在圆上，所以．又(由于斜率不存在，故，所以不取等号)，所以．选D．
14．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第10题)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】法一:设,,直线方程为
取方程,得
∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知
当且仅当(或)时,取得等号．
法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为
根据焦点弦长公式有:
．
故选A．
法三:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为,而
则,代入抛物线中,可得
设对应的参数分别为,则有
所以
同理可得
所以．
故选A．
法四:设点,则
设直线的方程为
联立直线与抛物线方程消去可得
所以,所以
同理
所以(当且仅当时等号成立)
小结:本质回归
抛物线的正交弦性质:已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的调和平均数为定值:．
于是本题可以直接利用这个性质秒杀
,所以．
椭圆与双曲线有类似的性质,于是得到圆锥曲线的正交定值定理
已知圆锥曲线的焦点作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则．
其中是圆锥曲线的离心率,是焦点到对应准线的距离．
15．(2016高考数学四川理科·第8题)设为坐标原点，是为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一：由可知，设，
则
所以
法二如图，由题可知，设点坐标为
显然，当时，；时，，要求最大值，不妨设．
则
，当且仅当等号成立 故选C．
16．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第10题)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点．已知，，则的焦点到准线的距离为( )
(A)2(B)4(C)6(D)8
【答案】B
【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：
设，，
点在抛物线上，∴……①
点在圆上，∴……②
点在圆上，∴……③
联立①②③解得：，焦点到准线的距离为． 故选B．
题型七：圆锥曲线的综合问题
1．(2023年全国甲卷理科·第8题)已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A．B两点，则( )
AB．C．D．
【答案】D
解析：由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长．
故选：D
2．(2021年高考浙江卷·第9题)已知，函数．若成等比数列，则平面上点的轨迹是( )
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
【答案】C
解析:由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，，
，所以或，其中为双曲线，为直线,故选C．
3．(2019·天津·理·第5题)已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且(为原点)，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：，，，所以双曲线的两条渐近线方程为
，所以，则双曲线的离心率．
4．(2019·北京·理·第8题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是( )
A．①B．②C．①②D．①②③
【答案】C
【解析】由得，，，
所以可为的整数有0，－1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(1，1)， (－1，0)，(－1，1)六个整点，结论①正确；
由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，结论②正确；
如图所示，易知，四边形的面积，
很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误．故选C．
5．(2014高考数学福建理科·第9题)设分别是圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设椭圆上的点为，则
∵圆的圆心为，半径为，
∴椭圆上的点与圆心的距离为，
∴P，Q两点间的最大距离是．故选：D．
A．
B．
C．
D．
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140394746" 题型一：直线的方程 PAGEREF _Tc140394746 \h 1
\l "_Tc140394747" 题型二：圆的方程 PAGEREF _Tc140394747 \h 2
\l "_Tc140394748" 题型三：直线和圆的综合问题 PAGEREF _Tc140394748 \h 3
\l "_Tc140394749" 题型四：椭圆 PAGEREF _Tc140394749 \h 9
\l "_Tc140394750" 题型五：双曲线 PAGEREF _Tc140394750 \h 17
\l "_Tc140394751" 题型六：抛物线 PAGEREF _Tc140394751 \h 36
\l "_Tc140394752" 题型七：圆锥曲线的综合问题 PAGEREF _Tc140394752 \h 44
题型一：直线的方程
1．(2018年高考数学北京(理)·第7题)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最大值为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
解析：是单位圆上的点，直线过定点，当与垂直时，即时，是最大值．
2．(2014高考数学上海理科·第17题)已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是( )．
A．无论如何，总是无解B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解D．存在，使之有无穷多解
【答案】B
解析：易得原点不在直线上，所以不在同一直线上，故向量与向量不平行，所以，方程组有唯一解，故选B．
3．(2014高考数学江西理科·第10题)如右图,在长方体中,=11,=7,=12,一质点从顶点A射向点,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将次到第次反射点之间的线段记为,,将线段竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )
( )
【答案】C
分析:
因为,所以延长交于,过作垂直于在矩形中分析反射情况:由于,第二次反射点为在线段上,此时,第三次反射点为在线段上,此时,第四次反射点为在线段上,由图可知,选C．
题型二：圆的方程
1．(2015高考数学新课标2理科·第7题)过三点，，的圆交轴于两点，则( )
A．B．8C．D．10
【答案】C
解析：由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．
2．(2022高考北京卷·第3题)若直线是圆的一条对称轴，则( )
A．B．C．1D．
【答案】A
解析:由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选,A．
3．(2014高考数学江西理科·第9题)在平面直角坐标系中,分别是轴和轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则圆面积的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】 A
解析:设直线:．因为,所以圆心C的轨迹为以O为焦点,为准线的抛物线．圆C半径最小值为,圆面积的最小值为选A．
题型三：直线和圆的综合问题
1．(2020北京高考·第5题)已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，故选：A．
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第6题)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A．1B．C．D．
【答案】B
解析：方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得．
故选：B．
3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第11题)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第5题)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为．
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为．
故选：B．
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．
5．(2021高考北京·第9题)已知直线(为常数)与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得．
故选：C．
6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第6题)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解法一：由直线易知，，故
圆的圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的取值范围为即
所以，故选A．
解法二：设，则点到直线的距离，
令，则代入圆的方程整理得：
利用方程有解条件，则有
注：此处也可利用线性规划寻求的范围
解法三：利用三角换元
设，则
解法四：利用面积公式的坐标形式
设则
下同解法二
7．(2014高考数学福建理科·第6题)直线与圆相交于两点，则是的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】解析：若直线与圆O：相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离，，
若，则，，则成立，即充分性成立．
若，则，
解得，则不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．
8．(2015高考数学重庆理科·第8题)已知直线是圆的对称轴．过点作圆的一条切线，切点为，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，．选C．
9．(2015高考数学山东理科·第9题)一条光线从点射出，经轴反射后与圆 QUOTE 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．或B． QUOTE 或 QUOTE C．或D．或
【答案】D
解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反身光线所在直线方程为： ，即：．
又因为光线与圆相切， 所以， ,
整理： ，解得： ，或 ,故选D．
10．(2015高考数学广东理科·第5题)平行于直线且与圆相切的直线的方程是( )
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
解析：设所求切线方程为，依题意有：，解得：，所以所求切线方程为或，故选A
11．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第4题)圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，所以圆心坐标为，所以圆心到直线的距离为：，所以，故选A．
题型四：椭圆
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第5题)设椭圆的离心率分别为．若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由，得，因此，而，所以．
故选：A
2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第5题)已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A．B两点，若面积是面积的2倍，则( )．
A．B．C．D．
【答案】C
解析：将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或(舍去)，
故选：C．
3．(2023年全国甲卷理科·第12题)设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
4．(2021年新高考Ⅰ卷·第5题)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为( )
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
解析:由题，，则，
所以(当且仅当时，等号成立)．
故选：C．
5．(2021年高考全国乙卷理科·第11题)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
6．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第10题)椭圆的左顶点为A．点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，设，则，
则，故，
又，则，所以，即，
所以椭圆的离心率．
故选：A．
7．(2019·全国Ⅱ·理·第8题)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为，椭圆焦点为，排除A，同样可排除B，C，故选D．
8．(2019·全国Ⅰ·理·第10题)已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，
，则的方程为( )
【答案】答案：B
解析：如图，设，则，由，可得，，所以点为椭圆的上顶点或下顶点．
在中，由余弦定理可得，
所以，即，即，又，所以椭圆方程为．
9．(2019·北京·理·第4题)已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B．
10．(2018年高考数学上海·第13题)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A．B．B．D．
【答案】B
解析：，根据椭圆的定义，椭圆上任一点到两焦点的距离之和为．
11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第11题)设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点作渐近线的垂线，该垂线的方程为，联立方程，解得
由
整理可得即
即即，所以，所以，故选C．
法二：由双曲线的性质易知，，所以
在中，
在中，由余弦定理可得
所以，整理可得，即
所以，所以，故选C．
12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第12题)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得，
所以，而，由已知，得，即，故选D．
13．椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是
Ａ．Ｂ．( )
Ｃ．Ｄ．
【答案】D
解：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于
焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D．
14．(2014高考数学大纲理科·第6题)已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线交C于A．B两点，若的周长为4 EQ \R(,3)，则C的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：如下图，的周长为
，而离心率，所以，从而所求椭圆的方程为，故选A．
15．(2017年高考数学浙江文理科·第2题)椭圆的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】法一:由椭圆方程得,,所以,所以,,
．故选B．
法二:．故选B．
16．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切
所以圆心到直线的距离，整理可得
所以，故选A．
17．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题)已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.
题型五：双曲线
1．(2023年天津卷·第9题)双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
解析：如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以．
设则，所以，所以．
因,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
2．(2023年全国乙卷理科·第11题)设A．B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以．
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D．
3．(2021年高考全国甲卷理科·第5题)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即．
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第8题)设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为( )
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
解析：
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
5．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第11题)设双曲线C：(a>0，b>0)左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
解析：，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
6．(2020年浙江省高考数学试卷·第8题)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P满足|PA．–|PB．=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即． 故选：D．
7．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第11题)双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D．过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
8．(2021高考天津·第8题)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B两点，交双曲线的渐近线于C．D两点，若．则双曲线的离心率为( )
A．B．C．2D．3
【答案】A
解析：设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，所以双曲线的离心率．
故选：A．
9．(2021高考北京·第5题)若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为． 故选：B
10．(2020天津高考·第7题)设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
11．(2019·浙江·第2题)渐近线方程为的双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，则双曲线是等轴双曲线，离心率．故选C．
12．(2019·全国Ⅲ·理·第10题)双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则．
，故选A．
【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
13．(2019·全国Ⅱ·理·第11题)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又∵，∴ ，
为以为直径的圆的半径，∴为圆心．∴，又点在圆上，
∴，即，∴，∴，故选A．
【点评】准确画图，由图形对称性得出点坐标，代入圆的方程得到与关系，可求双曲线的离心率．
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
14．(2018年高考数学浙江卷·第2题)双曲线的焦点坐标是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：双曲线的焦点在轴上，且，所以，所以焦点坐标为．
15．(2018年高考数学天津(理)·第7题)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：如图，过点分别向渐近线作垂线，垂足分别为，则是梯形的中位线，所以，又为点到渐近线的距离，所以，所以，由离心率，所以，，所以，所以双曲线方程为．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第5题)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：因为，所以，所以，渐进线的方程为，故选A．
17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第11题)已知双曲线,为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形,则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：双曲线的渐近线方程为：，渐近线的夹角为：，不妨设过的直线为：，则解得;解得：，则，故选B．
18．(2014高考数学重庆理科·第8题)设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：根据双曲线的性质不妨设点在右支上，则由题意
即
19．(2014高考数学天津理科·第5题)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析:双曲线的其中一条渐近线与直线平行,所以且左焦点为,所以,解得,,故双曲线方程为．故选A．
20．(2014高考数学山东理科·第10题)已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】
解析：因为，所以，双曲线的渐近线方程为．
21．(2014高考数学课标1理科·第4题)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为( )
A．B．3C．D．
【答案】 A
解析:由:,得,
设,一条渐近线,即,则点到的一条渐近线的距离=,选A．．
22．(2014高考数学湖北理科·第9题)已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线
的离心率的倒数之和的最大值为( )
A．B．C．3D．2
【答案】A
解析：设椭圆长半轴为a1，双曲线实半轴长为a2，|F1F2|＝2c．
由余弦定理4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|．
而|PF1|＋|PF2|＝2a1，
||PF1|－|PF2||＝2a2可得．
令a1＝2ccs θ，，
即
＝
＝
＝．
故最大值为，故选A．
23．(2014高考数学广东理科·第4题)若实数满足则曲线与曲线的( )
A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等
【答案】D．
解析：由于所以，，所以这两条曲线均为双曲线．相等，故而选D．
24．(2014高考数学大纲理科·第9题)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：如下图，设，则根据双曲线的第一定义可得，所以，又因为离心率，所以，在中，由余弦定理得
，故选A．
25．(2015高考数学重庆理科·第10题)设双曲线的右焦点为，右顶点为,过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，所以，所以，因此渐近线的斜率取值范围是，选A．
26．(2015高考数学新课标2理科·第11题)已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．
27．(2015高考数学新课标1理科·第5题)已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
A．(-，)B．(-，)
C．(，)D．(，)
【答案】A
解析：由题知，，所以= =，解得，故选A．
28．(2015高考数学天津理科·第6题)已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：双曲线 的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得，所以双曲线方程为，故选D．
29．(2015高考数学四川理科·第5题)过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则( )
B．C．6D．
【答案】D
解析：双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：．选D．
30．(2015高考数学湖北理科·第8题)将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则( )
A．对任意的，
B．当时，；当时，
C．对任意的，
D．当时，；当时，
【答案】D
解析：依题意，，，
因为，由于，，，
所以当时，，，，，所以；
当时，，，而，所以，所以．
所以当时，；当时，．
31．(2015高考数学广东理科·第7题)已知双曲线的离心率，且其右焦点F2(5,0)，则双曲线C的方程为
A．B．C．D．
【答案】C
解析：因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，所以所求双曲线方程为，故选C
32．(2015高考数学福建理科·第3题)若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于( )
A．11B．9C．5D．3
【答案】B
解析：由双曲线定义得，即，解得，故选B．
33．(2015高考数学安徽理科·第4题)下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C．
34．(2017年高考数学天津理科·第5题)已知双曲线的左焦点为,离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】 B．
【解析】由题意得所以,又因为,所以,则双曲线方程为,故选B．
35．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第5题)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】由渐近线的方程，可设双曲线的方程为
又椭圆的焦点坐标为
所以，且，故所求双曲线的方程为：，故选B．
【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程
【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可．
36．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( )
A．2B．C．D．
【答案】 A
【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想．
【解析】解法一：常规解法
根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到
渐进线的距离为，∴ 圆心到渐近线的距离为，即，解得．
解法二：待定系数法
设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，
∴ 圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率
关系为，解得．
解法三：几何法
从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为
由于，可得，
渐近线的斜率与离心率关系为，解得．
解法四：坐标系转化法
根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极
角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，
渐近线的斜率与离心率关系为，解得．
解法五：参数法之直线参数方程
如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为，∵ ， ∴ 点的坐标为，代入圆方程中，
解得．
【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容(理科)，一般与三角形﹑直线与圆﹑向量
相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上
位置，但难度逐年下降．
37．(2016高考数学浙江理科·第7题)已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【命题意图】本题主要考查椭圆、双曲线的定义与几何性质等知识，考查考生的运算求解能力、推理论证能力．
解析：由于，，则，故，又
，所以．故选A．
38．(2016高考数学天津理科·第6题)已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】d
解析：渐近线，设，则，∴，∴，∴，∴，∴．
考点：(1)8．6．2双曲线的标准方程
39．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为( )
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析1】由题可令，则 所以，，所以，所以
故选Ａ．
【解析2】离心率，由正弦定理得．故选A．
40．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)已知方程EQ\F(x2,m2+n)表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
【解析】表示双曲线，则，∴
由双曲线性质知：，其中是半焦距
∴焦距，解得∴故选A．
题型六：抛物线
1．(2023年北京卷·第6题)已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则( )
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
解析：因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故．
故选：D．
2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第3题)抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A．1B．2C．D．4
【答案】B
解析:抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去)，故选B．
3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第4题)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=( )
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．
故选：C．
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题．
4．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第5题)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．
5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第5题)设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A．2B．C．3D．
【答案】B
解析：由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以． 故选：B
6．(2020北京高考·第7题)设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线( )．
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．故选：B．
7．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第8题)设抛物线的焦点为．过点且斜率为的直线与交于两点，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：，联立直线与抛物线，消去可得：，解得，不妨，，，，则，故选D．
8．(2014高考数学四川理科·第10题)已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，(其中为坐标原点)，则△与△面积之和的最小值是( )
A．2B．3C．D．
【答案】B
解析：设直线AB的方程为：，点，，又，直线AB与轴的交点(不妨假设)
由，所以
又
因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故
于是
当且仅当时取“”
所以与面积之和的最小值是
9．(2014高考数学辽宁理科·第10题)已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B．记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：抛物线C：的准线方程为，焦点F(2,0)，而点在准线上，所以解得p=4，设B(m，n)，抛物线在第一象限的方程为，所以，所以过点B的切线斜率为，而切线又过点A，所以①，而点B又在满足方程，即②，将其代入到①式中，解得m=n=8，所以BF的斜率为．
解析2：的准线方程为，焦点F(2,0)，而点在准线上，所以解得p=4，设直线AB的方程为，与方程联立，得，化简，，所以k=2，(或k=-1舍去)，将k=2代入中，可求得y=8，从而解得x=8，故B(8,8)，所以BF的斜率为．
10．(2014高考数学课标2理科·第10题)设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A．B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由题意可知：直线AB的方程为：，带入抛物线的方程可得：，设，则所求三角形的面积为，故选D。
11．(2014高考数学课标1理科·第10题)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则=( )
A．B．C．3D．2
【答案】C
【解析】:过Q作QM⊥直线L于M,∵
∴,又,∴,由抛物线定义知
选C
12．(2015高考数学浙江理科·第5题)如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是( )
( )
A．B．C．D．
【答案】A．
解析：
，故选A．
13．(2015高考数学四川理科·第10题)设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设．当直线的斜率存在时，设斜率为．设，则，相减得．由于，所以，即．圆心为，由得，所以，即点M必在直线上．将代入得．因为点M在圆上，所以．又(由于斜率不存在，故，所以不取等号)，所以．选D．
14．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第10题)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】法一:设,,直线方程为
取方程,得
∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知
当且仅当(或)时,取得等号．
法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为
根据焦点弦长公式有:
．
故选A．
法三:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为,而
则,代入抛物线中,可得
设对应的参数分别为,则有
所以
同理可得
所以．
故选A．
法四:设点,则
设直线的方程为
联立直线与抛物线方程消去可得
所以,所以
同理
所以(当且仅当时等号成立)
小结:本质回归
抛物线的正交弦性质:已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的调和平均数为定值:．
于是本题可以直接利用这个性质秒杀
,所以．
椭圆与双曲线有类似的性质,于是得到圆锥曲线的正交定值定理
已知圆锥曲线的焦点作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则．
其中是圆锥曲线的离心率,是焦点到对应准线的距离．
15．(2016高考数学四川理科·第8题)设为坐标原点，是为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一：由可知，设，
则
所以
法二如图，由题可知，设点坐标为
显然，当时，；时，，要求最大值，不妨设．
则
，当且仅当等号成立 故选C．
16．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第10题)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点．已知，，则的焦点到准线的距离为( )
(A)2(B)4(C)6(D)8
【答案】B
【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：
设，，
点在抛物线上，∴……①
点在圆上，∴……②
点在圆上，∴……③
联立①②③解得：，焦点到准线的距离为． 故选B．
题型七：圆锥曲线的综合问题
1．(2023年全国甲卷理科·第8题)已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A．B两点，则( )
AB．C．D．
【答案】D
解析：由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长．
故选：D
2．(2021年高考浙江卷·第9题)已知，函数．若成等比数列，则平面上点的轨迹是( )
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
【答案】C
解析:由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，，
，所以或，其中为双曲线，为直线,故选C．
3．(2019·天津·理·第5题)已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且(为原点)，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：，，，所以双曲线的两条渐近线方程为
，所以，则双曲线的离心率．
4．(2019·北京·理·第8题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是( )
A．①B．②C．①②D．①②③
【答案】C
【解析】由得，，，
所以可为的整数有0，－1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(1，1)， (－1，0)，(－1，1)六个整点，结论①正确；
由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，结论②正确；
如图所示，易知，四边形的面积，
很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误．故选C．
5．(2014高考数学福建理科·第9题)设分别是圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设椭圆上的点为，则
∵圆的圆心为，半径为，
∴椭圆上的点与圆心的距离为，
∴P，Q两点间的最大距离是．故选：D．
A．
B．
C．
D．
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